CONTINUITÉ ET DERIVATION LES SUITES. = q u n. u n+1. = 4 2 n. q n u n. Suite géométrique. Continuité. Dérivation. = 4 < 0 q = 2 > 1.

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Amélie Audy
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1 LES SUITES CONTINUITÉ ET DERIVATION Sit géométriq Défiitio sit géométriq d riso q d prmir trm 0. + = q Empl : q = 2 t 0 = 4 + = 2 L rpport tr trm t so précédt st égl à 2. Propriété = 0 q = 4 2 Vritios Rprésttio grphiq Por 0 > 0 : Si q > : st croisst. Si 0 < q < : st décroisst. Por 0 < 0 : Si q > : st décroisst. Si 0 < q < : st croisst. Rmrq : Si q < 0 : l sit géométriq 'st i croisst i décroisst. 0 = 4 < 0 q = 2 > L sit st décroisst. Somm ds trms d sit géométriq : + q + q q q+ = q Limit d' sit géométriq q 0 < q < q = q > lim + q = 0 + Sit rithmético-géométriq U sit st dit rithmético-géométriq s'il ist d omrs t tls q por tot tir, o : + = +. Cotiité Théorèm ds vlrs itrmédiirs : f st coti t strictmt mooto sr itrvll [ ; ]. Por tot rél k compris tr f () t f (), l'éqtio f () = k dmt iq soltio sr [ ; ]. Dérivtio Défiitio : L tgt à l cor C f poit A st l droit psst pr A d cofficit dirctr l omr dérivé L. U éqtio d l tgt à l cor C f A st : y = f ' + f Foctio f Dérivé f ' f () =,! f '() = 0 f () =,! f '() = f () = 2 f () = tir f '() = 2 f '() = f () = f '() = 2 f () = tir f '() = f () = f '() = Covité + 2 Foctio + v k, k! v v Dérivé '+ v' k' 'v + v' ' ) L foctio f st cov si s cor rprésttiv st tièrmt sité dsss d chc d ss tgts. 2) L foctio f st cocv si s cor rprésttiv st tièrmt sité dssos d chc d ss tgts. Propriété : ) L foctio f st cov si s dérivé f ' st croisst, soit f ''() 0. 2) L foctio f st cocv si s dérivé f ' st décroisst, soit f ''() 0. 2 'v v' v 2 ' 2 vc! * ' Défiitio : U poit d'iflio st poit où l cor trvrs s tgt c poit. Yv Mok Acdémi d Strsorg Yv Mok Acdémi d Strsorg

2 FONCTION EXPONENTIELLE Positios rltivs Foctio potill d s q q, q y = y, q q q 2) q + y = q q y, q = Propriétés : ) q 0 =, q = q Vritios d l foctio potill d s q : 0 < q < = q! INTEGRATION q >! q st décroisst sr!! q st croisst sr! lim q = + t lim q = 0 lim q = 0 t lim q = + + Propriétés : L cor rprésttiv d l foctio potill st -dsss d l droit d'éqtio y =. L droit d'éqtio y = st -dsss d l cor rprésttiv d l foctio logrithm épéri. Soit f foctio coti t positiv sr itrvll [ ; ]. O ppll itégrl d f sr [ ; ] l'ir, primé.., d l srfc délimité pr l cor rprésttiv d l foctio f, l' ds scisss t ls droits d'éqtios = t =. + Défiitio : O ppll primitiv d f sr I, foctio F tll q F ' = f Foctio f () =,! Foctio potill d s Propriétés : ) 0 = t = 2,78 2) + y ( ) =, y = y, =, = t < + Dérivés =, vc!. 3) = y Limits : lim = 0 t lim = + ( )' = t ( < ( ) )' = '() FONCTION LOGARITHME Propriétés : ) l st défii sr 0;+ 2) l = 0 ; l = ; l = 3) l ( y ) = l + l y ; l = l ; l = l l y y 4) l = l t l = l vc! 2 5) y = l vc > 0 = y ; l = ; l = 6) l = l y = y t l < l y < y Dérivé Limits Limits : lim l = + t lim l = Yv Mok Acdémi d Strsorg >0 (l )' = ' tir + + F() = F() = f () = Limits Foctio U primitiv F() = f () = 2 f () = f () = U primitiv + + ' 2 ' F() = l F() = ( ) Propriété : Si F st primitiv d f lors! F() + C st primitiv d f. Propriété : f () d = F() F() Propriétés : ) f () d = 0 t 2) Rltio d Chsls : 3) Liérité : Por k rél, c f () d = f () d f () d + f () d = c f () d kf () d = k f () d ( f () + g()) d = 4) Si f () 0, lors f () d + g() d f () d 0 Si f () g(), lors f () d g() d Vlr moy O ppll vlr moy d f sr [ ; ] l omr rél m = f () d. Yv Mok Acdémi d Strsorg

Coditiomt P A (B) = P( A B) P( A) PROBABILITÉS Avc l clcltric : ) Por clclr pr mpl : P( 70 X 00) : Sr TI : 2 d t VAR/Distri pis sisir ormlfréq(70,00,80,4) o ormlcdf( Sr Csio : OPTN pis STAT, DIST,

9,80,4) o ivnorm( Sr Csio : OPTN pis STAT, DIST, NORM, IvN pis sisir IvNormCD(0.9,4,80) Loi d proilité à dsité Por foctio d dsité (o dsité) f, o : P X ; Espérc : E( X ) = t f (t)dt.

2 Loi orml ctré rédit Loi orml ctré rédit N(0;) d dsité f () = 2 2π 2 O : E(X) = 0 t σ(x) = Propriété : O : P(,96 X,96) = 0,95 Loi orml X sit l loi orml d'spérc µ, t d'écrt-typ σ, oté N µ;σ 2 sigifi

f st l fréqc osrvé sr échtillo d till. Itrvll d flcttio sil 0,95 : p,96 p p Yv Mok Acdémi d Strsorg www.mths-t-tiqs.fr ; p +,96 p p.

3 Coditiomt P A (B) = P( A B) P( A) PROBABILITÉS Avc l clcltric : ) Por clclr pr mpl : P( 70 X 00) : Sr TI : 2 d t VAR/Distri pis sisir ormlfréq(70,00,80,4) o ormlcdf( Sr Csio : OPTN pis STAT, DIST, NORM, Ncd pis sisir NormCD(70,00,4,80) 2) Por détrmir l rél t tl q pr mpl P( X t) = 0,9 : Sr TI : 2 d t VAR/Distri pis sisir FrcNorml(0.9,80,4) o ivnorm( Sr Csio : OPTN pis STAT, DIST, NORM, IvN pis sisir IvNormCD(0.9,4,80) Loi d proilité à dsité Por foctio d dsité (o dsité) f, o : P X ; Espérc : E( X ) = t f (t)dt. = f (t)dt Propriétés ds itrvlls σ, 2 σ, 3σ : ) P µ σ X µ +σ 0,683 0,954 0,997 ) P µ 2σ X µ + 2σ c) P µ 3σ X µ + 3σ Loi iform Loi iform U d dsité f () = ; O : P( X ) = t l spérc st égl à : E( X ) = + 2 Loi orml ctré rédit Loi orml ctré rédit N(0;) d dsité f () = 2 2π 2 O : E(X) = 0 t σ(x) = Propriété : O : P(,96 X,96) = 0,95 Loi orml X sit l loi orml d'spérc µ, t d'écrt-typ σ, oté N µ;σ 2 sigifi q X µ sit l loi orml ctré σ rédit N(0;). Yv Mok Acdémi d Strsorg FLUCTUATION ET ESTIMATION Itrvll d flcttio O sppos q l proportio p d crctèr étdié st co. f st l fréqc osrvé sr échtillo d till. Itrvll d flcttio sil 0,95 : p,96 p p Yv Mok Acdémi d Strsorg ; p +,96 p p. Règl d décisio : Soit l'hypothès : "L proportio d c crctèr ds l popltio st p." Soit I l'itrvll d flcttio symptotiq sil 0,95. - Si f I, lors o ccpt l'hypothès fit sr l proportio p. - Si f I, lors o rjtt l'hypothès fit sr l proportio p. Itrvll d cofic O sppos q l proportio p d crctèr étdié st ico. f st l fréqc osrvé sr échtillo d till. Itrvll d cofic d l proportio p iv d 0,95 : f ; f +.

4 MATRICES - Spé GRAPHES - Spé Somm d mtrics = = Propriétés : ) A + B = B + A 2) (A + B) + C = A + (B + C) Défiitios : - O ppll grph o orité sml d poits, pplés sommts, rliés pr ds ligs, pplés rêts. - L'ordr d grph st l omr d sommts. - L dgré d' sommt st l omr d'rêts prtt d c sommt. - D sommts rliés pr rêt sot djcts. Prodit d mtrics Défiitio : U grph st dit complt si d sommts qlcoqs sot djcts. 2 5,5 2 5, = = = 26 5 = = Propriétés : ) (A B) C = A (B C) = A B C 2) A (B + C) = A B + A C t (A + B) C = A C + B C 3) (ka)b = A(kB) = k(a B) = 6 9 L pissc -ièm d A st l mtric, oté A, égl prodit d fctrs A. Mtric ivrs Propriété : A I = I A = A Défiitio : U mtric crré A d till st mtric ivrsil s'il ist mtric B tll q A B = B A = I. L mtric B = A - st l mtric ivrs d A. Propriété : L mtric A = c d st ivrsil si, t slmt si, d c 0. Propriété : Soit A mtric crré ivrsil d till t M t N d mtrics crrés o colos d till. O : A M = N SSI M = A - N Ecritr mtricill d' systèm liéir 5 + 2y = 6 L systèm s écrit : A X = B vc A = 4 + 3y = , X = 6 y t B = 7 Propriété : Si A st ivrsil, A X = B X = A B. Sio l systèm corrspodt ifiité d soltios o c soltio. Yv Mok Acdémi d Strsorg Propriétés : ) (k + k')a = ka + k'a 2) k(a + B) = ka + kb 3) (kk')a = k(k'a) 4) (ka)b = A(kB) = k(a B) Rmrq : A B B A Propriété : L somm ds dgrés d tos ls sommts d' grph st égl dol d omr d'rêts. Chîs Défiitios : - U chî st sccssio d'rêts miss ot à ot. - L logr d l chî st l omr d'rêts qi l compos. - O dit q' chî st frmé si ss trémités coïcidt. - U cycl st chî frmé dot ls rêts sot tots disticts. Défiitio : L mtric d'djcc ssocié à G st l mtric crré d till dot chq trm ij st égl omr d'rêts rlit ls sommts i t j. Rmrq : L'rêt dot ls trémités ot l mêm sommt s'ppll ocl. Propriété : L omr d chî d logr k rlit l sommt i sommt j st égl trm ij d l mtric A k. Défiitio : U grph G st co si chq copl d sommts st rlié pr chî. Défiitios : - U chî léri d' grph G st chî qi cotit fois t sl tots ls rêts d grph G. - U cycl léri st chi léri frmé. Théorèm d'elr : - G dmt cycl léri si, t slmt si, tos ls sommts d G sot d dgré pir. - G dmt chî léri distict d cycl si, t slmt si, d sommts d G ctmt sot d dgré impir. Ds c cs, l chî st d'trémité cs d sommts. Grphs orités t grphs podérés Défiitios : - U grph st orité si ss rêts, pplés rcs ds c cs, ot ss d prcors. - U chmi st sccssio d'rcs mis ot à ot. - U circit st chmi frmé dot ls rcs sot tos disticts. Yv Mok Acdémi d Strsorg

5 Défiitios : - U grph st étiqté si ss rêts (o ss rcs) sot ffctés d'étiqtts (mots, lttrs, symols, omrs, ) - Ds l cs où ls étiqtts sot ds omrs, l grph st dit podéré. Ls étiqtts sot pplés ls poids tr ls sommts. - L poids d chî (rspctivmt d' chmi) st l somm ds poids ds rêts (rspctivmt ds rcs) costitt l chî (rspctivmt l chmi). Défiitio : L mtric d'djcc ssocié à G st l mtric crré d till dot chq trm ij st égl omr d'rcs orités rlit ls sommts i t j. Grphs proilists Défiitio : U grph proilist st grph orité t podéré possédt pls rc tr d sommts t dot l somm ds poids ds rcs isss d' mêm sommt st égl à. Défiitio : L mtric d trsitio d G st l mtric crré d'ordr dot l cofficit sité sr l lig i t l colo j st l proilité porté pr l'rc rlit l sommt i vrs l sommt j s'il ist t 0 ds l cs cotrir. Défiitio : L'étt proilist près étps st l mtric lig dot ls cofficits sot ls proilités d'rrivé chq sommt près étps. Propriété : O cosidèr grph proilist d mtric d trsitio M t dot l'étt proilist près étp st P. Por tot tir trl, o : P + = P M t P = P 0 M où P 0 st l'étt iitil. Défiitio : U étt proilist st dit stl lorsq'il 'évol ps lors d répétitios d l'péric. Propriété : Soit grph proilist d'ordr 2 dot l mtric d trsitio comport ps d 0. L'étt stl P vérifi lors l'églité P = P M. Et si td vrs l'ifii, lors l'étt proilist P td vrs l'étt stl P. Hors d cdr d l clss, c rprodctio, mêm prtill, trs q clls prévs à l'rticl L 22-5 d cod d l propriété itllctll, pt êtr fit d c sit ss l'toristio prss d l'tr. Yv Mok Acdémi d Strsorg

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