correction TD8 : De Fresnel à Fraunhofer

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1 ycle d ingénieur 1 nnée ptique hysique V. osse, obroc, E. imbrd,. ellegrino correction T8 : e resnel à runhofer iffrction de resnel 6) ien que trité en T, je reproduis ici l réponse à cette question fin d essyer de clrifier l notion de zone de resnel. près les questions précédentes, l mplitude sur l e u point ( =0) est donné pr : diff ( = 0) = K ( ( N ) ( N ) ) = K ( N ) vec N = (1) Qund l distnce ugmente à prtir de 0 vers l infini, N diminue de + à 0. En regrdnt sur l spirle de ornu on voit donc que l mplitude u point oscille en pssnt pr une succession de minimum et mimum vnt de tendre vers 0 (typiquement pour N < 1). ette sitution est illustrée sur l figure E lim ( =0) diff - ( =0) diff - ( =0) diff - ( =0) diff zonederesnel - N =N 3 = 3 N =N = N <<1 N =N 1 = deresnel - deresnel - iffrction de runhofer igure 1 Evolution de l mplitude diff ( = 0) sur l e. Les positions des etrem (,,,E...) correspondent à certines positions isément repérbles sur l spirle de ornu. Le cs correspond à une sitution où N < 1 l on ppliquer l pproimtion de diffrction à l infini (diffrction de runhofer) (ceci ser epliqué dns suite de l correction) 1

2 Interpréttion physique de ces mim en terme de zone de resnel : En regrdnt l prmétristion de l spirle de ornu donnée dns l énoncé du T, on remrque que les mim correspondent u distnces k telles que N = k. eci s interprète simplement si on regrde le déphsge entre le ryon pssnt u centre de l fente et le ryon etreml vennt du bord M m (voir figure ). e déphsge s écrit : φ m = π (/) λ = πn () 4 Les positions des etrem correspondent donc u cs où le déphsge entre ces ryons est un multiple de π : φ m = kπ N = k k = 4kλ es positions φ m = kπ correspondent, pr définition, u bords des différentes zone de resnel. (3) M i i M M z M m m< ord de M m m= ord de M m m= ord de 3 zone 3 zone M m m=3 s s s s 3 zone diff( =0) diff( =0) diff( =0) diff( =0) N <<1 N =N 1 = iffrction de runhofer deresnel N =N = deresnel N =N 3 = 3 3 zonederesnel igure rtie supérieure : illustrtion du principe de uyghens resnel comme une somme continue d mplitude déphsée (différence de mrche [M] = /). rtie inférieure : illustrtion du cs où l on ugmente continûment l lrgeur de l fente pour une distnce fiée. n scnne lors successivement les différentes zones de resnel (cs,,) qui correspondent u etrem de l mplitude diffrctée diff ( = 0). es etrem sont illustrés sur l spirle de ornu.

3 fin de bien comprendre pourquoi ces zones de resnel sont reliées u etrem, il est plus simple de considérer un probl équivlent. Ici l distnce est fiée et l on suppose que l on peut fire vrier l lrgeur de l fente à prtir de 0 (voir figure ) : dns ce cs le prmètre N ugmente continûment de 0 à +. Il est églement commode de revenir à l epression du chmp donné pr le principe de uyghens resnel : diff ( = 0) i Mi e iπ λ M i i = M ()e iπ λ d = e iπ λ d (4) où l on utilisé l epression pproché (cs pril) de l différence de mrche ( retenir) : M (5) e principe de uyghnes-resnel (4) nous dit donc que le chmp sur l e est simplement donné pr l somme d mplitude égle vec une phse qui vrie qudrtiquement (pproimtion d un front circulire dns le régime pril) Si on regrde mintennt les différents cs (,,,) représentés sur l figure, l epliction des mim est simple : 1. Lorsque l fente est peu ouverte (cs ), les fisceu pssnt u centre et u bord de l fente sont très peu déphsés ( φ m π) : ils interfnt donc constructivement. Qund on ugmente l lrgeur de l fente dns cette sitution, on rjoute simplement plus de ryons et l mplitude totle du chmp diffrcté ugmente linéirement.. Toutefois ceci n est plus vri si on ouvre trop l fente cr le déphsge commence à devenir importnt sur le bord. u coup, les mplitudes ne s joutent plus en phse et le chmp totl ne progresse plus que fiblement. n tteint un mimum d mplitude qund le déphsge miml φ m tteint π : l mplitude vennt du bord est en opposition de phse pr rpport u chmp du centre (cs ). n dit dns ce cs qu on tteint le bord de l premi zone de resnel. 3. Si on continue à ouvrir l fente à prtir de cette sitution, on joute des mplitudes en opposition de phse et l mplitude totle diminue. ien sûr cel n est vri qu un certin temps cr l phse évolue continûment vers π. our cette position on tteint une vleur minimle (cs ) : ceci correspond u bord de l deui zone de resnel. 4. etc... Résumé : les limites des zones de resnel sont définies pr les positions telles que le déphsge vec le ryon pssnt u centre est un multiple de π. es positions correspondent nturellement à des etrem d mplitude pour le chmp diffrcté (dns le cs d une fente éclirée pr une onde plne). 7) Vous ferez cette question à titre d eercice... En prticulier, vous devez retrouver l propriété que l mplitude du chmp sur le bord de l fente ( = ±/) vut 0 / (où 0 est l mplitude u niveu de l fente) pour des distnces proche de l fente (N 1). 3

4 iffrction de runhofer n consid ici le cs où, + vec θ = / = cte. 1. omme est fie et + : N = 0 (6). ns cette sitution, il est commode de développer l epression de uyghens resnel fin de séprer les termes de phses qudrtiques (front d onde circulire) et linéire (front d onde pln) : diff ( ) diff ( ) diff ( ) e i π M ()e iπ λ ( ) ( ) d = e i π M () e iπ λ ( d ( M ()e i ) π e iπ d ( e i π T M ()e i π ) u= θ λ = omme cel été epliqué dns l prtie précédente, le prmètre N est directement u déphsge qudrtique φ() = π entre le ryon pssnt pr le bord de l fente et celui pssnt u centre (voir Eq. ()). Qund N 1 ( + ), cel revient à dire qu il est négligeble (e i π 1) : φ() = π < π(/) = πn 4 (7) π (8) n en déduit l formule fondmentle de l diffrction de runhofer : l diffrction à l infini est proportionnelle à l trnsformée de ourier de l mplitude M () pour l fréquence sptile u = θ/λ diff ( ) e i π ( ) T M () u= θ λ = Résumé du T : Le prmètre N = / est le prmètre qui permet de différencier le régime de diffrction de resnel et de runhofer : () N > 1 : il fut prendre en compte le déphsge qudrtique φ() = π en compte : sitution complee suf pour des cs simples (cf Spirle de ornu pour une fente uniformément éclirée). (b) N < 1 : le déphsge qudrtique est négligeble : on retouve l diffrction à l infini (voir Eq. (9)). 3. n projette bien sûr l infini sur un écrn plcé u foyer d une lentille (voir igure 4) (9) Quelques compléments grphiques.1 Interpréttion grphique du pssge de resnel à runhofer Il est intéressnt de regrder grphiquement sur l figure 3 à quoi correspondent les déphsges (linéire = π = π π λ θ et qudrtique = ) qui interviennent dns le clcul de l diffrction à distnce quelconque (voir Eq.(7)). 4

5 our une diffrction u point, le déphsge totl dont il fut tenir compte est lié à l différence de mrche [M] []. l ide des points et décrits sur l figure 3, on obtient (dns le cs pril) : [M] [] = [M] [] = θ (10) Le déphsge qudrtique s interprète directement pr l distnce [M] (non négligeble si N > 1), lors que le déphsge linéire est donné pr l projection []. e dernier n est rien d utre que le déphsge à l infini dns l direction θ. n voit donc grphiquement que l pproimtion de diffrction à l infini revient simplement à négliger l courbe des front d ondes. ) M iffrction de resnel M iffrction de resnel b) M Qusiment diffrction de runhofer c) diffrction de runhofer M= à l infini (direction ) d) igure 3 Représenttion grphique des deu déphsge : le déphsge qudrtique lié à [M] = / (responsble de l diffrction de resnel) et le déphsge linéire lié à [] = θ. u cs ) u cs d), on ugmente progressivement l distnce en mintennt l ngle θ constnt. n voit que l prtie qudrtique devient progressivement négligeble (cs c)) : l sitution est lors identique u cs de l diffrction rigoureusement à l infini (cs d)). 5

6 . Résumé grphique de l diffrction pr une fente nde plne incidente Régime de diffrction de resnel N >>1 Régime de diffrction de runhofer N <<1 rojection u foyer d une lentille / / / / lim= / N =1 Lentille f Ecrn igure 4 Illustrtion de l diffrction pr une fente. n voit comment l on psse d une diffrction de type resnel ( N 1 :bcp d oscilltions liés u front d ondes qudrtiques) à runhofer (N 1 : trnsformée de ourier). our une lrgeur de fente fiée, l distnce crctéristique qui différencie les deu régimes est donnée pr lim = /λ ( N = 1). En prtique l diffrction à l infini est rigoureusement obtenu u foyer d une lentille (dns ce cs l ngle θ correspond à l position = θf ). 6

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