Physique Numérique TP9 Etude de surfaces cristallines par diffraction des rayons X

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Gérard Raphael Grégoire
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1 Etude de surfces cristllines pr diffrction des ryons Physique Numérique TP9 Etude de surfces cristllines pr diffrction des ryons Victor Lnvin Introduction Dns ce TP, on se propose d étudier numériquement l diffrction des ryons pr des surfces cristllines. L interpréttion des expériences bsées sur l diffrction de ryons pr des cristux étnt prfois difficile, il est utile de comprer les résultts expérimentux ux résultts numériques ttendus. Dns un premier temps, on réliser et on étudier un lgorithme permettnt de fire une double trnsformée de Fourier rpide, et ce sur des cs simples. Dns un deuxième temps, on construir un réseu bidimensionnel de type cubique simple fin d obtenir une première figure de diffrction. On réliser ensuite des réseux plus complexes et on étudier l influence des prmètres numériques sur les résultts obtenus. Enfin, on se servir de notre nlyse numérique fin d interpréter des résultts expérimentux. Double FFT iπ uh+vk Question b. Pour clculer l mplitude diffusée, on rélise l identifiction e i q. r = e n. Schnt qu on choisit un ps d intégrtion d = /n, et que r = ud u x + vd u y, on obtient q = πh u x + πk u y. On remrque donc que l résolution du vecteur de diffusion est π. On peut noter que, en prticulier, s résolution est indépendnte de n, ce sur quoi on reviendr dns l section 3. On déduit de plus imméditement que l vleur mximle ccessible ux coordonnées du vecteur de diffusion est πn. Question c. On s intéresse dns cette question à l diffrction pr un tome. On trce donc l densité de chrges insi que l intensité diffrctée en deux dimensions. Les figures obtenues sont regroupées en Figure. On choisi de représenter l densité de chrges d un tome pr une Gussienne, ce qu on représenté en Figure. En utilisnt imméditement l lgorithme sns correction prélble, on obtient l intensité représentée en Figure b. En effet, l trnsformée de Fourier d une Gussienne est une Gussienne centrée en zéro. Or, l fenêtre d étude n est ps centrée en zéro mis est le crré [; nπ nπ ] [; ]. On ne voit donc que le coin supérieur droit de l Gussienne centrée en zéro. De plus, les conditions ux bords périodiques (implicitement supposées pr l FFT) rendent l figure de diffrction périodique de période nπ, d où l pprition des utres tches. On corrige cel en replçnt convenblement les qutre qudrnts de l figure et en corrigent le système de coordonnées, ce qui produit l Figure c. 3 Réseu Bidimensionnel et Simultions Question. On étudie dns cette question un réseu crré simple (bidimensionnel). Pour cel, on représenté l densité de chrges d un tel réseu insi que l figure de diffrction qui en résulte en Figure. On indexé les tches de diffrction sur cette figure. On remrque imméditement que, conformément à l théorie, le réseu réciproque est lui-même crré simple. De plus, en rélisnt l même identifiction que dns l section précédente (Question b.), on trouve l résolution π du vecteur de diffrction : m. Schnt que l on obtient un pic de diffrction tous les ps, et que ici m =, π on obtient le prmètre du réseu réciproque :, ce qui est bien cohérent vec l théorie. Victor Lnvin

2 Etude de surfces cristllines pr diffrction des ryons (b) Intensité diffrctée non corrigée (c) Intensité diffrctée corrigée Figure : Étude de l diffrction pr un tome pour σ =., n =, = Å Question b. Les tches ne sont ps circulires pour plusieurs risons. Premièrement, l discrétistion choisie est crrée. On donc rtificiellement introduit une symétrie crrée dns l nlyse, ce qui se répercute sur les résultts. Deuxièmement, l résolution est bsse (n = points), et il est donc impossible de distinguer de fines vritions. Cependnt, ugmenter n ne chngerit rien à l forme des tches cr l résolution du vecteur de diffrction ne dépend que de et de m. En revnche, cel peut permettre de rendre les tches plus précises, comme représenté en Figure 3 pour n =. Le réseu étnt infini (sous les conditions périodiques), les tches sont elles-mêmes infiniment fines. Ainsi, ugmenter l résolution ou l surfce nlysée ne feront que rétrécir les tches. Une solution serit de considérer une plus grnde fenêtre d nlyse, mis de considérer un échntillon restreint à une prtie de l fenêtre (et donc non-périodique sur l ensemble de l fenêtre). Cel permettrit d ugmenter l tille des tches et donc de visuliser des tches circulires. Question c. Dns cette question, on simule le désordre dû à l gittion thermique en ugmentnt le prmètre σ ssocié à l Gussienne de chque tome. L réprtition des chrges insi que l figure de diffrction sont représentées en Figure. On remrque que l intensité diffrctée est plus fible. Ceci est bien cohérent vec l théorie qui prédit une intensité diffrctée modulée pr e q σ. Ainsi, plus sigm est élevé, plus l intensité des pics secondires v être fible. Question d. On s intéresse mintennt à l influence de l tille du système m sur l figure de diffrction. On donc trcé l densité et l figure de diffrction pour différentes vleurs de m (m =, 3, ) en Figure. On remrque que plus l tille du système est élevée, moins on observe de pics. Cel est dû à l perte de précision lors de l intégrtion cr le ps d intégrtion ugmente linéirement en fonction de m. L pprent Victor Lnvin

3 Etude de surfces cristllines pr diffrction des ryons (b) Intensité diffrctée Figure : Étude de l diffrction pr un réseu cubique simple pour σ =., n =, = Å, m = étlement des figures de diffrction n est dû qu à l diminution de l fenêtre de représenttion, qui vut nπ m (et donc qui diminue en fonction de m). Question e. Dns cette question, on joute des tomes ux centres des milles fin d obtenir un réseu crré centré. L réprtition de densité et l figure de diffrction obtenues sont représentées en Figure. Si on compre cette figure à celle obtenue pour le réseu crré simple, on remrque que certins pics sont éteints. Ces extinctions, identifiées sur l figure, correspondent ux pics d indices (),(),(),(),. On retrouve le résultt nlytique qui prédit qu il y extinction en (ij) si et seulement si i et j ne sont ps de même prité. Question f. On essie mintennt de décentrer le réseu, c est à dire de décler légèrement les tomes des centres. L réprtition de densité et l figure de diffrction obtenues sont représentées en Figure 7. Notons d bord que le prmètre de l mille réciproque est inchngé pr rpport u cs cubique centré, et ce cr l mille est restée inchngée : seul le motif été modifié. Générlement, pour des motifs simples, on note que les symétries de l mille principle sont conservées dns l mille réciproque. Ici, en déplçnt les tomes centrux, on brisé l symétrique digonle présente dns le réseu cubique centré. Ainsi, on remrque que, contrirement u cs crré centré, l figure de diffrction ne présente plus de symétrie digonle : l digonle y = x n est plus équivlente à l digonle y = x. Cependnt, on tout de même conservé certines symétries (pr exemple, les xes verticux et horizontux coupnt un même point (hk) vec h = k sont équivlents). Anlyse de Données Expérimentles Question. Le silicium cristllise dns un réseu cubique fces centrées. Ainsi, le pln () d un cristl de silicium est un pln crré centré tel qu étudié dns l section précédente. On s ttend donc à une figure de diffrction similire à celle représentée en Figure. Pour se rendre compte des différences, on trcé en Figure l figure de diffrction correspondnt à un réseu crré centré de prmètre =.3 Å. On mesure sur cette figure l distnce entre deux pics lignés digonlement : d = π.3 Å. En rélisnt l même mesure sur le cliché LEED fourni, d échelle. cm Å, on trouve l distnce entre deux points lignés digonlement : d =.cm Å.cm. Å. Ceci correspond exctement à l moitié de l vleur ttendue : d = d/. On en déduit que, sur les digonles, un pic sur deux est dû ux tomes de volume. On sommirement représenté cel sur l Figure A. Question b. Une expliction sommire est donnée pr le schém représenté en Figure B. Question c. L surfce n étnt ps plne, certins tomes sont plus proches du microscope que d utres, et l intensité tunnel est donc plus élevée u niveu de ces tomes. On observe donc deux niveux d intensité, qui Victor Lnvin 3

4 Etude de surfces cristllines pr diffrction des ryons 7x 3 x x x - 3x x x Figure 3: Intensité diffrctée pr un réseu crré pour n = correspondent à une mrche. Victor Lnvin

5 Etude de surfces cristllines pr diffrction des ryons (b) Intensité diffrctée Figure : Étude de l diffrction pr un réseu cubique simple pour σ = pour m = (b) Intensité diffrctée pour m = (c) Densité de chrges pour m = 3 (d) Intensité diffrctée pour m = (e) Densité de chrges pour m = (f) Intensité diffrctée pour m = Figure : Étude de l diffrction pr un réseu crré simple pour différents m Victor Lnvin

6 Etude de surfces cristllines pr diffrction des ryons (b) Intensité diffrctée Figure : Étude de l diffrction pr un réseu crré centré (b) Intensité diffrctée Figure 7: Étude de l diffrction pr un réseu crré non centré Victor Lnvin

7 Etude de surfces cristllines pr diffrction des ryons Figure : Intensité diffrctée pr un réseu crré centré =.3 Å Victor Lnvin 7

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