Cycle 4: Analyser, modéliser et étudier le comportement des Systèmes Linéaires Continus et Invariants
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- Camille Aubin
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1 Cycle 4: Aalyser, modéliser et étudier le comportemet des Systèmes Liéaires Cotius et Ivariats Chapitre 5 Prévoir et idetifier le comportemet des systèmes fodametaux du d ordre Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page /9
2 Sommaire. Prévoir le comportemet des systèmes du d ordre 3.. Défiitio 3.. Caractéristiques de la répose à u échelo 4. Comportemet temporel des systèmes d'ordre quelcoque 4 3. Idetificatio à partir du modèle de comportemet 5 Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page /9
3 Mr Perot SLCI : étude des systèmes fodametaux du d ordre. Prévoir le comportemet temporel des systèmes du d ordre.. Défiitio Les systèmes du d ordre sot régis par ue équatio différetielle de la forme suivate : qui peut se oter aussi: L amortissemet est parfois oté m ou z Schéma-bloc d u système du secod ordre : y(t) Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page 3/9
4 Mr Perot SLCI : étude des systèmes fodametaux du d ordre.. Caractéristiques de la répose à u ECHELON (idicielle) O a : e(t) = E.u(t) E(p)= E p et K S( p) H ( p). E( p). p p E. p O peut mettre la foctio de trasfert sous la forme : H(p) K.... p p Pour meer l'étude de la répose idicielle, il faut tout d'abord s'itéresser aux pôles de la foctio de trasfert, solutios de l'équatio :... p p Le discrimiat réduit est : '.( ). Trois cas sot alors à evisager : < Δ'<, il y a racies complexes : p, =. j.. = Δ'=, il y a racie double : p, = > Δ'>, il y a racies réelles : p, =.. Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page 4/9
5 Mr Perot SLCI : étude des systèmes fodametaux du d ordre er cas : < doc le système est oscillat amorti (ou pseudo-périodique) Das ce cas, il y a racies complexes: p =. j.. et p =. j... O met S(p) sous la forme : S(p) p. ( p. ) E. K..( ) La décompositio de S(p) e élémets simples et le calcul de la trasformée de Laplace iverse ous doe : K.E pour t s, s(t) =.. t e E. K..si. t. avec cos( ) Régime permaet : E. K ; Régime trasitoire : E.. t e. K..si. t.. La courbe admet toujours ue tagete horizotale à t = La valeur fiale ted toujours vers K.E (si le système est stable), vers K si échelo uitaire. Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page 5/9
6 Mr Perot SLCI : étude des systèmes fodametaux du d ordre O observe l apparitio d oscillatios autour de la valeur fiale (répose pseudo-périodique), d autat plus amorties que est élevé. Pour =, la répose est siusoïdale d amplitude K. Le système est doc oscillat amorti, la pseudo-période des oscillatios est caractérisée par : la pseudo-pulsatio p : P =. T Cas particulier : = P = d où le om de pulsatio propre o amortie doée à. La courbe est doc pseudo-périodique de pseudo-période : T =. Performaces d u système du ème ordre e répose idicielle e régime pseudo-périodique avec : < Stabilité O remarque que plus l'amortissemet est faible, plus la répose temporelle présete des dépassemets importats. Si =, alors le système deviet istable. Démostratio : La recherche des temps des différets dépassemets se fait par l équatio imposat ue dérivée ulle avec : E. K. s' ( t).. t. e.si. t. = si.. t La dérivée s'aule pour : t k k. Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page 6/9
7 Mr Perot SLCI : étude des systèmes fodametaux du d ordre Les dépassemets sot alors doés par : D k = s(t k ) - s() après simplificatio, o obtiet: D k =. k E. K.( ) k. e (D k est idépedat de ). Pour le er dépassemet, o trouve : D =. E. K. e avec t. T car T. O retrouve aussi la relatio pour le er dépassemet relatif : D R D. (%) s( t) s( ) D s( ) e E. K A partir de l expressio du er dépassemet, o peut e déduire l expressio du coefficiet d amortissemet : l. D l D R l( D ) R Remarque : si = ous avos u oscillateur parfait L abaque ci-dessous permet de coaître la valeur du k ème dépassemet e foctio du facteur d amortissemet. Lorsque l amortissemet ted vers, o peut aisi mettre e évidece que la valeur des dépassemets est de plus e plus faible. Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page 7/9
8 Mr Perot SLCI : étude des systèmes fodametaux du d ordre Rapidité La rapidité d u système du secod ordre va se calculer par le temps de répose à 5%. Le temps de répose déped de et et e peut pas s écrire sous ue forme aalytique simple. L abaque ci-cotre doe le temps de répose réduit tr5%. e foctio du coefficiet d amortissemet. Remarque : le temps de répose miimal à 5% d erreur est doé pour u dépassemet : D =,5. K. E l DR E utilisat la relatio défiie ci-dessus, o trouve Tr 5% miimal pour,69 l( D ) R =.69 = Précisio La précisio est défiie par l erreur statique s est doé pour : s = lim[ e( t) s( t)] E E. K E.( K ) t Remarque très importate : l erreur statique a de ses que si e(t) et s(t) sot de même dimesio. Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page 8/9
9 Mr Perot SLCI : étude des systèmes fodametaux du d ordre ème cas : > doc le système est o oscillat (apériodique) et amorti Das ce cas, il y a pôles réels, p =.. et p =... Comme il y a pas d oscillatios, il est pas itéressat de rechercher ue pulsatio propre pour le système. O défiit alors et p comme les costates de temps (e secode) du système. p Sachat que : K E S( p) H ( p). E( p). p., p p O peut factoriser le déomiateur sous la forme : S(p) = K. E p.(. p).(. p) avec : ( + ) =. et (. ) = (o peut aussi défiir et si besoi). Après décompositio e 3 élémets simples, o obtiet : S(p) = E utilisat la trasformée de Laplace iverse, o obtiet : E. K.. p. (. ) p p. pour t s, s(t) = t E. K E. K.. e. e t Régime permaet : E. K ; Régime trasitoire : E. K.. e t t. e Le système peut doc être représeté par le schéma ci-dessous: E(p) τ.p τ.p S(p) Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page 9/9
10 Mr Perot SLCI : étude des systèmes fodametaux du d ordre par idetificatio << doc er ordre Avec : T +T =. et (. ) = Répose d u système du ème ordre à u échelo e(t) = E.u (t) avec : > Attetio: si ue costate de temps est égligeable devat l'autre par <<, alors le système du d ordre peut être modélisé par u er ordre de gai statique K et de costate de temps, S(p)= Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page /9
11 Mr Perot SLCI : étude des systèmes fodametaux du d ordre Performaces d u système du ème ordre e répose idicielle e régime apériodique amorti avec : > Stabilité O remarque la répose temporelle e présete pas de dépassemet quad > Doc pour >, u système du ème ordre est toujours stable e répose idicielle. Rapidité Le critère est le tr 5% sas dépassemet car >. O défiit le temps de répose à 5% à l aide de l abaque du temps de répose réduit (Tr. ) e foctio de ( ou z) Précisio Elle est défiie par l erreur statique s est doé pour : s = lim[ e( t) s( t)] E E. K E.( K ) t Remarque très importate : l erreur statique a de ses que si e(t) et s(t) sot de même dimesio. Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page /9
12 Mr Perot SLCI : étude des systèmes fodametaux du d ordre 3 ème cas : = doc le système est o oscillat et amorti (apériodique critique) Das ce cas, o a ue racie : p, = o défiit : Sachat que : K E S( p) H ( p). E( p). p., p p O peut factoriser le déomiateur sous la forme : comme costate de temps (e secode) du système. p, K. E S(p) = p.(. p) avec : (.) =. et ( ) = Après décompositio e 3 élémets simples, o obtiet : S(p) = E utilisat la trasformée de Laplace iverse, o obtiet : E. K. p. p (. p) pour t s, s(t) = t E. K. ( ). e t Régime permaet : E. K ; Régime trasitoire : t E. K. ( ). e t s()= Pete de la tagete à l origie : t s '( t) E. K. ( ). e t doc s '() (tagete horizotale à l origie) Positio du poit d iflexio pour : t = = Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page /9
13 Mr Perot SLCI : étude des systèmes fodametaux du d ordre Performaces d u système du ème ordre e répose idicielle e régime apériodique amorti avec : > Stabilité O remarque la répose temporelle e présete pas de dépassemet quad = Doc pour =, u système du ème ordre est toujours stable e répose idicielle. Rapidité Le critère est le tr 5% sas dépassemet car =. La répose est plus rapide que si > (tr5% = 5 ), mais l allure de la courbe est très similaire. O défiit le temps de répose à 5% à l aide de l abaque du temps de répose réduit (Tr. ) e foctio de ( ou z) Précisio Elle est défiie par l erreur statique s est doé pour : s = lim[ e( t) s( t)] E E. K E.( K ) t Remarque très importate : l erreur statique a de ses que si e(t) et s(t) sot de même dimesio. Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page 3/9
14 Mr Perot SLCI : étude des systèmes fodametaux du d ordre SYNTHESE: O retiedra les résultats suivats, obteus à partir de l'étude des équatios temporelles.. Comportemet temporel des systèmes d'ordre quelcoque Suivat la ature des pôles de la foctio de trasfert, la répose du système présetera les différetes allures suivates : Systèmes stables Systèmes istables La sortie s(t) est stable que si les racies du déomiateur de la foctio de trasfert (pôles de la foctio de trasfert) sot tous à partie réelle égative. Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page 4/9
15 Mr Perot SLCI : étude des systèmes fodametaux du d ordre 3. Idetificatio à partir du modèle de comportemet Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page 5/9
16 Mr Perot SLCI : étude des systèmes fodametaux du d ordre Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page 6/9
17 Mr Perot SLCI : étude des systèmes fodametaux du d ordre et à partir de la tagete à la courbe au poit d'iflectio Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page 7/9
18 Mr Perot SLCI : étude des systèmes fodametaux du d ordre Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page 8/9
19 Mr Perot SLCI : étude des systèmes fodametaux du d ordre Modélisatio des SLCI Etude des systèmes du d ordre page 9/9
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