Les probabilités. May 25, 2017

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1 Les probabilités May 25, 2017

2 I) Probabilités théorique, Chances POUR, Chances CONTRE Exemple: Dans un sac, il y a 240 billes. Il y a deux fois plus de billes bleues que de billes noires. Il y a 17 billes jaunes de plus que le quadruple du nombre de billes noires. Il y a 14 billes rouges de moins qu'il y a de billes jaunes. Dans une fête foraine on donnera un lot de 200$ pour la réussite d'un jeu qui utilise le sac de 240 billes. Ce jeu consiste à piger, sans remise, 4 billes de la même couleur. Ton travail sera de déterminer la probabilité de remporter le lot, puis, de déterminer les chances POUR et les chances CONTRE. May 25, 2017 Nous utiliserons les probabilités théoriques : P théorique = Rappels : ET se représente par le symbole OU se représente par le symbole et signifie mathématiquement et signifie mathématiquement

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6 II) Probabilités théoriques VS fréquentielles Exemple: Prenons 2 dés équilibrés de 6 faces et lançons-les. a) Quelle est la probabilité d'obtenir une somme de 4? b) Si je lance les dés fois, est-ce que je suis assuré d'obtenir une somme de 4 fois? Probabilité fréquentielle (définition) :

7 Exemple 2: Dans ton ipod Shuffle tu as de la musique Pop (20 chansons), du Rap (60 chansons), de la musique Techno (12 chansons) et des pistes de François Perusse (26 pistes). Comme tu avais l'impression de toujours écouter le même type de musique, tu as choisi de prendre en note chacune des chansons. Voici la répartition de ce que tu as écouté : POP : 32 fois RAP : 45 fois TECHNO : 28 fois François Perusse : 15 fois En te fiant aux données recueillies, quelle est la probabilité que la prochaine chanson que ton ipod joue soit une piste de François Perusse?

8 May 25, 2017 III) Probabilités conditionnelles Tu joues à «Guess Who» avec un ami. Sachant comme seul indice que la personne est un homme, quelle est la probabilité que ce soit Robert?

9 May 25, 2017 Tu joues à «Guess Who» avec un ami. Sachant comme seul indice que la personne porte un chapeau, quelle est la probabilité que ce soit une femme?

10 May 25, 2017 Tu joues à «Guess Who» avec un ami. Sachant comme seul indice que la personne est un homme, quelle est la probabilité que la personne ait une moustache?

11 Les probabilités conditionnelles (définition) : May 25, 2017

12 Tableau Dans un sondage on s intéresse à la répartition des votes selon le sexe de la personne interrogée. Voici les résultats récupérés : Il y a 80 personnes qui ont répondu au sondage dont 45 sont des femmes. 5 femmes ont voté pour le parti Gris et 28 ont voté pour le parti Bleu. 20 personnes ont voté pour le parti Jaune. 4 hommes ont voté pour le parti Gris. Femme Homme P. Gris P. Jaune P. Bleu 1. En interrogeant une personne au hasard, quelle est la probabilité qu elle ait voté pour le parti bleu, sachant que c'est un homme? 2. En interrogeant une personne au hasard, quelle est la probabilité qu elle ait voté pour le parti Gris sachant qu elle est une femme? 3. En interrogeant une personne au hasard, quelle est la probabilité qu elle soit une femme sachant qu elle a voté pour le parti Gris?

13 Diagramme de Venn Dans un terrain de jeux, les jeunes peuvent s'inscrire à 3 activités: La natation, le VolleyBall, le BasketBall. Il est possible de choisir plus d'une activité. Il y a 4 jeunes qui feront les 3 activités. 13 jeunes seront inscrits à la natation. Il y a au total 11 jeunes pratiquant exactement 2 activités. 9 jeunes feront SEULEMENT du VolleyBall. 7 sont inscrits au VolleyBall et au BasketBall. Il y a au total 16 jeunes inscrits à l'activité de BasketBall. Il y a 17 jeunes qui ne feront qu'une seule activité. 1. En prenant un jeune au hasard, quelle est la probabilité qu'il soit inscrit à deux sports sachant qu'il est inscrit à la natation? 2. Quelle est la probabilité de tomber aléatoirement sur un jeune inscrit au VolleyBall sachant que ce dernier n'est inscrit qu'à une activité? 3. Quelle est la probabilité de tomber sur un jeune inscrit au BasketBall sachant qu'il fera les 3 activités?

14 Devoir: Lire Diapo 16 et 17 + Écouter vidéo que je vous envoie ce soir par courriel + Effectuer, avant lundi 8hAM le quiz sur les statistiques et les probabilités (il compte)

15 IV) L'espérance mathématique Avant de nous lancer dans une définition, regardons un exemple simple... Un jeu consiste à lancer un dé. Si on obtient le chiffre 1, on obtient 3$. Sinon, nous ne gagnons rien. Pour jouer, nous devons payer 1$. Analysons ce jeu. Exemple 2: On lance un dé. Si on obtient 1, on reçoit 1$ de plus que la mise. Si on obtient un 5, on reçoit 2$ de plus que la mise. Pour tous les autres résultats, on ne reçoit rien. Le jeu est équitable. Détermine la mise de départ.

16 On tire une boule d un boulier contenant des boules numérotées de 1 à 22. Si la boule est un multiple de 8 on remet 6$ au joueur. Si la boule est un nombre supérieur à 7, on remet 4$ au joueur. Pour toutes les autres possibilités, le joueur perd sa mise de 3$. Ce jeu favorise-t-il le joueur? Si oui, de combien. Un ami vous propose le jeu suivant : vous misez 5$, puis lancer un dé. Si vous obtenez 2 ou 3, il vous remet 7$ et votre mise. Si vous obtenez un 4, il vous remet 2$. Autrement, il garde votre mise. Ce jeu est-il équitable?

17 Imaginons un jeu de hasard... Tu devras tourner la roue deux fois et lancer le dé une fois. Avant tout, tu écriras sur un papier une couleur pour le premier tour de roue, une pour le deuxième (tu peux garder la meme) et un nombre de 1 à 6. On te remettra 1$ si une de tes deux couleurs choisie était à la bonne position 2$ Si tes deux couleurs choisies sont à la bonne position 5$ Si tes deux couleurs choisies sont à la bonne position et que tu as eu le bon numéro. L'espérance mathématique Définition: Valeur que l'on peut s'attendre d'obtenir si on répète l'expérience une infinité de fois (on utilisera donc les probabilités théoriques) 1) Premièrement, ressortons les valeurs qu'il nous est possible de remporter. Pour notre jeu c'est 1$, 2$ et 5$ 2) Chacun des montants a une probabilité différente d'être obtenue. Déterminons cette probabilité pour chacun des montant. P(1$) Bonne couleur au premier et mauvais au deuxième 1 3 = OU Mauvaise couleur au premier et bonne couleur au deuxième 3 1 = P(1$) = 3/16 + 3/16 = 6/16 = 3/8 P(2$) Bonne couleur au premier ET bonne couleur au deuxième 1 1 = P(2$) = 1/16 P(5$) Bonne couleur au premier ET bonne couleur au deuxième ET bon nombre = P(5$)=1/96 3) Nous multiplierons chaque montant par la probabilité de l'obtenir et nous ferons la somme des résultats obtenus. Le nombre obtenu s'appelle l'esperance mathématique. C'est le montant que l'on peut s'attendre d'obtenir si on joue à ce jeu un nombre infini de fois. E = E= = il nous faut un déno commun! Prenons = 53 = 0, En jouant un nombre infini de fois, on aura en moyenne récolté 0,5521$.

18 Participer à un jeu pouvant nous faire gagner de l'argent n'est jamais gratuit... Le montant que l'on doit payer pour participer à un jeu s'appelle la mise de départ. Il existe trois sortes de jeux: 1) Les jeux favorables aux participants (quasiment inexistant comme principe!). Cela signifie qu'un participant, en jouant un nombre infini de fois, pourrait s'attendre à obtenir un montant moyen qui est supérieur à sa mise. Donc ESPÉRANCE > MISE 2) Les jeux défavorables aux participants (Tous les jeux d'arcades, les jeux au casino, les lotteries). Cela signifie qu'un participant, en jouant un nombre infini de fois, pourrait s'attendre à obtenir un montant moyen qui est inférieur à sa mise. Donc ESPÉRANCE < MISE... même si on fait des gains, en bout de ligne on aura toujours investi plus d'argent qu'on en aura réellement gagné. 3) Les jeux équitables sont les jeux pour lesquelles la mise de départ est égale au montant que nous pouvons nous attendre de gagner. Ce sont les jeux qui font les plus belles mises en situation mathématique ;) Donc ESPÉRANCE = MISE Ajoutons un dernier mot de vocabulaire: ESPÉRANCE DE GAIN Pensons-y... ESPÉRANCE - MISE = ESPÉRANCE DE GAIN Si l'espérance de gain est négative, c'est qu'on a investi plus qu'on a gagné, donc le jeu est défavorable. Si l'espérance de gain est positive, c'est qu'on s'attend à faire un profit si on joue une infinité de fois. Le jeu était favorable. Si l'espérance de gain est nulle (=0) alors le montant investi était identique au montant recueilli. Le jeu était donc équitable.

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23 (1/9) 8$ + (3/9) 4$ + (5/9) 0$ = Em 2,22$=Em Eg=2,22-4=-1,78 On mise 4$ donc, en jouant un très grand nombre de fois, nous perdons en moyenne 1,78$ Coeur Coeur Étoile Étoile (2/5 1/4) (20+x) + (2/5 1/4) (20+x) = Em (2/20) (20+x) + (2/20) (20+x) = Em (40/20)+(2x/20) +(40/20)+(2x/20)= Em 80/20 + 4x/20 = x car le jeu est équitable x = 20x 80$ = 16x 5$=x= mise de départ

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29 x: prix en argent cercles losanges triangles (4/9) 0$ + (3/9) (7$) + (2/9) (x+5) =5$ car le jeu et équitable 21/9+2x/9 + 10/9 =5 31/9+2x/9 =5 31+2x=45 2x=14 x=7$ N et pair OU Hachuré et impair (100/360) (3/6) (5$) + (120/360) (3/6) (7$) = Em 1500/ /2160 = 4020/2160 = 1,86111$ Eg= Em-mise Eg=1,8611-1=0,86$ en jouant un très grand nombre de fois, on gagne en moyenne 86 cents. Le jeu est favorable. x: Montant gagné pour la case mystère Noire Blanche Mystère (5/9) 0$ + (3/9) (2$) + (1/9) (x) = 2$ 6/9 + x/9 =2 6 + x =18 x=12$

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