13. Géométrie de l'espace

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1 1. Périmètre et aire d'une figure 13. Géométrie de l'espace Définition : Le périmètre d'une figure est la mesure de la longueur de son contour, exprimée dans une unité de longueur donnée. Définition : L'aire d'une figure est la mesure de sa surface intérieure, exprimée dans une unité d'aire donnée. Exemple : Quel est le périmètre et quelle est l'aire de la figure ci-dessous sacant que l'unité de longueur est la longueur d'un petit carré et l'unité d'aire est l'aire d'un petit carré? Périmètre =18 Aire = 8 Formulaire : Figure Périmètre P Aire A Rectangle P = 2 x (L + l) A = L x l Carré P = 4 x c A = c x c = c² Triangle rectangle P = a + b + c A = a b 2 Triangle quelconque P = a + b + c A = c 2 Cercle - Disque P = 2 r ou P = d avec 3,14 A = π r r Remarque : Toutes les longueurs intervenant dans les calculs de périmètre ou d aire doivent être exprimées dans une même unité de longueur.

2 Activité d'introduction : Comment décomposer le parallélogramme ci-dessous en figure dont on peut calculer l'aire? On trace une auteur et on forme un rectangle par recollage. Trace sur une feuille des parallélogrammes et effectue des découpages pour te ramener à une figure dont tu connais l'aire. Propose alors une formule donnant l'aire d'un parallélogramme. Base x Hauteur Propriété : L'aire d'un parallélogramme est égale au produit de la longueur d'un de ses côtés par la longueur de la auteur relative à ce côté, toutes deux exprimées dans la même unité de longueur. Exemple : Calcule l'aire du parallélogramme ci-dessous. Exercices 2. Solides de l'espace et volume Nous allons étudier différents solides dans cette partie. Pour caque solide, on se propose de donner : - une représentation en lien avec un objet de la vie quotidienne ; - une définition ; - la formule permettant de calculer son volume ; Le parallélépipède rectangle Activité d'introduction : Rappel oral autour du parallélépipède rectangle (définition, volume, patron, perspective) Dans la vie de tous les jours, quels sont les objets en forme de parallélépipèdes rectangles? Définition : Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un solide dont les six faces sont des rectangles.

3 Propriété (admise) : Volume d un parallélépipède rectangle V =L l l L Exemple : Quel est le volume d un pavé droit ayant pour dimensions 5 cm sur 7 cm sur 12 mm? 5 x 7 x 1,2 = 42 cm³ Remarque : Le volume d un cube de côté c est donné par la formule V = c³ ou V =c c c. Le cylindre Activité d introduction : Dans la vie de tous les jours, quels sont les objets en forme de cylindres? tubes, tuyaux Définition : Un cylindre de révolution est un solide qui possède : - deux disques parallèles et de même rayon, appelé bases ; - un rectangle enroulé autour des bases, appelé surface latérale. Activité d'introduction : Le pluviomètre sert à mesurer la quantité d'eau de pluie tombée pendant un intervalle de temps donné. Le résultat de la mesure s'exprime en millimètre (auteur d'eau). On a relevé les auteurs d'eau suivantes dans un pluviomètre ayant la forme d'un cylindre de 20 cm de auteur et 5 cm de rayon. Complète le tableau ci-dessous. Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin Hauteur d'eau mensuelle (en mm) Hauteur d'eau mensuelle (en cm) Volume (en cm³) 70,65 86,35 54,95 70,65 86,35 15,7 Calcule l'aire de la base du cylindre (en cm²). Le tableau du dessus est-il un tableau de proportionnalité? Propose une formule permettant de calculer le volume d'un cylindre. Propriété (admise) : Volume d un cylindre de révolution de base de rayon R et de auteur V =π R R R Exemple : Quel est le volume d un cylindre de révolution ayant 5 cm de auteur et dont la base a un diamètre de 6 cm? V =π 3 3 5=45π 141,37.

4 Le prisme droit Activité d introduction : Dans la vie de tous les jours, quels sont les objets en forme de prismes droits? Définition : Un prisme droit est un solide qui possède : - deux polygones superposables pour faces parallèles, appelées bases ; - des rectangles pour toutes les autres faces, appelées faces latérales. Activité d'introduction : Transmat p 155 activité 1 (n 1) Propriété (admise) : Volume d un prisme droit de base d aire B et de auteur V =B B Exemple : Quel est le volume d un prisme droit de auteur 9 cm et dont la base est un carré de 7 cm de côté? V = 9 x 7 x 7 = 441 cm³. La pyramide Activité d introduction : Dans la vie de tous les jours, quels sont les objets en forme de pyramides? bougies Définition : Une pyramide est un solide dont : - une face est un polygone, appelé base ; les autres faces sont des triangles qui ont un sommet commun, appelé le sommet de la pyramide. Ce sont les faces latérales. La auteur d une pyramide de sommet S est le segment [SH] porté par la perpendiculaire à la base en H. Remarque : Une pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier et dont la auteur passe par le centre de gravité de la base. Ses faces latérales sont des triangles isocèles superposables.

5 Activité d'introduction : Reproduis le patron de la pyramide ci-dessous. Assemble trois pyramides identiques afin de former une figure connue. 10,39 cm 10,39 cm 6cm 6 cm 6 cm Propose alors une formule donnant le volume d'une pyramide. Que se passe-t-il lorsque l on considère une pyramide régulière dont le nombre de côtés de la base augmente? Voir animation GeoGebra. Propriété (admise) : Volume d une pyramide de base d aire B et de auteur V =(B ) 3 B Le cône Activité d introduction : Dans la vie de tous les jours, quels sont les objets en forme de cônes? cornets de glace Définition : Un cône de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d un des côtés de son angle droit. Il possède une base en forme de disque, un sommet et une surface latérale.

6 Activité d'introduction : Comme nous l avons vu précédemment, explique comment on peut se rapprocer d un cône à partir d une pyramide régulière. Propose alors une formule pour calculer le volume d un cône. Propriété (admise) : Volume d un cône de révolution de base de rayon R et de auteur V =(π R R ) 3 R La boule Activité d introduction : Dans la vie de tous les jours, quels sont les objets en forme de spère? Définition : La boule de centre O et de rayon r est l ensemble des points M de l espace tels que OM r. Remarque : La spère représente la surface extérieure de la boule. Propriété (admise) : Volume d une boule de rayon R V =(4 π R R R) 3 ou V =(4 π R 3 ) 3 Exercices 3. Les unités Pour effectuer un cangement d'unité de longueur ou d aire, on peut utiliser un tableau comme ceux ci-dessous. Unités de longueur km m dam m dm cm mm Unités d'aire km² m² dam² m² dm² cm² mm²

7 Remarque : Pour mesurer la surface d'un terrain, de terres agricoles ou forestières... on utilise des unités d'aire spécifiques, appelées unités de mesure agraires : un are (a) est égal à 100 m², donc 1 a = 1 dam²; un ectare (a) est égal à 100 ares, donc 1 a = m² = 1 m²; un centiare (ca) est égal à un centième d'are, donc 1 ca = 1 m². Propriété (admise) : On a toujours l'équivalence 1 dm³ = 1L. Pour effectuer un cangement d unité de volume ou de capacité, on peut utiliser le tableau cidessous. Unités de volume dam³ m³ dm³ cm³ mm³ Unités de contenance kl L dal L dl cl ml Exemple : Complète les égalités suivantes. 5,3 dam² =... m² 0,036 m =...cm 500dm³ =...dam³ 3 m³ =...L Exercices 4. Représentation des solides Définition : Un patron d un solide est une figure du plan qui, par découpage et pliage, permet de fabriquer le solide. Remarque : Il existe parfois plusieurs patrons pour un même solide. Faire un patron des solides suivants : - un parallélépipède rectangle de longueur 6 cm, de largeur 4 cm et de auteur 3 cm ; - un prisme droit dont la base est un triangle équilatéral de 5 cm de côté et de auteur 7 cm ; - une pyramide régulière à base carrée de 4 cm de côté et dont l arête latérale mesure 6 cm. Faire un squelette des solides suivants : - un cylindre de 8 cm de auteur et dont la base a un rayon de 3 cm ; - un cône de 6 cm de auteur et dont la base a un rayon de 4 cm. Définition : La perspective cavalière est une tecnique de dessin qui permet de représenter un solide sur une surface plane. Quelques règles : Les arêtes parallèles sur le solide sont représentées par des segments parallèles. Les faces qu'un observateur a face à lui (faces avant et arrière) sont représentées en vraies grandeurs ou à l'écelle sans déformation et les arêtes qui relient ces faces sont réduites. Les arêtes qu'un observateur ne voit pas sont représentées en pointillés. Réaliser un dessin en perspective des différents solides vus dans ce capitre.