1.1 FORMULES GÉNÉRALES.

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1 1 LICENCE 1 ECONOMIE-GESTION MATHEMATIQUES FINANCIERES 1 INTÉRÊT SIMPLE 1.1 FORMULES GÉNÉRALES. Exercice 1 a). Décompte des jours : 13 Septembre(exclu) 30 Septembre : 30-13=17 jours 01 Octobre 31 Janvier : Oct+Nov+Dec+Jan = = 3 jours 1 Février 7 Février(inclus) : 7 jours Donc n = = 167 jours. Par conséquent l intérêt cherché est I = , = 1169 (euros). b). On a I = = 88 = 700 0, 08 n 88. Donc n = = 55 (jours) ,08 Décompte inverse des jours : 8 juin (exclu) 30 juin : 30-8= jours 01 Juillet 31 Juillet : 31 jours 1 Aout Aout : jours La placement a été interrompu le Aout. c). Décompte des jours : 16 Mai (exclu) 31 Mai : 31-16=15 jours 01 Juin 31 Aout : Juin+Juil+Aout = = 9 jours 1 Septembre 5 Septembre(inclus) : 5 jours Donc n = = 13 jours. On a donc I = 31 = 800 i 13 d). On a K acq = 16738, 70 = K + K.i. n Exercice et donc i = = 0, 075 = 7, 5% ,70 = K(1 + 0, 08 ), donc K = 1+0,08 6 a). Versement Montant Durée Intérêt fourni V 1 s (euros) (mois) I 1 = s.i. V s (euros) 11 (mois) I = s.i. 11 = (euros) V 3 s (euros) 10 (mois) I 3 = s.i. 10 V s (euros) 1 (mois) I = s.i. 1 L intérêt fourni pour chacun des versements est calculé à partir de la formule de calcul des intérêts simples : I = K.i.t, où : K est le capital placé (le versement), i est le taux d intérêt annuel, t est la durée du placement en ans, c est à dire t = nombre de mois.

2 Par conséquent, le total total des capitaux versés est : V = V 1 + V V = s + s s =.s et le total des intérêts est : I = I 1 +I +...+I = s.i. +s.i s.i. 1 ( = s.i ) ( ) = s.i. On admet la formule pour la somme des n premiers entiers : ( On obtient : I = s.i n = n + (n 1) = ) (+1) = s.i. 13. n(n + 1) Finalement, la somme totale (capitaux et intérêts réunis) au 31 décembre (c est à dire après mois de versements) est V + I = s + s.i. 13 b). De manière analogue, pour n mois de versements, on a : Versement Montant Durée Intérêt fourni V 1 s (euros) n (mois) I 1 = s.i. n V s (euros) n-1 (mois) I = s.i. n 1 V 3 s (euros) n- (mois) I 3 = s.i. n V n s (euros) 1 (mois) I n = s.i. 1 Par conséquent, le total total des capitaux versés est : V = V 1 + V V n = s + s s = n.s et le total des intérêts est : I = I 1 +I +...+I n = s.i. n +s.i.n s.i. 1 ( n = s.i. + n ) ( ) n + (n 1) = s.i. En utilisant la formule pour la somme des n premiers entiers, on obtient : ( n(n+1) ) ( ) n(n + 1) I = s.i. = s.i. Finalement, la somme totale (capitaux et intérêts réunis) après n mois de versements est : ( ) n(n + 1) V + I = n.s + s.i. c). Lorsque s = 000euros et i = 9%, on a :

3 3 La somme totale (capitaux et intérêts réunis) au 31 décembre (c est à dire après mois de versements) est V + I = = = 5170(euros) La somme totale S n (capitaux et intérêts réunis) après n mois de versements est : S n = V + I = 000.n ( ) n(n + 1) 100 = 000.n + 15 n(n + 1)(euros) d). En écrivant S n = 66975, puis en développant on obtient : 000.n + 15 n + 15 n = et donc 15 n + ( )n = 0, c est une équation du second degré, calculons son discriminant : = (007, 5) 7, 5 ( 66975) = (007, 5) = (57, 5). On en déduit les solutions de l équation n 1 = 007,5+57,5 = 50 = 30 et n = 007,5 57,5 < 0 donc 15 ne convient pas. Par conséquent, la durée cherchée est n = 30 (mois). Exercice 3 Chaque trimestre, la personne rembourse x (euros) et des intérêts calculés sur la somme restant due nombre de mois par la formule I = somme restant due.i.t, où i est le taux d intérêt annuel et t = = 3 = 1. La somme initialement due est de x (euros) et diminue chaque trimestre de x (euros). La somme restant due vaut donc : x (euros) pour le premier versement, x 1 x = 3x (euros) pour le second, x x = x (euros) pour le troisième, x 3 x = x (euros) pour le quatrième. Nous formalisons donc le montant des versements de la manière suivante : V 1 = x + x i (euros) V 3 = x + x i (euros) V = x + 3x i (euros) V = x + x i (euros) Le total des versements V 1 + V + V 3 + V = et chaque versement est exactement inférieur de 600 euros au précédent. Nous avons donc V = V 1 600, V 3 = V 600 et V = V Ainsi V = V x + 3x i = x + x i 600 3x i = x i 600 3x i x i ( ) 3x = 600 x i ( = 600 x ) i ( x ) = 600 i = 600 i.x = 600 = On peut vérifier que les autres équations donnent la même égalité : i.x = 9600 ( x D autre part, V 1 + V + V 3 + V = x i ) ( x + + 3x i ) ( x + + x i ) + ( x + x i ) ( x = x + x + x ) + i ( x + 3x + x + x ) = x + i ( ) 10x 10 i.x = On obtient l égalité : x + = En utilisant la première égalité ( i.x = 9600 ), on obtient x+ = et finalement x+6000 = , c est à dire x = (euros) et par suite i = 9600 = 9600 = = = % = i. x

4 1. RAPPELS SUITES ARITHMÉTIQUES 1. Définitions. On appelle suite arithmétique une suite de nombres dans laquelle on passe d un terme au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre. Ce nombre est appelé raison de la suite.. Remarque. On notera qu une suite arithmétique est entièrement caractérisée par la donnée de son premier terme et celle de sa raison. 3. Exemple. La suite arithmétique de premier terme 5 et de raison est : 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...etc.... Notations et conventions usuelles. La suite est notée (U n ). La raison d une suite arithmétique est le plus souvent notée r. Si on note son premier terme U 1, alors U n est le n ieme terme de la suite. Si on note son premier terme U 0, alors U n est le (n + 1) ieme terme de la suite. 5. Formules. U n+1 = U n + r, pour tout entier n > 0. U n = U 1 + (n 1).r, pour tout entier n > 0. U n = U 0 + n.r, pour tout entier n 0, lorsque le premier terme est U 0. La somme des n premiers termes d une suite arithmétique est : premier terme + dernier terme S = nombre de termes 6. Exemple classique. La suite des entiers naturel est la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1. Cette suite s écrit (U n = n) ou encore 1,, 3,..., n,... La somme des n premiers entiers est la somme des n premiers termes de cette suite et vaut S = n = n 1 + n Exercice = n(n + 1) a). Notons C 1, C et C 3 les trois capitaux qui croissent en progression arithmétique et notons r la raison de cette progression. On a C = C 1 + r et C 3 = C + r = C 1 +.r = C , d après l énoncé. On en déduit que.r = 00 et donc r = 00. Par conséquent, la somme totale placée est K = C 1 + C + C 3 = C 1 + (C ) + (C ) = 3.C L intérêt total produit est donc I = K.i.t = (3.C 1 + 0). 3.1 = 189, on en déduit : C = = = 6300 et par suite 3.C 3 1 = = 700 et finalement on a : C 1 = 900(euros), C = = 100(euros), C 3 = = 3300(euros)

5 5 1.3 INTÉRÊT PRÉ/POST COMPTÉ. Post-compté (cas classique) : On emprunte K euros, on dispose au début du prêt de K et on rembourse K + I à l échéance (à l issue de la durée du prêt). L intérêt post-compté I se calcule par la formule I = K.i.t, où i est le taux annuel. Précompté : On emprunte K + I euros, on dispose au début du prêt de K et on rembourse K à l échéance. L intérêt I est prélevé au début du prêt, il est dit précompté (ou terme à échoir) et se calcule par la formule I = (K + I).i.t, où i est le taux annuel. Comparaison. Pour comparer (décider lequel fournira un intérêt le plus bas), on définit le taux d intérêt effectif i eff qui est calculé à partir de la somme réellement disponible au début du prêt : i eff = i pour un intérêt post-compté à taux i, i eff i = > i pour un intérêt précompté à taux i. 1 i.t Exercice 6. Ici, le capital que l entreprise souhaite avoir à disposition est 10 millions d euros et la durée de l échéance est 70 jours. a)- Calculons les taux effectifs pour chacune de ces propositions : Pour le premier banquier, l intérêt est précompté et son taux vaut 9 %, donc i eff 1 = i 1 i.t = 0, , = 0, Pour le second banquier, l intérêt est post-compté et son taux vaut 9, 05 %, donc i eff =i = 0, 0905 < i eff 1. Par conséquent, la proposition du second banquier est celle à retenir. b)- Le nouveau taux effectif du premier banquier doit au plus être égal à celui du second 0, On cherche donc i pour que i eff 1 = i 70 = 0, 0905, avec t = = 7. 1 i.t 36 Résolvons cette équation en i : i 1 i.t = 0, 0905 i = (1 i ) 0, 0905 = 0, 0905 i. 7.0, i + i , 0905 = 0, 0905 i ( , 0905) = 0, 0905 i = 0, = 0, , Le banquier peut donc proposer un taux à échoir de 8, 89 %

6 6 1. L ESCOMPTE Escompte commercial - Valeur nominale - Valeur actuelle. L escompte commercial perçu par la Banque lors du rachat d une dette (créance) est l intérêt calculé sur la valeur nominale (i.e le montant de la dette/créance) de la manière suivante : E = V.i e. n e V (ou V nom ) est la valeur nominale, c est à dire le montant la dette/créance i e est le taux annuel de l escompte n e est la durée en jours entre la date de cession de la dette et la date remboursement par le Débiteur. La valeur actuelle commerciale est la somme qui sera versée par la banque au Créancier, elle se calcule par la formule : V ac = V E Exercice 5. Ici, la valeur nominale est V = 50000(euros), le taux d escompte est i e = 10% et la durée est n e = 90(jours). On a donc E = = = = 50 5 = 50(euros) Le banquier remettra donc à l entreprise V ac = = 8750(euros). 1.. Escompte rationnel. L escompte rationnel perçu par la Banque lors du rachat d une dette (créance) est l intérêt calculé sur le montant réellement versé par la banque au créancier, appelé valeur actuelle rationnelle dans cette technique, de la manière suivante : E r = V ar.i e. n e, où V ar est la valeur actuelle rationnelle i e est le taux annuel de l escompte n e est la durée en jours entre la date de cession de la dette et la date remboursement par le Débiteur. La valeur actuelle rationnelle vérifie la formule : V ar = V E r, où V est la valeur nominale. En pratique, V a r n est pas initialement donnée, seule V est connue. En combinant les formules cidessus, on obtient : V ar = V i e.n e n 1 + i e et E r = V. e + i e.n e Exercice 7. Ici, la valeur nominale est V = 10000(euros), le taux d escompte est i e = 6% et la durée est n e = 60(jours). a). L escompte commercial prélevé par le banquier est donc E = = = = 100(euros). 36 b). Ce mode de calcul paraît injuste car les intérêts sont calculés sur la somme de la créance et non sur la somme réellement empruntée au banquier. c). Un mode de calcul plus juste est l escompte rationnel. Dans ce cas, l escompte rationnel prélevé par le banquier est donc E r = = 99, 01...(euros)

7 Equivalence d effets : Deux effets sont dits équivalents, à une date donnée, si au même taux d escompte, ils ont la même valeur actuelle. Un effet est équivalent, à une date donnée, à plusieurs effets, si au même taux d escompte, la valeur actuelle de l effet unique est égale à la somme des valeurs actuelles des autres effets. Exercice 8. Effet Valeur nominale Durée/ échéance Escompte Effet (euros) 30(jours) E 1 = , 1 30 Effet 000(euros) 5(jours) E = 000 0, 1 5 Valeur actuelle ac = 5 V1 = = 975 ac = 50 V = = 3950 ac = 100 V3 = = 5900 Effet (euros) 60(jours) E 3 = , 1 60 La valeur actuelle V ac de l effet unique équivalent est égale à la somme des valeurs actuelles des autres effets, c est à dire : V ac = V ac 1 + V ac + V ac 3 = = 85 Son échéance est de 50 jours et sa valeur nominale (montant) vérifie la formule : V nom = V ac + E, où E est l escompte de cet effet calculé sur cette même valeur nominale, ainsi E = V nom 0, On en déduit V nom = V ac + V nom 0, 1 50, puis V nom (1 0,1 50 ) = V ac = 85 et finalement, V nom = ,1 50 = 13005, 6...(euros) Echéance moyenne. On rappelle que la valeur actuelle de l effet unique équivalent à plusieurs effets est égale à la somme des valeurs actuelles de ces effets. Si en plus, le nominal de l effet unique est aussi égal à la somme des valeurs nominales des autres effets (et donc l escompte est la somme des escomptes), la date d échéance de l effet unique est appelée échéance moyenne. Uniquement dans le cas des intérêts simples, l échéance moyenne n se calcule simplement par la formule n = n i.v i Vi. Exercice 9. Ici V 1 = 000 (euros) V = 6000 (euros) V 3 = 6500 (euros) et n 1 = 0 (jours) n = 30 (jours) n 3 = 35 (jours) Par conséquent, son échéance moyenne est n = n 1V 1 +n V +n 3 V 3 V 1 +V +V 3 = = 30, 86 (jours) On peut aussi déterminer, l échéance moyenne uniquement à partir de la définition : La valeur nominale de l effet unique est V = = 1500 (euros) La valeur de l escompte de l effet unique est : E = V.i. n = 000 0, , , 1 (euros) On en déduit n = Exercice , , , = 30, 86 (jours) La valeur nominale du premier effet est V 1 = 5000 (euros) et son échéance est n 1 = 30 (jours). La valeur nominale du second effet est V = 7500(euros) et son échéance est n = 60 (jours). a)-méthode 1. En utilisant la formule pour l échéance moyenne de effets, on obtient : n = n 1V 1 +n V V 1 +V = = 8 jours.

8 8 Méthode. En utilisant uniquement la définition de l échéance moyenne (comme échéance de l effet unique, ayant aussi même valeur nominale). La valeur nominale de l effet unique est V = = 500 L escompte de l effet unique est E = , , 06 = = 100 (euros) L échéance de l effet unique n est reliée à E par la formule : E = V.i. n 100, donc n = = 8 (j) ,06 b)- L escompte du premier effet est E 1 = , V ac 1 = V 1 E 1 = = 975 (euros) L escompte du second effet est E = , V ac = V E = = 75 (euros) = 5 (euros) et sa valeur actuelle est = 75 (euros) et sa valeur actuelle est Par conséquent, la valeur actuelle de l effet unique est V ac = = 00 euros La valeur actuelle et la valeur nominale V de cet effet unique sont reliées par la formule : V ac = V E = V V.i. n n 50 = V.(1 i. ) = V.(1 0, 06. ) Utilisons cette formule pour exprimer V en fonction de V ac : V = V ac 1 0, c)- On cherche le taux d escompte i à appliquer pour que V = 510(euros). Exprimons en fonction de i les valeurs actuelles des 3 effets considérés : = , La valeur actuelle du premier effet est : V1 ac = i 30 La valeur actuelle du second effet est : V ac = i 60 Par conséquent, la valeur actuelle (en fonction de i) de l effet unique est V ac = V1 ac + V ac = i i = 500 i ( ) Après simplification, V ac = 500 i , euros D autre part, la valeur actuelle de cet effet est reliée à sa valeur nominale par la formule : V ac = V V.i = 510.(1 i. ) Par identification des formules, on obtient : 500 i = 510.(1 i. 50 ). Résolvons cette équation en i : i.( ) = = 10 i. = i =. Finalement i 1, % Exercice 11. La valeur nominale du premier effet est V 1 = 1100 (euros) et son échéance est n 1 = 163 (jours). La valeur nominale du second effet est V = 108 (euros) et son échéance est n = 68 (jours). La valeur nominale du troisième effet est V 3 = 1075(euros) et son échéance est n 3. Le porteur recevant la même somme pour chacun de ces effets, leurs valeurs actuelles sont égales, ainsi V1 ac = V ac = V3 ac. Notons i le taux d escompte appliqué à ces 3 effets : On a V1 ac = V 1 V 1.i. 163 et V ac = V V.i. 68 = i. 163 = i. 68 = 1100 i = 108 i Par conséquent, i vérifie l équation : 1100 i = 108 i , que nous résolvons : = 18 = i. ( ) ( = i ) 18 Donc le taux d escompte commercial i = 6.13% En remplaçant i par la valeur trouvée, on obtient V ac 3 = V ac 1 = , = 1069, 7.

9 9 Ainsi V3 ac = V 3 V 3.i. n 3 = , n 3 = 1069, 7. Donc , 7 = , n 3 et finalement n 3 = ( ,7) 30, (jours) ,0613 Le banquier fixera donc certainement l échéance à 30 jours. 1.. Agios. Agios : Lorsqu un banquier escompte un effet de commerce, il retranche l escompte à la valeur nominale. Il retranche également diverses commissions pour rétribuer ses services : commissions d endos (pour couvrir les frais s endossements), commission fixe, taxes... L ensemble des commissions (Escompte + commission d endos + taxes..) est appelé agios. On appelle valeur nette de l effet la valeur nominale à laquelle on soustrait les agios. Exercice. a)- Pour le banquier A, la valeur nominale est V A = 5000 (euros) et l échéance est n A = 90 (jours). Par conséquent, les frais retenus par la banque A, sont : - l escompte E A = , 1 90 = 5 (euros), - la commission proportionnelle à la durée CP A = , = 7, 5 (euros), - la commission proportionnelle indépendante de la durée C A = , 005 = 5 (euros), - la commission fixe CF A = 5 (euros), - les agios A A = 5 + 7, = 16, 5 (euros). Pour le banquier B, la valeur nominale est V B = 5000 (euros) et l échéance est n B = 90 (jours). Par conséquent, les frais retenus par la banque B, sont : - l escompte E B = , =, 5 (euros), - la commission proportionnelle à la durée CP B = , = 8, 75 (euros), - la commission proportionnelle indépendante de la durée C B = , 006 = 30 (euros), - la commission fixe CF B = (euros), - les agios A B =, 5 + 8, = 165, 5 (euros). b)- Le taux réel d escompte est le taux qui, appliqué à la valeur nominale, conduit à l agio total. Pour le banquier A, le taux réel i r A vérifie : 5000 ir A 90 = 16, 5, donc ir A = 16,5 = 0, 13 = 13% Pour le banquier B, le taux réel i r B vérifie : 5000 ir B 90 = 165, 5, donc ir B = 165,5 = 0, 13 = 13, % c)- Oui, car le total des intérêts proportionnels à la durée est de 10, 5% pour B donc inférieur au total pour A de 10, 6%, donc avec une échéance suffisament longue le gain sur les commissions proportionnelles à la durée compensera la perte sur les commissions indépendantes de la durée. Exercice 13. Au 1er mars, la situation est celle de effets équivalents (de même valeur actuelle) mais d échéances différentes. L échéance pour le premier effet est n 1 = 30 (jours) Décompte : 1 Mars 31 Mars : 31-1= 30 jours. L échéance pour le second effet est n = 75 (jours) et sa valeur nominale est V = Décompte : 1 Mars 31 Mars : 31-1= 30 jours. 1 Avril 30 Avril : 30 jours. 1 mai 15 mai : 15 jours. Calculons la valeur actuelle du second effet : V ac = , 1 75 = 1086, 875 (euros) On a donc V1 ac = 1086, 875 et est reliée à sa valeur nominale V 1 (que nous cherchons) par la formule : V1 ac = V 1 V 1 0, 1 30 = V ( ) 1 1 0, 1 30 On en déduit V 1 = 1086,875 = (euros) 1 0,1 30