CHAPITRE 6 : STABILITÉ ET RÉGIME PERMANENT

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1 CHAPITRE 6 : STABILITÉ ET RÉGIE PERAET STABILITÉ ET RÉGIE PERAET DÉFIITIOS Etrée peraete Solutios hoogèe et particulière STABILITÉ CALCUL DE LA RÉPOSE E FRÉQUECES... 69

2 DÉFIITIOS Etrée peraete Au Chapitre 2, la défiitio d'ue etrée peraete fut doée. Ue etrée u(t) est dite peraete si elle est costate, liéaire, parabolique ou périodique. E fait, ue etrée peraete u(t) possède ue trasforée de Laplace U(s) dot tous les pôles sot à partie réelle ulle. Solutios hoogèe et particulière Das les chapitres précédets, il a été déotré que la trasforée de Laplace de la sortie d'u systèe liéaire dot la foctio de trasfert est G(s) et dot les coditios iitiales sot o ulles est: Y( s) = G( s) U ( s) + C( s) Le tere C(s) est relié aux coditios iitiales et il possède les êes pôles que G(s). La décopositio e éléets siples de Y(s) est: Y( s) = H ( s) + H ( s) H ( s) + P ( s) + P ( s) P ( s) 2 2 où les teres H i (s) provieet des pôles de G(s) et C(s) alors que les pôles des teres P i (s) correspodet aux pôles de U(s). La soe des teres H i (s) fore la trasforée de Laplace de répose hoogèe du systèe alors que la soe des teres P i (s) est la trasforée de Laplace de sa répose particulière: Y( s) = Y ( s) + Y ( s) La trasforée de Laplace iverse correspodate est: EXEPLE 6. La foctio de trasfert d'u systèe est: ho part y( t) = y ( t) + y ( t) ho part K G( s)= + et la coditio iitiale est y( + ) = y. Si l etrée est u échelo uitaire alors l'expressio de Y(s) est (voir Chapitre 5): Systèes et coade liéaires GEL-25 66

3 K Ty Y ( s) = + + s + K+ Tys = s ( + ) T ( y K) = + + Le preier tere correspod à la répose hoogèe et le secod à la répose particulière. STABILITÉ K s Si tous les pôles de G(s) sot à partie réelle égative, alors les pôles de Y ho (s) sot égaleet tous das le dei-pla de gauche. Par coséquet, la répose hoogèe y ho (t) est ue foctio décroissate. La sortie du systèe e régie peraet est doc égale à la répose particulière. Puisque les pôles de Y part (s) correspodet aux pôles de U(s), la ature athéatique de la sortie e régie peraet est siilaire à celle de l'etrée (etre autres, de la êe fréqueces si l'etrée est ue siusoïde). Si au ois u pôle de G(s) est à partie réelle positive, alors la répose hoogèe (et doc la répose du systèe) est ue foctio croissate das le teps. Le systèe est dit istable. U systèe est dit asyptotiqueet stable si tous les pôles de sa foctio de trasfert ot leur partie réelle égative. Cette coditio de stabilité est écessaire et suffisate. Lorsqu'il y a istabilité, l'allure de la répose à u échelo déped du ou des pôles à partie réelle positive. Selo l'étude du Chapitre 3, u pôle réel positif egedre ue expoetielle croissate alors qu'à ue paire de pôles à partie réelle positive correspod ue oscillatio à aplitude croissate. Selo les cas, o parle respectiveet d'istabilité divergete et d'istabilité oscillatoire (figure 6.). La coclusio de cette sectio est la suivate: si u systèe est stable, alors la sortie e régie peraet est égale à la répose particulière et elle est du êe coup de êe ature athéatique que l'etrée. Aisi, quad u systèe est souis à ue etrée peraete pedat assez logteps, sa sortie fiit par être, elle aussi, costate, liéaire, parabolique ou périodique. Le systèe est alors e régie peraet. Systèes et coade liéaires GEL-25 67

4 (A) : Istabilité divergete I y(t) t Re (B) : Istabilité oscillatoire I y(t) Re t Figure 6. EXEPLE 6.2 La foctio de trasfert d'u systèe est: K G( s)= + Si le paraètre T est égatif, le pôle de G(s) est réel positif. Le systèe présete doc ue istabilité divergete. La figure 6.2 otre la répose à u échelo uitaire pour u tel systèe (K = et T = -). Systèes et coade liéaires GEL-25 68

5 Sortie y(t) Teps[s] Figure 6.2 CALCUL DE LA RÉPOSE E FRÉQUECES Les sectios précédetes ot déotré que la sortie e régie peraet y p (t) d'u systèe stable à ue etrée u(t) siusoïdale est ue siusoïde de êe fréquece (tableau 6.). etrée u(t) pôle de U(s) sortie e régie peraet y p (t) pôle de Y p (s) siω t ± jω si( ωt+ φ) ± jω ( t ) si ω α + ± jω ( t ) si ω + α+ φ ± jω Tableau 6. j Puisque e ω t = cosωt+ jsi ωt et que le systèe est liéaire alors la répose e régie peraet à est jωt jα jωt u( t) = e = e e = cos( ωt+ α) + j si( ωt+ α) Systèes et coade liéaires GEL-25 69

6 ( α+ φ) ω ( ω α φ) ( ω α φ) jωt j j t y ( t) = e = e e = cos t+ + + j si t+ + p L'étude du systèe à ue excitatio coplexe facilite les calculs de la répose particulière (e régie peraet) d'u systèe stable à ue siusoïde. La foctio de trasfert du systèe étudié est: Y( s) G( s) = = U ( s) Bs Bs + B A s A s + A L'équatio différetielle correspodate est: A d y A dy A y B d u B du = B u dt dt dt dt Effectuos l'aalyse de ce systèe e régie peraet lorsque l'etrée est u( t)= j t Puisque la sortie e régie peraet est y ( t)= e ω, alors o obtiet: j t j t j t ( ω)... ( ω) ( ω)... ( ω) jωt ( ω)... ( ω) ω... ω p A j e + + A j e + A e = B j e + + B j e + B e ω ω ω jωt jωt jωt [ ] = [ ( ) + + ( ) + ] [ B( jω) B( jω) + B] = [ A( jω) A( jω) + A] A j A j A e B j B j B e jωt e jω t. O rearque doc que le rapport des obre coplexes et est e fait G(jω) (c est-à-dir la foctio de trasfert das laquelle o replace s par jω): = G( jω ) Le odule de ce rapport correspod au rapport d aplitude du systèe à la fréquece ω: j( α+ φ) G j e = ( ω) = = jα e De êe, l arguet de / est la phase du systèe à la fréquece ω: j( α+ φ) e = G( jω) = jα = φ e Systèes et coade liéaires GEL-25 7

7 Les deux derière équatios perettet doc u calcul rapide de la répose e fréqueces d u systèe si sa foctio de trasfert est coue. Il est iportat de oter que G(jω) e peret que de calculer la sortie e régie peraet suite à ue etrée siusoïdale de fréquece ω: = G( jω) jωt e = G( jω) e Par cotre, la foctio de trasfert G(s) (où s, la variable de Laplace, est u obre coplexe et o pureet iagiaire) est utile pour évaluer la répose coplète (régies trasitoire et peraet) du systèe peu iporte l etrée: Y( s) = G( s) U ( s) jω t Systèes et coade liéaires GEL-25 7