La loi de gravitation explique Kepler et pèse les planètes. Le génie de Newton. Lois de Kepler

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1 Document ANAP Sege Rochain La loi de gavitation explique Keple et pèse les planètes Le génie de Newton Lois de Keple Détemination de la masse des cops célestes Détemination des temps obitaux Détemination des distances obitales

2 Cette pésentation vise en pemie lieu à explique la loi de Keple comme conséquence de la loi de gavitation, fondement de la mécanique céleste, et fait donc suite à l exposé su la mécanique céleste pemièe patie. Les méthodes de calcul de la mécanique céleste s étendent de la tigonométie aux calculs de temps et de vitesses pou la détemination de la position des astes dans la dynamique de leus déplacements

3 Expession de la loi de gavitation F G m1 m d Cette loi expime, en newtons (N * ), que deux cops de masse m1 et m s attient avec une foce F (N) qui est popotionnelle à leu masse et invesement popotionnelle au caé de la distance d qui les sépae G est la constante de gavitation qui elie les difféentes unités employées. G = 6,67*10-11 dans le Système Intenational (SI), dans lequel le temps s expime en seconde et les distance en mètes. *) Un newton est la foce colinéaie au mouvement qui, appliquée pendant une seconde à un objet d'un kg, en modifie la vitesse d un mète pa seconde.

4 Ainsi une pomme de masse m1 est attiée pa la Tee de masse m avec une foce F, mais la Tee est attiée pa la pomme avec la même foce F. Die que c est la pomme qui tombe su la Tee et non la Tee qui tombe su la pomme est une question de point de vue. Un minuscule micobe se pomenant su la pomme veait la Tee se pécipite su lui. Il este que nous avons pis l habitude de considée note éféentiel immobile. Et bien campés su nos deux pieds au sol nous nous assimilons à l appaent immobilisme de la Tee et nous considéons donc que c est bien la pomme qui tombe su la Tee. La convention est que le plus petit tombe su le plus gos Mais gadons bien à l espit que c est là une pue convention et non une éalité, ca c est avec cette vision égocentique que nous avons longtemps considéé que c est le Soleil, et aussi l ensemble de l Unives, qui tounent autou de la Tee

5 Dans la natue les objets non tibutaies de containtes qui leu imposent un emplacement fixe, comme une pomme posée au sol, tounent les uns pa appots aux autes comme la Lune autou de la tee, ou la Tee autou du Soleil. Aussi, appliquée aux cops célestes, la loi de gavitation s écit plus souvent comme ceci : F G m1 m Avec un pou «ayon» à la place du d de «distance». Ce étant lui-même abusif puisque les obites ne sont pesque jamais des cecles mais le plus souvent des ellipses. Cependant, en aison de leu faible excenticité et aux niveau où nous calculeons ces obites nous pouvons nous satisfaie de cette appoximation. En evanche il y a plus impotant à compende :

6 Note : Dans l équation est en éalité un teme composé (1+) F G m1 m Il existe une identité ente le poduit de la masse pa la distance des deux objets, ainsi nous avons m1 1 = m Le point de enconte ente 1 et se nomme «cente de masse» ou encoe baycente. Il caactéise un point pécis dans l espace autou duquel les deux masses m1 et m sont en obite, et toujous de façon diamétalement opposé. Ainsi il n est pas igoueusement exact de die que la Tee toune autou du Soleil. Tee et Soleil tounent tous deux autou de ce point immatéiel défini popotionnellement aux masses. Rappot des masses Tee/Soleil = 1/333000

7 On démonte qu il se confond avec le cente du Soleil lui-même tant sa masse est impotante pa appot à celle de la Tee. Il est facile de détemine ce point pécis en appliquant ce appot su la distance de 150 millions de km ente le Soleil et la Tee / = 450 Ce point est donc situé à 450 km du cente du Soleil, dont le ayon est de km, en diection de Tee, c est le point de enconte des flèches 1 et su le schéma ci-dessous. Tee et Soleil tounent tout deux de façon diamétalement opposées autou de ce point vituel.

8 Vu de tès loin, depuis une planète obitant autou d une étoile lointaine, le Soleil semble effectue un mouvement de va et vient autou d une position centale avec une amplitude de 900 km ce qui est insignifiant et ne epésente que 6 dix millièmes de son diamète, c est-à-die une oscillation invisible à la distance des autes étoiles, même les plus poches. L oscillation poduite pa Jupite est 300 fois supéieue. Chaque planète povoque une oscillation qui donne l impession que le Soleil gigote d une façon désodonnée. C est une des méthodes qui pemet aujoud hui de détecte l existence de planètes autou d autes étoiles.

9 Analysons un mouvement bien connu que nous avons tous fait

10 La tajectoie du mateau décit un cecle qui essemble à la tajectoie d une planète autou du Soleil et la tension de la code qui le etient est aussi similaie à la foce de gavitation Calcul du péimète du cecle Comme vous le savez tous, le péimète du cecle se calcul en multipliant son diamète D pa p Péimète P = pd = pr le plus souvent écit pr

11 Vitesse angulaie et Vitesse cuviligne Vitesse cuviligne, ou linéaie, est ce qui est généalement sous-entendu losque l on pale de vitesse La vitesse (linéaie) du cycliste faisant 1 tou de piste s obtient en divisant le péimète pa le temps mis à le pacoui : P=pR V = pr / t, il s agit de sa vitesse cuviligne

12 La vitesse angulaie Si l on considèe un ayon de 1 unité on peut l omette dans la fomule de calcul du péimète, alos P = p. Mais le péimète pouait aussi ête gadué comme un appoteu d angle et s expime en degés ou dans une aute unité comme le adian. p adians epésentent un tou complet et coespond à un angle de 360.On peut donc calcule une vitesse angulaie comme une vitesse cuviligne sans teni compte du ayon du cecle : Vang = p / t =

13 Une otation ou un cecle notée en adians Mais evenons à la vitesse

14 Incidence de la vitesse impimée au mateau Avec la même masse au bout de la code et une code de même longueu, si tous faisons toune l ensemble plus vite, que essentons nous dans le poignet?

15 Incidence de la longueu de la code Avec la même masse au bout de la code et en tounant à la même vitesse si la code est plus longue que essentons nous dans le poignet?

16 Avec la même longueu de code en tounant à la même vitesse mais avec une masse plus impotante que essentons nous dans le poignet?

17 La tension (la foce) que nous essentons dans le poignet dépend 1) De la vitesse de otation ) De la longueu de la code 3) De la masse entaînée pa la code Ces tois citèes entent dans la fomulation mathématique de la page suivante qui taduit en «foce» le essenti physique que nous avions dans le poignet los des expéiences éalisées su les pages pécédentes

18 Considéons le mouvement de la Tee autou du Soleil, c est une tajectoie qui conduit la Tee à accompli la totalité de son obite à la vitesse angulaie de p t Comme toutes les planètes, la Tee subit une accéléation coespondant au poduit du caé de sa vitesse pa le ayon de son obite conduisant à l expession : = Nous développons la fomulation en utilisant les gandeus connues de la elation ( p, et t ) pou obteni : 4 p t Le poduit de l accéléation pa la masse mt de la tee conduit à la foce F F = = m Τ 4 t p

19 Mais cette foce F = 4 m t T p qui maintient la Tee su son obite est la même que celle de la loi de gavitation F Alos 4 m t T p A pati de cette elation nous avons de nombeuses possibilités. * * m m G S T * * m m G S T

20 Pa exemple nous pouvons calcule la masse du Soleil à pati des éléments obitaux de la Tee G m m T * T * S m 4 t p en divisant les deux membes pa G mt et en les multipliant pa nous obtenons l équation donnant la masse solaie : 4p Gt 3 m S p (1,5*10 ) 11 (6,67*10 ) kg A pati de cette même elation nous pouvons aussi calcule cetains éléments obitaux de la planète située à la distance du Soleil en tansfomant la elation pou abouti à la toisième loi de Keple expliquée dans la pemièe patie de l'exposé su la Mécanique Céleste *10

21 m T 4 t p G * m T * m Divisons les deux membes de cette équation pa mt ms G et multiplions les pa t 4p t Gm S Avec les unités du système Intenationale, nous avons t en secondes et en mètes. Mais si nous choisissons des unités telles que le quotient de chaque membe soit égal à 1 avec pa exemple le temps obital en années et le ayon de l obite en UA (Unité Astonomique) nous univesalisons la elation en la endant indépendante des constantes de nomalisation de la elation : 3 S t ce qui conduit à la elation t = 3

22 La elation t = 3 pemet ainsi de détemine le temps obital d un cops en obite si l on connaît la distance qui le sépae du baycente autou duquel il toune, ou encoe écipoquement, cette distance si l on connaît la péiode obitale. Comme il est dit su la diapo pécédente, en choisissant des unités elatives à la position et au temps obital de la Tee nous simplifions considéablement les calculs tout en nous donnant des gandeus significatives pou les teiens que nous sommes.

23 Nous choisissons donc la mesue du temps en années teestes et la mesue des distances en ayons de l obite teeste c est-à-die en UA. Pou la Tee nous avons donc bien 1 = 1 3

24 Pou Jupite dont la péiode sidéale est de 11,86 années nous avons l identité : 11,86 années = 5, 3 UA Connaissant la péiode sidéale nous obtenons la distance au Soleil de 3 11,86 5,UA Récipoquement, connaissant la distance au Soleil de 5, UA nous obtenons la péiode sidéale : 5, 3 11,86années

25 Nous pouvons ainsi détemine la distance à laquelle n impote quelle planète se touve du Soleil pa la simple obsevation de sa péiode synodique ca nous savons en déduie sa péiode sidéale gâce à celle de la Tee que nous connaissons pa l obsevation diecte à pati de deux passages consécutifs au méidien d une même étoile. Mais comment pouvons nous estime la distance qui sépae la tee d une aute planète sachant que les deux astes changent constamment de position su leus obites espectifs? C est encoe du calcul, mais de temps.

26 L opposition Une situation paticulièe dans laquelle la distance sépaant deux planètes (pa exemple Tee et Mas) est égale à la difféence de leu éloignement espectif au

27 C est le temps écoulé depuis l opposition qui pemet de détemine pa une méthode géométique la distance qui sépae deux planètes. Exemple de calcul de distance sépaant la Tee de Mas Depuis Keple nous connaissons la distance elative Soleil-Tee et Soleil-Mas, espectivement 1 et 1,5 UA. Il este a détemine l angle Pou savoi l angle il suffit de soustaie l angle du chemin pacouu pa Mas ente la date de l opposition et la date à laquelle on désie En effet, connaissant deux cotés d un tiangle et un de ses angles, on détemine le toisième côté estime la distance de Mas de l angle du chemin pacouu pa la Tee duant cette péiode.

28 La Tee boucle sont obite en 1 an (1 mois). Au bout d un mois et demi elle aua donc pacouu un angle de 360 *1,5/1 = 45 Dans le même temps, Mas qui boucle son obite en 1,88 années teestes aua pacouu un angle de 360 *1,5 / (1*1,88) = 3,94 L angle = 45-3,94 = 1,06 Connaissant la distance Soleil-Tee et Soleil Mas ainsi que l angle il ne este plus qu à ésoude ce tiangle pou connaîte la distance sépaant la Tee de la planète Mas à ce moment pécis, 1,5 mois apès l opposition. Nous avons : X= sin Y = 1,5 cos Distance Tee-Mas = acine de X + Y Numéiquement nous avons donc : 0,358 = Sin et 0,933 = 1,5 cos 0,87 UA =

29 Mettons ces connaissances à pofit Nous savons que la Lune obite à la distance moyenne de km de la tee en 7 jous 1/3 et que celle-ci est 81,3 fois moins massive que la Tee Nous savons aussi qu un satellite atificiel qui doit este en pemanence dans le plan méidien (on dit qu il est géostationnaie) d un lieu géogaphique teeste doit obite à km de la suface du sol. Questions : Combien de km fait le ayon de la Tee? Où se touve le baycente Tee-Lune pa appot au sol? Quelle est la masse de la Tee?

30 Réponses aux questions posées 1) Détemination du ayon teeste Selon la elation de la toisième loi de Keple nous savons avec D pou ayon obital du satellite géostationnaie : / 7,3 = D 3 / 1 En effectuant l opéation nous avons / 7,3 = = D 3 Dont la acine cubique donne D = 4353 Le satellite obitant à km au-dessus de la suface de la tee, le ayon teeste est donc de = 6353 km

31 ) Où se touve le baycente Tee- Lune pa appot au sol? La distance cente à cente ente la Tee et la Lune de km. Cette distance divisée pa le appot de masse donne la distance du cente de la tee au cente de masse /81,3 = 473 km ce qui le situe à = 1630 km sous la suface du sol.

32 mlune mlune 4p t t 4 p G * mlune * mt 3) Quelle est la masse de la Tee? En développant l équation de la gavitation en hamonie avec les lois pécédemment connues de la physique et en penant l exemple de la tee obitant autou du Soleil nous avions abouti à la mt 4p G * mt * ms elation : Nous pouvons emplace le t Soleil pa la Tee et la Tee pa la Lune ce qui mlune 4p G * mlune * mt nous donne la même situation : En soustayant mlune des deux membes, en simplifiant l équation, et en isolant MT comme seul teme du membe on constate que tous les temes de l aute membe sont soit des constantes (G, 4p), soit des temes connus, et «t» (ayon de péiode obitale de la Lune) t

33 mlune 4p * Lune * T Ainsi la elation devient-elle : t G m m 4 p 3 Gt m T Et numéiquement nous avons : 4p (384*10 ) 3 M 6* 10 T 11 (6,67*10 )35870 kg La Tee «pèse» donc 6 * 10 4 kilogammes 6 4

34 Une question complémentaie pou les matheux Démontez qu une planète quelconque du système solaie, éloignée d une distance moyenne d (expimée en UA) du Soleil, obite à une vitesse linéaie égale à V (expimée dans les unités de vote choix, km/s, km/h, m/s ) selon l équation ci-dessous Vitesse Tee d planète ( en UA) V planète (* ) (*) vitesse obtenue dans les mêmes unités qu au numéateu, km ou m pa seconde, pa exemple.

35 REPONSE Chaque planète du système solaie subit une accéléation identique imposée pa la masse du Soleil. Cette accéléation est égale au poduit du caé de la vitesse de la planète dans sa tajectoie obitale pa le ayon de son obite et s expime pa la elation suivante, avec R pou ayon de l obite, Vp pou la vitesse d une quelconque des planètes, et Vt pou la vitesse de la Tee : R(Vp) = et si nous choisissons l UA comme unité de distance nous avons aussi = 1(Vt) R(Vp) = = (Vt) en extayant la acine des deux membes de l équation nous avons : (Vp) R = Vt et en divisant pa R Vp = Vt R = Vitesse Tee d planète ( en UA) V planète CQFD

36 Document ANAP Sege Rochain Meci de vote aimable attention Y a-t-il des questions?