ECRICOME Voie E Mercredi 12 avril 2017

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1 ECRICOME Voie E Mercredi 2 avril 207 La présentation, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. L usage de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdit. Seule l utilisation d une règle graduée est autorisée. Si au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il sera amené à prendre. Exercice Dans tout l exercice, on notera M 3 (R l ensemble des matrices carrées d ordre 3 et I la matrice identité d ordre 3. On considère la matrice A définie par : 0 2 A L objectif de cet exercice est de déterminer l ensemble des matrices M de M 3 (R telles que M 2 A. Partie A : Etude de la matrice A. Calculer les matrices (A I 2 et (A I En déduire l ensemble des valeurs propres de A. 3. La matrice A est-elle inversible? Est-elle diagonalisable? Partie B : Recherche d une solution particulière On note pour tout x ],[, ϕ(x + x. 4. Justifier que la fonction ϕ est de classe C 2 sur ],[, et déterminer les valeurs de ϕ (0 et ϕ (0. 5. En utilisant la formule de Taylor-Young pour ϕ en 0 à l ordre 2, déterminer un réel α non nul tel que : + x + 2 x + αx2 + x 2 ε(x avec lim x 0 ε(x 0 6. On note P(x + 2 x + αx2 la fonction polynomiale de degré 2 ainsi obtenue. Développer (P(x Soit C A I. En utilisant les résultats de la question, vérifier que (P(C 2 A. Expliciter alors une matrice M telle que M 2 A. Partie C : Résolution complète de l équation On munit l espace vectoriel R 3 de sa base canonique B (e,e 2,e 3. Soit f l endomorphisme de R 3 dont la matrice représentative dans la base B est la matrice A. 0 Dans cette partie, on pose T

2 8. Soient u, v et w les vecteurs définis par : w (,0,, v f (w w,u f (v v. (a Calculer les vecteurs v et u. (b Démontrer que la famille B (u, v, w est une base de R 3. (c Déterminer la matrice représentative de f dans la base B. (d En déduire qu il existe une matrice P M 3 (R inversible telle que T P AP. 9. Soit N M 3 (R. (a Montrer que si N 2 T, alors NT TN. En déduire que N est de la forme où a, b et c sont trois réels. a b c N 0 a b 0 0 a (b Démontrer alors que l équation matricielle N 2 T admet exactement deux solutions : N et N Montrer que l équation matricielle M 2 A d inconnue M M 3 (R admet exactement deux solutions que l on écrira en fonction de P, P, N et N 2.. L ensemble E des matrices appartenant à M 3 (R telles que M 2 A est-il un espace vectoriel? Solution. Partie A Rapidement, (A I et (A I D après le résultat précédent, le polynôme (X 3 étant un polynôme annulateur de A, est la seule valeur propre possible. Puisque (A I 3 0 3, on en déduit que A I n est pas inversible, et donc que est bien valeur propre de A Bilan : est l unique valeur propre de A n étant pas une valeur propre de A, A est inversible. 0 0 Si A était diagonalisable, puisque est son unique valeur propre, elle serait semblable à I 3, et donc A PI 3 P I 3, c est qui est absurde. Bilan : A est inversible mais n est pas diagonablisable Remarque. En regardant la suite de l énoncé, où on trigonalise A (partie C, on doit se douter que A n est pas diagonalisable. Partie B 4. x + x est de classe C 2 sur ],[ et à valeur dans ]0;2[ ]0,+ [. La fonction racine étant de classe C 2 sur ]0;+ [, par composée, ϕ est de classe C 2 sur ],[. On a alors, pour x ],[ : ϕ (x 2 + x Ainsi, ϕ (0 2 et ϕ (0 4. et ϕ (x 4( + x 3/2

3 5. ϕ étant de classe C 2 sur ] ;[, elle admet un développement limité à l ordre 2 au voisinage de 0 qui s écrit + x ϕ(0 + ϕ (0x + ϕ (0 x 2 + x 2 ε(x avec lim ε(x 0 2! x 0 ce qui donne 6. En développant : + x + 2 x 8 x2 + x 2 ε(x avec lim x 0 ε(x 0 (P(x 2 ( + 2 x 8 x x 8 x2 + 2 x + 4 x2 6 x3 8 x2 6 x x4 + x 8 x x4 7. En utilisant le résultat C et donc C 4 0 3, on en déduit que Partie C (P(C 2 I + C I + C A Ainsi, la matrice M P(C vérifie P(C 2 A Bilan : la matrice M P(C 3 vérifie M 2 A Par définition, remarquons que f (x, y, z (y + 2z, x + 2y + 2z, 3x + 3y + z pour (x, y, z R (a On a v f (w w (,, et u f (v v ( 2, 2,0. (b La famille B étant de cardinal 3, égal à la dimension de R 3, il suffit de montrer que celle-ci est libre. Soit (a,b,c R 3 vérifiant au + bv + cw (0,0,0. On a alors ( 2a + b + c, 2a + b, b + c (0,0,0 soit, après résolution rapide, a b c 0, et donc la famille est libre. Bilan : la famille B est une base de R 3. (c Dans B : f (w v + w, f (v u + v et f (u ( 2, 2,0 u Ainsi, dans la matrice B, la matrice de f est 0 0 T 0 0

4 (d Puisque dans la base B, la matrice de f est T, en notant P la matrice de passage de la base canonique à la base B, on a, par la formule du changement de base A PTP T P AP 9. (a Supposons que N 2 T. Alors N 3 NT TN selon que l on multiplie à gauche ou à droite. Et a b c donc NT TN. Notons N d e f. Alors, la condition NT TN s écrit g h i a a + b b + c a + d b + e c + f d d + e e + f d + g e + h f + i g g + h h + i g h i ce qui donne d 0, a e,b f pour la première ligne, g 0,nd h 0,e i a pour la deuxième ligne et enfin g 0,h 0. En regroupant, N s écrit donc a b c N 0 a b 0 0 a a b c (b D après ce qui précède, si N 2 T alors N s écrit sous la forme N 0 a b. Mais alors, 0 0 a a 2 2ab b 2 + 2ac N 2 0 a 2 2ab. Pour que N 2 T, il faut alors 0 0 a 2 a 2,2ab,b 2 + 2ac 0 soit deux possibilités (car a 2 donne a ou a : a,b 2,c 8 et a,b 2,c 8 Ainsi, on dispose de deux matrices possibles : ( N ( et N et on vérifie rapidement qu elles vérifient toutes les deux N 2 N2 2 T. N 0. En utilisant la question 8d, M 2 A si et seulement si P M 2 P P AP T, soit encore (P MP 2 T (puisque (P MP(P MP PM 2 P. D après la question 9b, M 2 A si et seulement si P MP N ou N 2. Bilan : On dispose donc de deux solutions : M PN P et M 2 PN 2 P M. L ensemble E ne contient pas la matrice nulle : il ne peut donc pas être un espace vectoriel.

5 Exercice 2 Dans tout l exercice, a est un réel strictement positif. Partie A On considère la fonction ϕ définie sur R + par : x > 0, ϕ(x ln(x ax 2a.. Déterminer lim ϕ(x et lim ϕ(x. x 0 x + 2. Etudier les variations de la fonction ϕ et dresser son tableau de variations. ( 2a On fera apparaitre dans ce tableau le réel x 0. 2a 2 3. Démontrer que si a < 2e, l équation ϕ(x 0 admet exactement deux solutions z et z 2, vérifiant : z < x 0 < z 2. Que se passe-t-il si a 2e? Si a > 2e? Partie B Soit f la fonction définie sur l ouvert U (R + 2 par : (x, y U, f (x, y ln(xln(y (x y a 4. Justifier que f est de classe C 2 sur U. 5. Calculer les dérivées partielles premières de f. 6. Démontrer que pour tout (x, y U : (x, y est un point critique de f { x y, ϕ(x Démontrer que si a < 2e, la fonction f admet exactement deux points critiques : (z, z et (z 2, z 2, où z et z 2 sont les réels définis dans la partie A. Déterminer aussi les éventuels points critiques de f dans les cas où a 2e et a > 2e Partie C Dans cette partie, on suppose que a <. On rappelle alors que la fonction f admet exactement deux points 2e critiques : (z, z et (z 2, z 2, où z et z 2 sont les réels définis dans la partie A. 8. Calculer les dérivées partielles d ordre 2 de la fonction f. 9. Calculer la matrice hessienne de f au point (z, z. Vérifier que cette matrice peut s écrire sous la forme : ( a 2 z 2a 2 a 2 z 2a 2 z 2 2 (f (z, z z 2 a 2 z 2a 2 a 2 z 2a 2 ( ( 0. On pose M 2 (f (z, z, X et X 2. Calculer MX et MX 2, et en déduire les valeurs propres de M.. La fonction f présente-t-elle un extremum local en (z, z? Si oui, est-ce un minimum? Un maximum? 2. La fonction f présente-t-elle un extremum local en (z 2, z 2? Si oui, est-ce un minimum? Un maximum?

6 Solution. Partie A. En écrivant ax 2a ae 2a ln(x, on en déduit, puisque a > 0, par composée, que lim x 0 ax2a a ainsi, par somme, lim ϕ(x x 0 Enfin, puisque pour x > 0 on a et que donc que lim x + x 2a ϕ(x ln(x ( a x2a ln(x + par croissance comparée (2a > 0, par somme puis produit, on en déduit ln(x lim ϕ(x x + 2. ϕ est de classe C sur ]0;+ [ comme somme de fonction logarithme et puissance qui sont ellesmêmes de classe C sur R +. On a alors, pour tout réel x > 0 : ϕ (x x 2a2 x 2a Puisque x > 0, ϕ (x est du signe de 2a 2 x 2a. Or 2a2 x 2a x 2a 2 x 2a > 0 2a 2 > x2a (car 2a 2 > 0 ( ln 2a 2 > 2a ln(x car la fonction ln est strictement croissante sur R + ( en notant x 0 e 2a ln 2a 2 ( suivant : e 2a ln ( 2a 2 > x car la fonction exp est strictement croissante sur R 2a 2 2a, on a ϕ (x > 0 x < x 0. On obtient alors le tableau de variations x 0 x 0 + ϕ (x + 0 ϕ(x ϕ(x 0 avec ϕ(x 0 2a ln( 2a 2 2a.

7 3. D après le tableau de variations, et pour pouvoir appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur chacun des intervalles ]0; x 0 [ et ]x 0 ;+ [, il faut et il suffit que ϕ(x 0 > 0, c est-à-dire : ϕ(x 0 > 0 ( 2a ln 2a ( 2 ln 2a 2 2a 2 > e 2a 2 < e 2a > 0 > car 2a > 0 car la fonction exp est strictement croissante car la fonction inverse est strictement décroissante sur R + a < 2e car la fonction racine est strictement croissante sur R + Partie B Ainsi, si a <, en appliquant le théorème de la bijection (fonction continue, strictement monotone sur ]0; x 0 [ et sur ]x 0 ;+ [, on obtient deux et seulement deux solutions, z ]0; x 0 [ et z 2 ]x 0 ;+ [. 2e Si a 2e, l équation ϕ(x 0 admet une unique solution : x 0, et enfin si a > 2e, l équation ϕ(x 0 n admet aucune solution. 4. Les fonctions (x, y x,(x, y y et (x, y x y sont de classe C 2 sur U car polynomiales. Puisqu elles sont strictement positives sur U, et que ln et x x a sont C 2 sur leur domaine de définition, par composée, on en déduire que f est bien de classe C 2 sur U. 5. Pour tout (x, y U : f x (x, y ln(y x ax a y a et f y (x, y ln(x y ax a y a 6. Si (x, y est un point critique, alors f f x (x, y y (x, y 0, soit, en multipliant par x ou y : ln(y ax a y a et ln(y ax a y a on en déduit donc que ln(y ln(x et donc y x et que ln(x ax 2a soit ϕ(x 0. Réciproquement, si x y et ϕ(x 0, alors f f x (x, y y (x, y 0 et donc (x, y est un point critique. 7. Dans le cas a <, en utilisant la question 3 de la partie A, (x, y est un point critique si et seulement 2e si x y et ϕ(x 0, c est-à-dire x y z ou x y z 2. Il y a deux points critiques : (z, z et (z 2, z 2. Bilan : Toujours d après la question 3 de la partie A, on en déduit que Si a < 2e, il y a deux points critiques : (z, z et (z 2, z 2. ( Si a, il y a un unique point critique : 2e 2e,. 2e Enfin, si a >, il n y a aucun point critique 2e Partie C

8 8. En partant de l expression des dérivées premières, et en utilisant le théorème de Schwarz (car la fonction est C 2, on a, pour tout (x, y U : 2 f ln(y (x, y x2 x 2 a(a x a 2 y a 2 f x y (x, y 2 f y x (x, y x y a2 x a y a 2 f ln(x (x, y y 2 y 2 a(a x a 2 y a 9. Au point (z, z qui est un point critique, on a f x (z, z f y (z, z 0, c est-à-dire ln(z az 2a. Ainsi, en utilisant les expressions précédentes et en remplaçant ln(z par az 2a : 2 f x 2 (z, z az2a On en déduit donc bien 0. Par calcul, z 2 a(a z 2a 2 az 2a 2 a(a z 2a 2 a 2 a 2a 2 2 f 2 f y 2 (z, z az2a x y (z, z z 2 z 2 2 (f (z, z MX ( z 2 z 2 MX 2 a 2 z 2a 2 a(a z 2a 2 a 2 z 2a 2 ( a 2 z 2a 2 z 2 2a 2 z 2a 2 2a 2 z 2a 2 ( a 2 z 2a 2 z 2 a 2 z 2a 2 a 2 z 2a 2 z 2 f r acz 2 z 2 2a 2 z 2a 2 X z 2 X 2 Ainsi, M possède deux valeurs propres distinctes (car a 0 et z 0 : λ z 2 2a 2 z 2a 2 et λ 2 z 2 Or z 2 2a 2 z 2a 2 2a2 z 2a ϕ (z z z 2 Puisque z ]0; x 0 [, ϕ (z > 0 et donc λ > 0. Les deux valeurs propres sont de signe contraire. Bilan : le point (z, z est un point selle.

9 . La hessienne est de la même forme : 2 (f (z 2, z 2 ( a 2 z 2a 2 dont les valeurs propres, comme précédemment, sont λ z 2 2 z a 2 z 2a 2 z2 2 2 a 2 z2 2a 2 a 2 z2 2a 2 2a 2 z 2a 2 2 et λ 2 z 2 2 Exercice 3 Or, cette fois-ci, z 2 ]x 0 ;+ [, et donc ϕ (z < 0. Les deux valeurs propres sont négatives. Bilan : le point (z 2, z 2 est un maximum local. Soit n un entier naturel non nul. On effectue une série illimitée de tirages d une boule avec remise dans une urne contenant n boules numérotées de à n. Pour tout entier naturel k non nul, on note X k la variable aléatoire égale au numéro de la boule obtenue au k-ième tirage. Pour tout entier naturel k non nul, on note S k la somme des numéros des boules obtenues lors des k premiers tirages : k S k X i. i On considère enfin la variable aléatoire T n égale au nombre de tirages nécessaires pour que, pour la première fois, la somme des numéros des boules obtenues soit supérieure ou égale à n. Exemple : avec n 0, si les numéros obtenus aux cinq premiers tirages sont dans cet ordre 2,4,,5,9, alors on obtient : S 2,S 2 6,S 3 7,S 4 2,S 5 2 et T 0 4. Partie A. Pour k N, déterminer la loi de X k ainsi que son espérance. 2. (a Déterminer T n (Ω. (b Calculer P(T n. (c Montrer que : 3. Dans cette question, n 2. Déterminer la loi de T 2. ( P(T n n n n 4. Dans cette question, n 3. Donner la loi de T 3. Vérifier que E(T Partie B 5. Déterminer S k (Ω pour tout k N. 6. Soit k,n. (a Exprimer S k+ en fonction de S k et de X k+. (b En utilisant un système complet d évènements lié à la variable aléatoire S k, démontrer que : i k +,n, P(S k+ i n i j k P(S k j

10 7. (a Pour k N et j N, rappeler la formule du triangle de Pascal liant les nombres : ( j ( j ( j k, k et k. (b En déduire que pour tout k N et pour tout entier naturel i supérieur ou égal à k + : ( ( i j i k k (c Pour tout entier k,n, on note H k la proposition : j k i k,n, P(S k i n k ( i k Démontrer par récurrence que pour tout entier k,n, H k est vraie. 8. (a Soit k,n. Comparer les évènements [T n > k] et [S k n ]. (b En déduire que : k 0,n,P(T n > k ( n n k k. n 9. Démontrer que E(T n 0. Calculer lim n + E(T n. Partie C k0 P(T n > k, puis que E(T n ( + n n. Dans cette partie, on fait varier l entier n et on étudie la convergence en loi de la suite de variables (T n n obtenue.. Soit Y une variable aléatoire à valeurs dans N telle que : k N, P(Y k k. k! (a Vérifier par le calcul que + k P(Y k. (b Montrer que Y admet une espérance et calculer cette espérance. 2. Pour tout entier naturel k non nul, démontrer que : lim n + P(T n > k k! 3. Démontrer alors que (T n n converge en loi vers la variable aléatoire Y. 4. On rappelle qu en langage Scilab, l instruction grand(,, uin,,n renvoie un entier aléatoire de,n. Compléter la fonction ci-dessous, qui prend en argument le nombre n de boules contenues dans l urne, afin qu elle simule la variable aléatoire T n : Programme Scilab : Loi de T function yt(n S... y... while... tirage grand(,,'uin',,n SS+tirage y... end endfunction

11 5. On suppose déclarée la fonction précédente et on écrit le script ci-dessous : Programme Scilab 2 : Convergence en loi function yfreqt(n yzeros(,n for i:00000 kt(n y(ky(k+ end yy/00000 endfunction function yloitheoy(n yzeros(,n for k:n y(k(k-/prod(:k end endfunction clf ninput('n?' plot2d(loitheoy(6,style-2 xfreqt(n bar(x(:5 L exécution de ce script pour les valeurs de n indiquées a permis d obtenir les graphes ci-dessous :

12 n5 n0 n20 n50 n00 n000 (a Expliquer ce que représentent les vecteurs renvoyés par les fonctions freqt et loitheoy. Comment ces vecteurs sont-ils représentés graphiquement dans chaque graphique obtenu? (b Expliquer en quoi cette succession de graphiques permet d illustrer le résultat de la question 3.

13 Solution. Partie A. Les tirages étant indépendants (puisqu avec remise, X K suit donc une loi uniforme sur,n, d espérance E[X k ] n (a T n est un entier compris entre (cas où on obtient la boule n au premier tirage à n (cas où on obtient n fois la boule. Ainsi T n (Ω,n (b Le cas T n correspond au cas où on obtient n au premier tirage. Ainsi P(T n P(X n n (c Le cas T n n correspond au cas où on obtient n fois le nombre, puis une boule quelconque au nième tirage. Ainsi P(T n n P(X X 2 X n par indépendance n ( }{{ n } n n fois 3. Pour n 2, T 2 (Ω {,2}, avec P(T 2 2 et donc (puisqu il s agit d une loi de probabilité P(T Bilan : T 2 U ({;2}. 4. On a T 3 (Ω {,2,3}. D après la question 2, on a : n P(T 3 3 ( 2 et P(T et donc P(T 3 2 ( On a alors Partie B E[T 3 ] Pour k N fixé, S k est un entier compris entre k (cas où on obtient k fois la boule à k n (cas où on obtient k fois la boule n. Ainsi S k (Ω k;kn 6. (a Par définition de S k : k+ S k+ X i i k X i + X k+ i et donc S k+ S k + X k+. (b D après S k (Ω, l ensemble ( [S k j ] k j kn est un système complet d événements. D après la formule des probabilités totales, pour i k +,n : P(S k+ i kn j k P((S k j (S k+ i

14 Or si j i, (S k k (S k+ i, car X k+ donc S k+ > S k. Ainsi P(S k+ i i j k i j k i j k i j k P((S k j (S k+ i P(S k j P (Sk j (S k+ i P(S k j P (Sk j (S k + X k+ i d après 6a P(S k j P(X k+ i j }{{} n Bilan : pour tout i k +,n, P(S k+ i n i j k P(S k j 7. (a La formule du triangle de Pascal garantit que, pour k N et j N avec k j : (b Par récurrence sur i. Si i k, on a ( ( ( j j j + k k k ( ( k j k k k j k Pour l hérédité, on suppose que pour un certain i fixé supérieur ou égal à k +, on a i j k ( ( j i k k Mais alors ( i j j k k ( ( i j i + j k k k ( ( i i + par hypothèse de récurrence k k ( i par la formule du triangle de Pascal k Ainsi, la proposition est héréditaire. Bilan : pour tout i k +, on a i j k ( ( j i k k

15 (c Pour k, la proposition s écrit P(S n, ce qui est vrai puisque S X U (,n. Supposons la proposition vraie pour un certain entier k,n. Mais alors, pour tout i k +,n : P(S k+ i n n i j k i j k n k P(S k j question 6b i n k+ j k n k+ ( j k ( j k ( i question 7c k hypothèse de récurrence Ainsi, H k+ est vraie. Bilan : par principe de récurrence, la propriété H k est vraie pour k,n. 8. (a Soit k,n. Si T n (ω > k, cela signifie (par définition que S k (ω n (on n a pas dépassé n au temps k. Réciproquement, si S k (ω n, par définition, T n (ω > k. Bilan : [T n > k] [S k n ]. (b En utilisant la question 7c, pour k O,n : P(T n > k P(S k n n i P(S k i n P(S k i ik n ik n k ( i k ( n question 7c k Bilan : pour tout k 0,n, P(T n > k ( n n k k. 9. Remarquons que n k0 P(T n > k n n k n k0 ik+ P(T n i car [S k i ] si i < k puisque S k (Ω k,kn (P(T n + + P(T n n + (P(T n P(T n n + + (P(T n n + P(T n n + (P(T n n P(T n + 2P(T n np(t n n n kp(t n k E[T n ] k

16 Ainsi, ( et donc E[T n ] + n. n n E[T n ] k0 n k ( n k n k0 ( ( n k n k l n 0. On a E[T n ] e (n ln( + n + e(n n e Ainsi, Partie C lim E[T n] e. n +. (a On constate que, pour k Ainsi, pour n fixé, et par télescopage Ainsi, + k P(Y k. k P(Y k k k! k! (k! k! n n P(Y k (k! k! n! n + k (b Remarquons que, de même, pour k : kp(y k k (k! et donc kp(y k 0 si k, kp(y k (k 2! si k 2. Ainsi, pour n 2 : n n n 2 kp(y k (k 2! k! k On reconnait la série exponentielle. Bilan : Y admet une espérance et E[Y] e. 2. On a, pour k N et n k + ( P(T n > k n n k k k2 k0 (n! n k k!(n k! (n (n 2 (n k n k k! Ainsi, P(T n > k n + n k n k k! n + k!

17 3. Soit k N. Puisque P(T n k P(T n > k P(T n > k. D après le résultat précédent Bilan : (T n converge en loi vers Y. 4. En utilisant la définition de T, on a : Programme Scilab 3 : Loi de T lim n k n + lim n > k P(T n > k n + (k! k! k P(Y k k! function yt(n S0 y0 while S < n tirage grand(,,'uin',,n SS+tirage yy+ end endfunction 5. (a On effectue une simulation de jeux avec n boules (n étant un argument des deux fonctions et on détermine les valeurs de T n. freqt renvoie un vecteur donnant la fréquence d apparition, pour kième élément, de l entier k lorsqu on fait cette simulation loitheoy renvoie un vecteur donnant, pour le kième élément, la probabilité P(Y k. (b On fait apparaitre les représentations graphiques des vecteurs précédents pour des n de plus en plus grand. On constate que la fréquence d apparition des entiers n tend vers la probabilité théorique de Y, et donc qu il semblerait effectivement que (T n converge bien en loi vers Y.