Étude des fonctions polynômes du second degré

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1 Étude des fonctions polynômes du second degré Définitions Définition d une fonction polynôme de degré 2 Une fonction, définie sur est une fonction polynôme de degré 2 lorsqu il existe trois réels et avec tels que, pour tout réel :. Les réels et sont les coefficients du polynôme. Remarque Une fonction polynôme de degré 2 est aussi appelée trinôme du second degré. s. Les coefficients de ce trinôme sont.. Les coefficients de ce trinôme sont. Exercice Dire si les fonctions suivantes sont des polynômes de degré 2. Dans ce cas, préciser leurs coefficients. a) c) e) b) d) f) est un polynôme de degré 2 avec et est un polynôme de degré 2 avec et est un polynôme de degré 2 présenté sous forme canonique. Sa forme développée est avec et. est un polynôme de degré 2 avec et donc est un polynôme de degré 1 (ici une fonction linéaire). n est pas un polynôme (présence du terme ) Théorème et définition - Forme réduite et degré Toute fonction polynôme de degré 2, s écrit de manière unique sous forme réduite (ou développée) avec. Le terme est le terme de degré 2, le terme est le terme de degré 1 et le terme est le coefficient constant ou le terme de degré. N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 1

2 s est un polynôme de degré 2 présenté sous forme réduite. est un polynôme de degré 2, présenté sous forme factorisée. Sa forme réduite est. Son terme de degré est. Son coefficient Exercice Déterminer les différents termes et coefficients du trinôme 16 est le terme de degré 2. Son coefficient est. est le terme de degré 1. Son coefficient est. est le terme de degré 0 et le coefficient c. Propriété Deux polynômes et de degré 2 sont égaux si et seulement si les coefficients des formes réduites sont égaux deux à deux. Soit les deux trinômes et Montrer que et sont égaux. Définition et proposition- Racine On appelle racine d un polynôme tout nombre réel tel que. Une racine du polynôme est une solution de l équation. Soit le polynôme défini par. Montrer que est une racine de. Déterminer et tels que est une racine du polynôme, on peut donc le factoriser par (sinon le polynôme ne s annulerait pas en 2). est un polynôme de degré 2, il est donc factorisable par deux termes de degré 1. Donc, il existe et tels que. La forme développée en fonction des coefficients et est : N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 2

3 Or d' après l'énoncé En comparant les coefficients des deux expressions du polynôme, on obtient le système : { En déduire la deuxième racine de. a deux racines et. { et Forme canonique Propriété et définition Forme canonique Toute fonction polynôme de degré 2 peut s écrire sous la forme avec. Cette forme est appelée forme canonique de. Soit la fonction définie sur par On remarque que est le début du développement de. Donc et ] En développant, on obtient Cette expression est la forme canonique de Dans ce cas et. Exercice Déterminer la forme canonique de la fonction définie sur par. Démonstration de la propriété Soit le trinôme, avec. Transformation de l écriture de : [ ] [ ] On a donc l égalité : [ ] pour tout réel. On pose et et on obtient pour tout réel : avec N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 3

4 Propriété Soit le trinôme, avec et sa forme canonique. Alors et. Déterminer la forme canonique du trinôme définie sur par. La forme canonique est Maximum et minimum On peut déduire de la forme canonique d un trinôme de degré 2 son maximum (si ) ou son minimum (si ) Si alors et donc. De plus est le minimum de. Il est atteint en. Quelque soit réel,. D où. Le minimum est donc. Il est atteint lorsque c est-àdire lorsque. Si alors et donc. De plus est le maximum de. Il est atteint en. Quelque soit réel,. D où. Le maximum est donc. Il est atteint lorsque c est-à-dire lorsque. N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 4

5 Savoir-faire Déterminer la forme canonique et l extremum Soit la fonction définie sur par. a) Donner la forme canonique de. On calcule et b) Démontrer, en utilisant cette forme canonique, que la fonction admet un maximum et déterminer la valeur de ce maximum. Quelque soit réel, D où et. Donc admet un maximum égal à 3. On sait que donc le maximum est atteint en. Variations Propriété Soit une fonction polynôme de degré 2 définie sur par, avec de forme canonique. Les variations de sont données par les tableaux suivants en fonction de et : admet un minimum en admet un maximum en Les variations de sont données par les tableaux suivants en fonction de et : admet un minimum en admet un maximum en N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 5

6 Exercice On donne le tableau de variations d un trinôme du second degré : A l aide des données du tableau, déterminer les coefficients et de. d où On résout le système de deux équations à deux inconnues et, { { { { { On a donc Courbe représentative Proposition On se donne un repère orthonormal ( ) du plan. La courbe représentative de la fonction avec, et, est une parabole. Cette parabole a pour équation Le point est le sommet de la parabole. La droite d équation est axe de symétrie de. Soit la fonction définie sur par. La forme canonique de est avec et. La courbe représentative de est une parabole de sommet. Le coefficient donc la parabole admet un minimum. La droite d équation, est l axe de symétrie de la parabole. Les racines du polynôme sont équidistantes de l axe de symétrie. N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 6

7 Savoir-faire Représenter une fonction polynôme de degré 2 Soit la fonction définie sur par Construire la représentation graphique de. Tableau de valeurs : N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 7

8 Exercice On a représenté ci-dessous dans des repères orthogonaux, trois courbes et d équations : ; ; Déterminer à quelle courbe correspond chaque figure puis retrouver les graduations du repère pour chaque graphique en justifiant votre démarche. Figure a Figure b Figure c Une seule courbe admet un minimum ce qui correspond à un coefficient. Donc la courbe de la figure b a pour équation. L équation s annule en et. La courbe coupent deux fois l axe en et. D où l échelle sur l axe des abscisses. On a donc la courbe coupe l axe des ordonnées en. La parabole de la figure c atteint son maximum pour une valeur négative. Cela correspond à l équation. Le sommet S de cette courbe a pour coordonnées et. D où l échelle sur le graphique. La parabole de la figure a a pour équation. On peut calculer les coordonnées du sommet S : et. D où l échelle sur le graphique. Figure a Figure b Figure c N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 8