Du caractère aléatoire des interactions des particules à la modélisation par Monte-Carlo

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1 Du caractère aléatoire des interactions des particules à la modélisation par Monte-Carlo Pr. Michel TERRISSOL Université Paul Sabatier Toulouse

2 Sommaire Dose dans le milieu définition estimation Probabilités et Sections efficaces Transport des particules Méthode de Monte Carlo définition exemples de calculs par Monte Carlo fonctions de répartition

3 Problème Dose dans ce volume d intérêt?

4 Dose dans le milieu Chaque particule primaire ou secondaire possède une probabilité f(ε) d interagir dans ce volume. Chaque type d interaction entraîne un dépôt d énergie g(ε). La dose est la somme de tous les dépôts élémentaires d énergie dus aux particules traversant ce volume.

5 Dose dans le milieu La dose dans ce volume d intérêt peut donc être estimée par l intégrale : D = g( ε ) f ( ε ) dε ε f(ε) est la densité de probabilité d avoir la particule pénétrant dans ce volume d intérêt avec une énergie ε g(ε) la fonction de dépôt dans ce volume pour la particule d énergie ε

6 Dose dans le milieu f(ε) n étant généralement pas connue, on contourne le problème en évaluant cette probabilité de présence en simulant la succession de N événements aléatoires reproduisant l histoire de la particule. Chaque fois qu une particule d énergie ε passe dans le volume, on comptabilise ses effets. En fin, on divise par N, ce qui tient donc compte de sa probabilité de présence. N D G = g( ε i ) les ε i étant distribués suivant f(ε) N i=

7 Sommaire Dose dans le milieu Probabilités et Sections efficaces Sections efficaces Sections efficaces différentielles Exemples (formes numériques, analytiques, ) Transport des particules Méthode de Monte Carlo

8 Probabilité et section efficace La probabilité d absorption P: P = Φ Φ 0 La section efficace σ: Φ 0 particules incidentes Φ particules transmises σ = P Φ 0 Ex: Φ 0 =000/cm 2 Φ =600/cm 2 P= 0,4 σ = cm 2

9 Sections efficaces différentielles θ dθ dσ dθ dσ dε dω dσ = dω dσ 2π sinθdθ dd 2 σ 3 d σ ε dθ dε dk dω

10 Ex: type d interaction fonction de l énergie (Na)

11 Ex: type d interaction fonction de l énergie (Na) ================================================================================================== Atomic Weight Na-Nat grams/cc Photon Interaction Data Energy Cross Sections (barns) energy Deposit/Collision(MeV) (MeV) Total Photo. Coherent Incoher. Pair Triplet Photo. Incoher. Pair ================================================================================================== EPU Monte-Carlo, Toulouse Avril

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13 f(t, s, ) Ex: dépôt d énergie Z=3, T = MeV s = 50 microns < > = 9,89 kev Exemple de dσ dε

14 Ex: déflexion angulaire σ Exemple de section efficace double différentielle d 2 σ dk d θ θ k

15 Ex: sections efficaces différentielles analytiques Ex: sections efficaces différentielles analytiques cos 2 sin + = Ω θ β ν θ σ mc h C d d te + = Ω θ ν ν ν ν ν ν σ sin ' ' 2 ' 2 h h h h h h r d d KN ) (cos ) cos ( ) (cos 2 θ θ β θ σ d k d ± ± ± = = ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ε ε τ τ τ τ ε ε π ε σ Tmv e d d Möller

16 Sommaire Dose dans le milieu Probabilités et Sections efficaces Transport des particules libre parcours moyen étapes du transport des particules section efficace totale d interaction Méthode de Monte Carlo

17 Transport des particules Le devenir d'une particule d'énergie ε dans la matière est une suite d'événements stochastiques : trajet, interaction, déviation, perte (ou gain) d'énérgie, etc...,jusqu'à sa "mort" ou sa sortie du milieu. I x dx Lors de la traversée de l élément dx à la profondeur x l'affaiblissement di du faisceau est proportionnel à dx, I(x), σ(ε) la section efficace d'interaction par élément et N le nombre d'éléments par unité de volume: di = - I(x).σ(ε).N.dx

18 Section efficace totale d interaction P(x) la probabilité pour qu'une particule subisse sa première interaction entre x et x + dx est proportionnelle à I(x), soit: dp = -P(x).σ(ε).N.dx I x dx P(x) doit vérifier On obtient : 0 P( x) dx= P( x) = σ( ε) Ne σ ( ε) Nx σ(ε) est la section efficace totale d interaction ou d atténuation. Pour des photons on utilisera σ tot µ att

19 Libre parcours moyen Première interaction à x libre parcours égal à x donc P(x) est aussi la distribution des libres parcours. Le libre parcours moyen λ(ε) est: 0 xp( x) dx= Nσ ( ε) = µ ( ε) = λ( ε) P( x) = µ ( ε) e µ ( ε) x Pour un milieu homogène de n constituants de Ni éléments par unité de volume, de section efficace d'interaction σ i (ε),: µ ε n ( ) = σ ( ε) i= i N i λ( ε) = n i= σ ( ε) i N i

20 Transport des particules Sachant qu'il y a interaction, la probabilité pour que la particule interagisse avec le constituant i est : P i = n σ ( ε) N i= i i i σ ( ε) N i Si il existe k i types d'interactions de la particule avec le i ème constituant, le j ème type d interaction ayant une section efficace σij(ε), la probabilité pour que l'interaction ayant eu lieu avec le i ème constituant soit du type j est : P ij = σ ( ε) k i m= ij σ im ( ε)

21 Transport des particules Lorsque l atome ou la molécule cible et l interaction sont déterminées, g(ε) est évalué par fonctions de transfert, sections efficaces, etc et tous les événements induits sont comptabilisés, afin de déterminer leurs valeur moyenne et variance, après un certain nombre d histoires.

22 Transport des particules - Tirage d un parcours aléatoire suivant : 2- A cet endroit, tirage du constituant i avec : 3- Sur le constituant i, interaction du type j avec : P( x) P i = σ( ε) Ne P ij = n = σ ( ε) N i= k i i i σ ( ε) Nx i σ ( ε) N σ ( ε) m= ij σ im i ( ε) 4- Évaluation de g(ε). Sections efficaces totales et différentielles, fonctions de transfert, etc..

23 Ex : Photons de 00 kev sur du NaI : ρ = 3,667 g/cm 3, M = 49,89 g N σ barns/atome Photoélectrique Cohérent (Rayleigh) Incohérent (Compton) Total Sodium 0,375 0,387 5,29 6,05 Iode 363,4 22,7 23,3 409, Na = N I =,47.0 atomes / cm NaI = = 6, 07cm N NaIσ Tot 6,05 409,4 PNa = = 0,046 P I = = 0, , ,4 6, ,4 363,4 22,4 PI. Photo = = 0,8876 P I. Coh = = 0, ,4 409,4 23,3 409,4 P I. Inc = = λ 0,0569

24 z Transport des particules O φ θ V M v θ θ v2 φ φ - tirage trajet avec λ(ε) y x 2- tirage interaction avec σ effets 3- tirage déviation, dépôt, avec σ différentielles

25 Définition des paramètres du photon E, x,y,z,θ et φ Calcul des λ(e), Pi et Pij Transport des particules Tirage du parcours Type de cible et type d interaction THOMSON COMPTON PHOTOELECTRIQUE PAIRE Nouveaux paramètres de direction Nouveaux paramètres du photon Mise en mémoire des paramètres de l électron éjecté Mise en mémoire des paramètres du photoélectron créé Réorganisation Mise en mémoire des paramètres du positron et de l électron Réorganisation Mise en mémoire des paramètres des rayons X et électrons Auger Traitement des particules mises en mémoire E < Ec? Fin Exemple des photons

26 Sommaire Dose dans le milieu Probabilités et Sections efficaces Transport des particules Méthode de Monte Carlo Définition Exemples de calcul Variables aléatoires

27 Méthode de Monte-Carlo Le nom de Monte-Carlo est appliqué à une classe de méthodes mathématiques, consistant à observer des nombres aléatoires choisis pour simuler un problème mathématique (ou physique) et à tirer la solution de la conduite de ces nombres. Ce nom a été donné durant la seconde guerre mondiale par des chercheurs américains par analogie avec le caractère aléatoire de la roulette du Casino de Monte-Carlo. Les principales applications sont : le calcul d'intégrales et l évaluation de processus stochastiques (devenir d'une grande succession d'événements aléatoires) Le Monte-Carlo est très utilisé en Physique atomique ou Nucléaire car aussi bien l'émission que le comportement des radiations sont des phénomènes naturellement stochastiques. Ces phénomènes peuvent être décrits par des équations mathématiques plus ou moins compliquées dont la solution se ramène le plus souvent à un calcul d'intégrales dans une grande succession d'événements.

28 Ex: aiguilles de Buffon, calcul de Π Historiquement, le premier exemple de calcul par Monte-Carlo est le problème des aiguilles de Buffon (777), méthode inattendue du calcul de /π Soit dans un plan un système de lignes parallèles équidistantes de d. Une aiguille de longueur l est jetée sur ce plan, au hasard. : d α x α l'angle d'inclinaison avec les parallèles et x la distance du milieu de l'aiguille à l'une des droites sont distribués uniformément : -π/2 a π/2 et 0 x d Si 2l = d, la probabilité de couper une ligne est /π sur N aiguilles si n coupent des lignes π # N/n

29 Ex: calcul de Π/4 Considérons un cercle de rayon R et un carré de coté 2R (le cercle peut s'inscrire dans le carré) : Si on imagine des récipients, on peut dire par exemple: que le rapport des quantités de pluie reçues est proportionnel au rapport des aires exposées, soit: πr R = π 4 Il est facile d'assimiler les gouttes de pluie à un ensemble uniforme aléatoire de points et de dire que si N sont tombés dans le carré et n dans le cercle, alors n/n # π/4, pourvu que N et n soient assez grands. On a donc une estimation de π/4 par une méthode de Monte- Carlo : on tire des points uniformément dans le carré et l'on compte ceux tombés dans le cercle inscrit.

30 Méthode de Monte-Carlo Pour simplifier prenons un carré de côté, le calcul de l'aire du quadrant est : y 2 2 x + y = x dxdy = π 4 0 x Voilà une méthode simple de calcul d'une intégrale double : - on prend N couples de deux nombres uniformément répartis entre 0 et : R et R 2 - on compte le nombre n de couples vérifiant R 2 + R 22 alors n/n # π/4,

31 Méthode de Monte-Carlo Quelle est la probabilité de réussir une "réussite" : c'est une succession d'événements aléatoires, et en saisir la globalité n'est pas évident. Il est plus simple de simuler une répétition d'un grand nombre de parties pour lesquelles il suffit de connaître les diverses probabilités d'événements simples : probabilité d'apparition d'une carte, sachant qu'un certain nombre de cartes est déjà sorti. Ce problème est similaire au transport des particules dans un milieu: quelle est par exemple la probabilité de déposer telle ou telle quantité d'énergie en un endroit donné situé à l'intérieur du milieu irradié? Il faut suivre le cheminement de la particule comme une succession d'événements aléatoires mais obéissant à des lois bien déterminées. Il faut à chaque étape des calculs de ce type trouver le comportement d'une variable représentent le phénomène en fonction de la variable aléatoire de départ connue : cela s'appelle l'échantillonnage, fondé sur l utilisation des fonctions de répartition.

32 Fonction de répartition monotone, croissante P( a X Variables aléatoires < b) = F ( x) = P( X < x) F( b) F( a) = b a f ( x) dx f(x) est la densité de probabilité, fonction positive d intégrale = dérivée de F(x) 0,8 0,6 F(x) f(x) F(x) 0,4 0,2 x 0 + f ( x) dx =

33 Génération de variables aléatoires Soit X une variable aléatoire de densité f connue. On montre que Y = F(X) est uniformément distribuée sur [0,] Si des R i sont des nombres aléatoires équidistribués entre 0 et Les X i =F - (R i ) seront distribués suivant la densité f(x) : X i R i f ( x) dx = dy = 0 R i