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Transcription

1 Ñ îêáéê=omno Rapport d études qü çêáé=çé=ä~=ñá~äáäáí = ^ééäáå~íáçå= =äû î~äì~íáçå=ëíêìåíìê~äé== ÇÉë=çìîê~ÖÉë=ÇÛ~êí= pçãã~áêé= Introduction...5 PARTIE 1 MÉTHODOLOGIE...7 Chapitre I L évaluation structurale des ouvrages d art...9 Chapitre II Introduction à la théorie de la fiabilité...15 Chapitre III Méthodologie de l étude...21 Chapitre IV Outils et références...31 PARTIE 2 EXEMPLES D APPLICATION...37 Chapitre I Pont à poutres des Bouillères...43 Chapitre II PICF de Challuy...63 Chapitre III VIPP de Merlebach...79 Chapitre IV Solution caisson BP du pont sur la rivière Saint Étienne...99 Conclusions et perspectives Annexes La gestion du patrimoine d ouvrages d art représente un enjeu majeur pour les maîtres d ouvrage. Elle pose la question du développement de l ingénierie de l existant. La théorie de la fiabilité propose une évaluation des structures basée sur la théorie des probabilités. Elle est utilisée dans l aéronautique, l industrie offshore, l industrie nucléaire et, plus récemment, dans le domaine du bâtiment et des ouvrages d art. L objectif de cette étude est de mettre en application la théorie de la fiabilité pour : préciser la démarche pour évaluer les ouvrages d art neufs ou existants par approche probabiliste ; établir des grilles de coefficients partiels de sécurité pour l évaluation des ouvrages existants. Ce rapport se décompose en deux parties : une 1 e partie présentant la démarche ; une 2 e partie illustrant cette démarche sur quatre cas d étude d ouvrages d art.

2 Page laissée blanche intentionnellement

3 Théorie de la fiabilité Application à l'évaluation structurale des ouvrages d'art Collection les rapports Document édité par le Sétra dans la collection «les rapports». Cette collection regroupe les rapports d'études, de recherche, d'expérimentation, les synthèses de connaissances.

4 Ce rapport présente les résultats de l étude sur les «Méthodes avancées d évaluation structurale», réalisée au sein du Réseau Scientifique et Technique du Ministère de l Écologie, du Développement durable, du Transport et du Logement. Cette étude a été menée par un groupe de travail composé de : Arnold Ballière, CETE de Lyon ; Yacine Ben Milad, DRIEA (ex- Sétra) ; Anne-Sophie Colas, Sétra ; Christian Cremona, Sétra ; Denis Davi, CETE Méditerranée ; Jean-Bernard Humeau, CETE de l Ouest ; Claude Le Quéré, EGIS (ex- Sétra) ; Claire Marcotte, CETE Nord-Picardie ; Jérôme Michel, Sétra ; André Orcesi, IFSTTAR ; Benoît Poulin, CETE de l Ouest ; Bruno Vion, CETE Méditerranée. Le rapport a bénéficié des relectures attentives de : Jacques Berthellemy, Sétra ; Jean-Michel Lacombe, Sétra. Collection «Les rapports» Sétra 4 février 2012

5 Introduction Contexte L étude sur l application de la théorie de la fiabilité à l évaluation des ouvrages d art a été lancée en Elle répond au besoin de développer les connaissances en matière d ingénierie de l existant. Elle s inscrit dans le programme d actions scientifiques et techniques du Sétra (sujet ) : Orientation scientifique et technique : 4 Agir sur les infrastructures et les systèmes pour améliorer la sécurité des déplacements Projet : 1 Analyser et maîtriser les risques sur ouvrages d art Action : 3 Maîtriser les risques d insuffisance de capacité portante Sujet : 2 Méthodes avancées d évaluation structurale des ouvrages Action «Maîtriser les risques d insuffisance de capacité portante» L action «Maîtriser les risques d insuffisance de capacité portante» répond à une forte attente des maîtres d ouvrage, confrontés à un patrimoine vieillissant et à un corpus technique français encore peu développé sur le sujet. L optimisation des méthodes d évaluation des ouvrages existants constitue donc un enjeu important pour : la sécurité des déplacements, afin d assurer aux usagers un haut niveau de sécurité ; le développement durable, afin de limiter les impacts écologiques liés à des interventions non justifiées sur les ouvrages ; l économie, afin de gérer les dépenses par l optimisation des interventions ; le plan juridique, afin de proposer un cadre permettant d assurer la responsabilité des intervenants lors des évaluations d ouvrages existants. Compte tenu du vieillissement du patrimoine, de l évolution de l agressivité du trafic, du développement des transports exceptionnels et de l évolution de la réglementation applicable aux ouvrages neufs le champ d application des Eurocodes ne couvrant pas les ouvrages existants, la mise au point d un corpus technique permettant d évaluer précisément les ouvrages existants est un enjeu important pour les années à venir. C est pourquoi le CTOA renforce son implication dans l ingénierie des ouvrages existants notamment en pilotant une action majeure pour l établissement de recommandations, proposant plusieurs niveaux de sophistication, pour l évaluation des ouvrages. L objectif de cette action est de mettre au point le corpus technique de l évaluation des ouvrages existants. Sujet «Méthodes avancées d évaluation structurale des ouvrages» Le sujet «Méthodes avancées d évaluation structurale des ouvrages» vise à développer la mise en application des méthodes probabilistes pour l évaluation des ouvrages d art ainsi que l adaptation des coefficients partiels de sécurité, pour aider à l évaluation courante des ouvrages existants par méthode semi-probabiliste. Il est ainsi mené en lien avec le sujet 1 «Méthodes courantes d évaluation structurale des ouvrages» [11]. Cette étude est menée par un groupe de travail associant les CETE et le CTOA, avec l appui de l IFSTTAR. La théorie de la fiabilité a ainsi été mise en pratique par chaque CETE sur un ouvrage réel ou fictif pour : préciser la méthodologie d application de la théorie de la fiabilité à l évaluation des ouvrages neufs ou existants sur un exemple concret ; établir des grilles de coefficients partiels permettant de réévaluer la performance des ouvrages existants au moyen d une méthode semi-probabiliste. Collection «Les rapports» Sétra 5 février 2012

6 Présentation du rapport Ce rapport présente la méthodologie développée par le groupe de travail pour mettre en application la théorie de la fiabilité à l évaluation des ouvrages d art ainsi que les exemples de calculs sur ouvrage réel ou fictif. Il ne traite pas : des phases antérieures (surveillance, entretien, inspection, diagnostic) ou postérieures (réparations, renforcements) à l évaluation qui font l objet d autres études dans le programme d action du Sétra ; des méthodes d évaluation dites courantes qui font l objet du sujet 1 «Méthodes courantes d évaluation structurale des ouvrages» [11] de cette action. Ce rapport ne fournit pas de grilles de coefficients partiels actualisés directement utilisables pour l évaluation d un ouvrage existant : ici seule la méthodologie de calcul de ces coefficients est présentée, l établissement de grilles fera l objet de la prochaine étude sur ce sujet. Le rapport se décompose en deux parties. La Partie 1 décrit la démarche adoptée au cours de cette étude : le Chapitre I présente le contexte et les enjeux de l étude ; le Chapitre II expose les principes de la théorie de la fiabilité ; le Chapitre III développe la méthodologie pour appliquer les principes de la fiabilité à l évaluation des ouvrages d art ; le Chapitre IV recense la bibliographie et les outils utilisés dans l étude. La Partie 2 regroupe les exemples développés par les CETE sur quatre ouvrages d art réels ou fictifs : le pont à poutres en béton armé des Bouillères (CETE de l Ouest) ; le pont-cadre PICF en béton armé de Challuy (CETE de Lyon) ; le VIPP de Merlebach (CETE Nord-Picardie) ; la solution caisson en béton précontraint du pont sur la rivière Saint-Étienne (CETE Méditerranée). Elle permet d illustrer les principes exposés en Partie 1 sur des exemples concrets. Collection «Les rapports» Sétra 6 février 2012

7 PARTIE 1 MÉTHODOLOGIE Collection «Les rapports» Sétra 7 février 2012

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9 Chapitre I L évaluation structurale des ouvrages d art L évaluation de la performance d une structure est en enjeu important qui se pose dès la construction de cette structure et reste présent tout au long de sa vie. On se propose dans ce premier chapitre de présenter le contexte et les enjeux de l étude. On définira ainsi les notions de performance structurale, puis on présentera les méthodes d évaluation de cette performance ainsi que les objectifs attendus. 1 - Notions de performance structurale On appelle performance structurale la capacité de la structure à remplir les exigences pour lesquelles elle est conçue et exploitée. On répartit ces exigences de performance en trois catégories : la sécurité structurale, qui assure la résistance de la structure aux actions prévues en situation normale ainsi que sa robustesse en situation exceptionnelle ; l aptitude au service, qui assure le maintien de l exploitation de la structure ; la durabilité, qui décrit l aptitude de la structure à demeurer en état d accomplir ses performances de sécurité structurale et d aptitude au service dans des conditions données d utilisation et de maintenance sur une durée de service définie. La mesure de la performance structurale vise à quantifier l écart entre les modes de fonctionnement acceptables de la structure et les modes de fonctionnement à éviter, en fonction des caractéristiques de résistance de la structure et des actions susceptibles de conduire à sa ruine. 2 - Méthodes d évaluation de la performance Approche déterministe Jusqu au XIX e siècle, les règles de construction reposaient sur l empirisme et l expérience. Le principe de sécurité adopté était celui dit des contraintes admissibles. Le principe des contraintes admissibles consiste à s assurer que la contrainte maximale σ, calculée en une section donnée sous une combinaison d actions défavorables, reste inférieure à une contrainte dite admissible σ adm. La valeur de la contrainte admissible est déterminée par le rapport de la contrainte de ruine σ rupt du matériau sur un coefficient de sécurité K fixé de manière conventionnelle : σ σ adm rupt = σ K Ce principe présente l avantage d être facile à mettre en œuvre mais il reste insuffisant. En effet, il ne permet pas de prendre en compte la dispersion de chacun des paramètres intervenant dans le calcul puisqu un même Collection «Les rapports» Sétra 9 février 2012

10 coefficient leur est affecté, ce qui peut conduire à des sur-dimensionnements. D autre part, la vérification en contraintes n est pas le seul critère intervenant dans l évaluation de la sécurité d une construction. L approche déterministe a été adoptée dans les règlements français antérieurs à Approche semi-probabiliste On appelle approche semi-probabiliste la méthode reposant sur les notions d état limite et de coefficients partiels de sécurité. C est cette méthode que l on retrouve dans de nombreux règlements, notamment les Eurocodes. Le mode de fonctionnement de la structure est décrit par un état limite liant résistance des matériaux et sollicitations imposées à la structure, sous la forme : R > S On distingue deux types d état limite : état limite ultime, pour un mode de fonctionnement extrême de la structure ; état limite de service, si la structure est inapte au service mais réparable. On évalue la dispersion de certains paramètres à partir d études statistiques que l on intègre sous forme de valeur caractéristique. On retient généralement comme valeur caractéristique un fractile de la distribution de l échantillon mesuré, c est-à-dire une valeur telle qu une part donnée de l échantillon soit supérieure à cette valeur (Figure 1). Lorsque la dispersion peut être négligée, les valeurs caractéristiques peuvent être évaluées de manière déterministe. Figure 1 : Valeur caractéristique R k définie comme le fractile à 95% de la distribution (R k a 95% de chance d être dépassée). Les incertitudes qui ne sont pas prises en compte sont intégrées dans des coefficients partiels de sécurité qui minorent les valeurs caractéristiques des résistances R k et majorent celles des sollicitations S k en introduisant des valeurs de calcul R d et S d : R R = et S = γ S k d d S k γr Collection «Les rapports» Sétra 10 février 2012

11 L approche semi-probabiliste consiste alors à s assurer que ces valeurs de calcul R d et S d respectent la marge de sécurité définie par l état limite : R γ k R = R S = γ S d d S k La méthode des coefficients partiels est qualifiée de semi-probabiliste car elle combine, au sein d un même état limite, des valeurs estimées statistiquement et des valeurs déterministes, tout en adoptant un formalisme déterministe. Cette approche offre un bon compromis entre facilité de mise en œuvre et informations sur la dispersion des données. Néanmoins, les coefficients partiels, établis pour couvrir une large gamme d incertitudes, peuvent s avérer peu représentatifs pour certaines structures particulières ou endommagées. La démarche semi-probabiliste a été introduite dans les règlements français par les Directives Communes au Calcul des Constructions (Circulaire n du 13 décembre 1971 puis Circulaire n du 13 mars 1979); elle a été reprise dans les règles de calcul BAEL et BPEL puis dans les Eurocodes Approche probabiliste On appelle approche probabiliste la méthode qui s appuie sur la théorie de la fiabilité pour évaluer la probabilité de défaillance ou l indice de fiabilité de la structure. Le mode de fonctionnement de la structure est, comme pour l approche semi-probabiliste, décrit par un état limite mais les incertitudes liées aux paramètres d entrée sont introduites sous forme de loi de probabilité affectée à chaque variable. Ces lois de probabilité sont établies à partir d études statistiques sur les paramètres concernés. L approche probabiliste consiste alors à calculer la probabilité de dépassement du critère d état limite, appelée probabilité de défaillance P f, que l on compare à une probabilité de défaillance acceptable P f 0 : P = P( R< S) P f f 0 L approche probabiliste est séduisante puisqu elle permet de prendre en compte un très large spectre d incertitudes. Cependant, elle est limitée par le manque d études statistiques concernant les différentes variables d entrée et la complexité des calculs de probabilité. De plus, les différentes variables d entrée présentent souvent des corrélations difficiles à détecter et pouvant varier dans de fortes proportions d un ouvrage à un autre ; le traitement de ces corrélations nécessiterait des calculs complexes et surtout la collecte d une volumineuse quantité de données pour chaque ouvrage traité. Par ailleurs, l approche probabiliste nécessite la définition d une probabilité de défaillance acceptable qui est une notion difficile à apprécier et donc à quantifier. On présente dans le Tableau 1 un comparatif des trois approches introduites précédemment détaillant la nature des paramètres, des incertitudes et du calcul dans chacun des cas. Déterministe Semi-probabiliste Probabiliste Paramètres Déterministe Fractile Variable aléatoire Incertitudes Coefficient global Coefficients partiels Lois de probabilité Calcul Déterministe Déterministe Probabiliste Tableau 1 : Comparatif des différentes approches d'évaluation de la performance des structures. Collection «Les rapports» Sétra 11 février 2012

12 3 - Principes de l évaluation de la performance des ouvrages d art Performance des ouvrages neufs L évaluation de la performance des ouvrages neufs est motivée par leur dimensionnement en vue de leur construction. La démarche consiste à évaluer les charges que doit supporter l ouvrage pour remplir sa fonction et à choisir les matériaux et la géométrie de la structure permettant de supporter ces charges selon des critères de fonctionnement de l ouvrage prédéfinis. La performance de l ouvrage à sa conception est régie par un règlement, qui fixe les matériaux et les charges à envisager ainsi que les critères de fonctionnement acceptables. Le formalisme semi-probabiliste est bien adapté à la conception des ouvrages d art car il permet d établir des règlements faciles à mettre en œuvre. De plus, il couvre une large gamme d incertitudes et permet donc d intégrer les écarts entre les grandeurs prévues et celles réellement mises en œuvre ainsi que l évolution des différents paramètres au cours de la vie de l ouvrage. Par ailleurs, les coûts induits par les marges introduites par le règlement restent assez faibles devant le coût total de l ouvrage neuf Performance des ouvrages existants L évaluation de la performance des ouvrages existants peut intervenir au cours de la vie de l ouvrage pour diverses raisons : modifier les conditions d exploitation de l ouvrage ; prévenir les risques liés à l évolution de l environnement ou de la réglementation ; diagnostiquer des pathologies observées sur l ouvrage. L approche de l évaluation des ouvrages existants est différente de celle adoptée pour les ouvrages neufs. Les règlements, conçus pour dimensionner les ouvrages neufs, ne s avèrent pas toujours adaptés pour l évaluation des ouvrages existants et les marges de sécurité peuvent dépasser celles qu il est raisonnable d attendre d un ouvrage existant. En effet, le règlement en vigueur peut fixer des marges plus sévères ou imposer des caractéristiques de matériaux et de charges plus strictes que celles prises à la conception de l ouvrage. De plus, le règlement ne permet pas de tenir compte du fait que l ouvrage soit construit, et notamment de la possibilité de mesurer certains paramètres par une auscultation ou une instrumentation de l ouvrage. Par ailleurs, si on peut intégrer une nouvelle valeur de paramètre dans l évaluation, il est difficile de tenir compte de la précision de cette mesure. Il est donc nécessaire de développer une méthodologie d évaluation spécifique aux ouvrages existants. L évaluation de l ouvrage passe, dans un premier temps, par une collecte d informations sur l ouvrage (documentations existantes, investigations sur site ). Ensuite, différents niveaux de calculs de complexité croissante peuvent être envisagés selon les besoins. Le règlement britannique BA 79 [2] classe les méthodes de calcul en 5 niveaux selon leur degré de sophistication et les nécessités liées au fonctionnement de l ouvrage (Figure 2) ; ce modèle à 5 niveaux a été repris dans le projet européen BRIME [4] : Niveau 1 : application directe du règlement en vigueur pour les ouvrages neufs sur un modèle simple. Niveau 2 : application directe du règlement en vigueur pour les ouvrages neufs sur un modèle complexe. Niveau 3 : application du règlement en vigueur pour les ouvrage sneufs avec prise en compte d une meilleure connaissance des résistances et des charges (résultats de l inspection, réserve de capacité portante ). Niveau 4 : modulation des coefficients partiels de sécurité du règlement en fonction du type d ouvrage, du régime d entretien et de maintenance, des résultats de l inspection. Niveau 5 : évaluation probabiliste de l ouvrage. Collection «Les rapports» Sétra 12 février 2012

13 Les niveaux 1 à 3 ne sont pas traités dans cette étude ; ils font l objet de l étude portant sur les «Méthodes courantes d évaluation structurale» [11]. Une première approche du niveau 4 y est également présentée. La présente étude vise à développer les outils méthodologiques nécessaires pour compléter le niveau 4 et mettre en application le niveau 5 de l évaluation structurale. Lors d une évaluation, on commence par le niveau le moins complexe et on passe au niveau supérieur si la performance de l ouvrage n est pas assurée et si la vérification n est pas trop coûteuse vis-à-vis de l objectif visé pour l ouvrage. La procédure d évaluation de l ouvrage existant conduit à une prise de décision : pas d intervention ; surveillance plus ou moins avancée ; restriction de trafic ; renforcement/réparation ; remplacement. Figure 2 : Mode opératoire de l évaluation des ouvrages existants selon le règlement britannique BA 79 tiré de Cremona, 2005 [7]. Collection «Les rapports» Sétra 13 février 2012

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15 Chapitre II Introduction à la théorie de la fiabilité La théorie de la fiabilité repose sur une approche probabiliste de la sécurité structurale. Elle vise à évaluer la probabilité de défaillance de la structure : connaissant un critère d état limite de la structure ainsi que la variabilité des paramètres qui interviennent dans ce critère, la probabilité de défaillance est définie comme la probabilité que ce critère soit dépassé. La structure est finalement considérée comme sûre si cette probabilité de défaillance est inférieure à une valeur référence appelée probabilité de défaillance acceptable. Ce chapitre présente les principes qui sous-tendent cette théorie ainsi que ses possibilités d application à l évaluation de la sécurité des structures. Les notions introduites dans ce chapitre sont détaillées dans l Annexe 1, plus d informations pouvant être trouvées dans Cremona, 2005 [7]. 1 - Principes de la théorie de la fiabilité Mode de défaillance et fonction d état limite L évaluation de la sécurité structurale commence par la définition du mode de défaillance que l on veut étudier, c est-à-dire la localisation de l élément de structure concerné, les propriétés mécaniques des matériaux, les sollicitations soumises ainsi que le modèle liant résistance et sollicitations. Notons que le niveau de fiabilité obtenu dépendra donc du mode de défaillance choisi. Le mode de défaillance permet ainsi de définir la marge de sécurité ou fonction d état limite à respecter. Cette fonction d état limite, notée g, fait intervenir différents paramètres géométriques ou physiques du système étudié. Notons : R la résistance du matériau constitutif de la structure ; S les sollicitations imposées à la structure. On peut écrire la marge de sécurité M et la fonction d état limite g sous la forme générale : M (, ) = g R S En se plaçant dans l espace physique, espace formé par R et S, on remarque que la fonction d état limite permet de diviser l espace physique en 3 domaines (Figure 3) : g (R, S) < 0 : domaine de défaillance ; g (R, S) = 0 : état limite ; g (R, S) > 0 : domaine de sécurité. Collection «Les rapports» Sétra 15 février 2012

16 Figure 3:Domaine de défaillance, état limite et domaine de sécurité Variables aléatoires et lois de probabilité Dans le cadre de la théorie de la fiabilité, les paramètres intervenant dans la fonction d état limite peuvent être définis comme aléatoires pour tenir compte des incertitudes qui planent sur leur valeur. On les appelle alors variables aléatoires et on leur affecte une loi de probabilité qui décrit leur variabilité (Figure 4). On caractérise généralement les lois de probabilité par leur valeur moyenne μ et leur écart-type σ ou leur coefficient de variation CdV, défini comme le rapport de l écart-type sur la moyenne. Dans l évaluation des structures par la théorie de la fiabilité, on utilise couramment : la loi normale : elle apparaît naturellement dans les phénomènes aléatoires dont la base physique est de nature microscopique mais observée à l échelle macroscopique. En d autres termes, la distribution gaussienne est la loi de toute variable dont les valeurs résultent de la contribution d une multitude de facteurs indépendants. Elle traduit généralement bien les erreurs de précision d implantation et les grandeurs géométriques. La loi normale est enfin souvent adoptée comme approximation d autres lois ; la loi lognormale : elle apparaît dans les phénomènes issus du produit d une multitude de facteurs. Elle est très utilisée dans la modélisation de données hydrologiques, mais également dans la construction de modèle liant l amplitude des séismes avec leurs intervalles d occurrence. Elle est parfois utilisée par défaut, pour représenter les caractéristiques physiques des matériaux et certaines sollicitations permanentes ne changeant pas de signe ; les lois de valeurs extrêmes : la modélisation des variables dans une analyse de la fiabilité nécessite souvent de considérer des valeurs extrêmes (par exemple, la plus grande charge qu une structure aura à subir pendant une période donnée ou la résistance la plus petite dans un matériau fibré). Il est possible d établir que seules six lois d extrêmes existent, trois pour les maxima et trois pour les minima, appelées lois de Gumbel, lois de Fréchet et lois de Weibull. Collection «Les rapports» Sétra 16 février 2012

17 Figure 4 : Distribution d une variable aléatoire Z suivant une loi normale (à gauche) et lognormale (à droite). Notons que toutes les variables intervenant dans la fonction limite ne sont pas nécessairement aléatoires, certaines pouvant être définies comme déterministes Probabilité de défaillance et indice de fiabilité La théorie de la fiabilité permet donc, à partir d une fonction d état limite et des lois de probabilité associées à ces variables aléatoires, de connaître la probabilité P f de se trouver dans le domaine de défaillance : ( ( ) ) P = P g R, S < 0 = P( R S < 0) f L ordre de grandeur de la probabilité de défaillance étant très faible, on traduit généralement cette valeur en terme d indice de fiabilité β, que l on calcule à partir de la probabilité de défaillance selon : ( ) β P = Φ 1 f où Φ représente la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. On représente en Figure 5 la relation entre la probabilité de défaillance P f et l indice de fiabilité β. Figure 5 : Courbe de la probabilité de défaillance P f en fonction de l indice de fiabilité β. Collection «Les rapports» Sétra 17 février 2012

18 On peut donner une interprétation géométrique de l indice de fiabilité β en se plaçant dans un espace normalisé correspondant à l espace physique, c est-à-dire en considérant que les variables aléatoires suivent une loi normale de moyenne nulle et d écart-type unitaire 1. On peut alors représenter géométriquement l indice de fiabilité β comme la distance entre l origine O de l espace normalisé et la courbe d état limite. Le point de l état limite ainsi identifié est appelé point de fonctionnement Z (Figure 6). On note α r le vecteur unitaire portant (ZO) : uuur ZO r βα R = βα= βαs Les composantes α R et α S de α r sont appelées cosinus directeurs : elles donnent le poids relatif de chacune des variables sur l indice de fiabilité β. On peut également mesurer la sensibilité de cet indice aux variations de la moyenne μ (respectivement de l écart-type σ) de R ou de S en étudiant leur coefficient de sensibilité S m (respectivement S s ) : S m μ β et σ = S β s = β μ β σ Figure 6 : Représentation géométrique de l indice de fiabilité β, du point de fonctionnement Z 0 et des cosinus directeurs α Méthodes de calcul En pratique, on recourt à des méthodes d estimation pour calculer l indice de fiabilité β. On distingue deux types de méthode (Figure 7) : Méthodes de niveau II : on représente la fonction d état limite g par une surface approchante : un hyperplan dans le cas de la méthode FORM (First Order Reliability Method) ; une hyperparaboloïde dans le cas de la méthode SORM (Second Order Reliability Method). 1 Notons que si les variables aléatoires suivent une loi quelconque, il existe des transformations dites iso-probabilistes permettant de les ramener à des variables normales, centrées et réduites. Collection «Les rapports» Sétra 18 février 2012

19 L indice de fiabilité β est alors donné par la distance entre l origine O de l espace normalisé et cette surface ; on en déduit la probabilité de défaillance P f = Φ ( β ). Méthodes de niveau III : on procède à un tirage aléatoire des couples de valeurs des variables aléatoires R et S et on vérifie pour chaque couple s il y a défaillance ou non ; la probabilité de défaillance P f est définie comme le rapport entre le nombre de tirages ayant conduit à la défaillance et le nombre total de tirages. Ce type de méthode requiert un grand nombre de tirages pour obtenir des résultats fiables et peut donc se révéler très coûteuse en terme de temps de calcul. Figure 7 : Méthodes d'estimation de la probabilité de défaillance P f : méthodes de niveau II (à gauche) et méthodes de niveau III (à droite). 2 - Applications de la théorie de la fiabilité Application directe à l évaluation de la structure La théorie de la fiabilité permet donc de connaître l indice de fiabilité (ou la probabilité de défaillance) d une structure. Dans le cadre d une application directe de cette théorie à l évaluation de la sécurité de la structure, il convient de se fixer une valeur référence de cet indice de fiabilité, traduisant un niveau de sécurité que l on juge acceptable : on appelle cette valeur l indice de fiabilité cible β 0. La structure sera alors jugée sure, vis-à-vis d un mode de défaillance donné, si elle vérifie : β β 0 La valeur de l indice de fiabilité cible est difficile à appréhender puisqu elle traduit le niveau de sécurité que l on veut se fixer et qu elle dépend ainsi, entre autres, de la durée de vie de l ouvrage, des conséquences engendrées par sa ruine ou des critères économiques liés à son entretien et son remplacement Application au développement d une approche semiprobabiliste La théorie de la fiabilité permet également de développer une approche semi-probabiliste de la sécurité des constructions. En effet, nous avons vu que l indice de fiabilité β de la structure était fonction des variables aléatoires et plus particulièrement de leur moyenne μ et de leur écart-type σ. La vérification de la relation cidessus peut donc se transformer de sorte que : (,,, ) (,, ) (,, ) β = f μ σ μ σ β R μ σ β S μ σ β R R S S 0 d R R 0 d S S 0 où R d et S d sont les valeurs de calcul respectives de la résistance R et de la sollicitation S. On peut alors définir les coefficients partiels comme le rapport entre les valeurs représentatives R k et S k fournies au projeteur et les valeurs de calcul R d et S d : Collection «Les rapports» Sétra 19 février 2012

20 γ R R k = et γs = Rd S S d k La théorie de la fiabilité est ainsi à la base des normes Eurocodes traduits sous forme semi-probabiliste. La théorie de la fiabilité permet de développer une approche probabiliste de la sécurité des constructions, permettant ainsi la prise en compte d un large spectre d incertitudes sur les différents paramètres du système étudié. Cette approche présente néanmoins des difficultés d application. En effet, elle repose sur la connaissance des lois de probabilité associées aux variables d entrée : or, il s avère souvent difficile d obtenir des données statistiques suffisantes. D autre part, lorsque l état limite considéré est complexe, les calculs de fiabilité peuvent rapidement devenir insurmontables. Enfin, son application à l évaluation de la sécurité d une structure passe par la définition d un indice de fiabilité cible auquel comparer l indice de fiabilité obtenu pour la structure. Collection «Les rapports» Sétra 20 février 2012

21 Chapitre III Méthodologie de l étude L objectif de cette étude est de mettre en application la théorie de la fiabilité pour évaluer la performance des ouvrages neufs ou existants. On s attachera dans un premier temps à définir l indice de fiabilité cible β 0 représentant le niveau de sécurité requis. À partir de cet indice de fiabilité cible, la théorie de la fiabilité va permettre : d évaluer les ouvrages neufs ou existants par approche probabiliste ; d actualiser les coefficients partiels de l approche semi-probabiliste pour l évaluation des ouvrages existants. 1 - Détermination de l indice de fiabilité cible β Définition de l indice de fiabilité cible Nous avons vu que la définition de l indice de fiabilité cible était une question complexe. Une approche classique consiste à calibrer cet indice de fiabilité cible sur les règlements en vigueur. Cette approche est pertinente si on considère le règlement comme optimal, c est-à-dire offrant un bon compromis entre économie et sécurité. Il faut toutefois garder à l esprit que cet indice dépend du type d état limite considéré, des conséquences de la défaillance et de la période de référence considérée. L EN 1990 définit trois classes de conséquences de défaillance, CC1 (faibles) à CC3 (élevées), afin de différencier les niveaux de fiabilité requis. À ces classes de conséquences sont associées des classes de fiabilité RC1 à RC3. C est la classe CC2 (conséquences moyennes) qui est recommandée pour les ouvrages d art : la classe de fiabilité associée RC2 prescrit l application des coefficients partiels prévus dans les Eurocodes sans modification. Des valeurs d indice de fiabilité cible sont ainsi prescrites dans l annexe C.6 de l EN 1990 selon le type d état limite considéré, pour une période de référence de 1 an et 50 ans (Tableau 2). On peut en déduire les indices à 100 ans, durée de projet prescrite pour les ouvrages d art, à partir de la formule : Φ ( β ) = Φ( β ) n n 1 Ces indices cibles devant être valides pour une large gamme d ouvrages, ils peuvent s avérer très sécuritaires pour certains d entre eux. État limite Période de référence 1 an 50 ans 100 ans Ultime 4,7 3,8 3,7 Service 2,9 1,5 1,0 Tableau 2 : Indices de fiabilité cibles β 0 en fonction de l état limite et de la période de référence pour une classe de fiabilité RC2 (valeurs données dans le tableau C.2 de l annexe C de l EN 1990 à 1 an et 50 ans et calculées à partir de la formule C.3 à 100 ans). Dans les calculs menés dans ce rapport, l indice de fiabilité cible considéré n est pas pris égal à l indice cible de l EN 1990 (Tableau 2). Ce choix résulte d une part du fait que les sollicitations dues aux charges de trafic sont Collection «Les rapports» Sétra 21 février 2012

22 conservées déterministes et égales aux sollicitations de l EN Aussi, cette variabilité n étant pas prise en compte, l indice cible calculé diffèrera de l indice cible de l EN D autre part, l EN 1990 fixe les indices cibles associés à des probabilités de défaillance sociétales acceptables. Ils sont souvent peu représentatifs des pratiques de conception qui ont tendance à conduire à des indices de fiabilité plus élevés. Il faut donc les voir comme des valeurs «plancher». Dans un souci de cohérence avec les pratiques de dimensionnement, un indice de fiabilité cible a été recalculé pour chaque ouvrage sur la base d un dimensionnement strict aux états limites. La performance de l ouvrage est évaluée en comparant son indice de fiabilité réel à cet indice cible. Un indice cible sera calculé pour chaque état limite (service et ultime) et pour une période de référence de 100 ans, durée de projet prescrite pour les ouvrages d art neufs dans les Eurocodes Calcul de l indice de fiabilité cible L indice de fiabilité cible d un ouvrage est donc défini comme l indice de fiabilité de cet ouvrage strictement dimensionné aux Eurocodes. L indice dépendant du type d état limite considéré, deux indices de fiabilité cibles seront calculés pour chaque ouvrage, l un pour l État Limite de Service (ELS) et l autre pour l État Limite Ultime (ELU), suivant la méthode détaillée ci-dessous Dimensionnement strict aux Eurocodes La première étape du calcul de l indice de fiabilité cible est de dimensionner strictement l ouvrage considéré aux Eurocodes, c est-à-dire en dimensionnant à l état limite. On commence par identifier la section et la vérification sur laquelle on va travailler, ainsi que le paramètre qui sera dimensionné, les autres paramètres (géométriques ou physiques) restant identiques à ceux de l ouvrage étudié. Le règlement impose une vérification liant la résistance et les sollicitations : R R = γ S = S k d S k d γr Si on choisit de dimensionner la résistance R, sa valeur stricte aux Eurocodes R 0 s exprime en fonction des coefficients partiels de sécurité, de sorte que : R = γγs 0 R S k Calcul de l indice de fiabilité cible Le calcul de l indice de fiabilité de l ouvrage strictement dimensionné aux Eurocodes se fait donc selon les principes exposés au chapitre II section 1. Mode de défaillance et fonction d état limite Le mode de défaillance est imposé par la section et par la vérification retenues pour le dimensionnement. La fonction d état limite se déduit de la prescription du règlement en remplaçant les valeurs de calcul (valeurs caractéristiques et coefficients partiels) par leur variable aléatoire associée : Variables aléatoires et lois de probabilité g = R S Les paramètres intervenant dans la fonction d état limite sont donc considérés comme aléatoires : on leur associe une loi de probabilité, caractérisée par sa valeur moyenne μ et son écart-type σ (ou son coefficient de variation CdV). Si les valeurs de mesure données par le règlement sont des valeurs caractéristiques, on calcule la moyenne de leur variable aléatoire associée selon la relation : Collection «Les rapports» Sétra 22 février 2012

23 μ = ν R et μ = ν S R R k S S k où ν R et ν S sont appelés biais. Les propriétés des variables aléatoires sont résumées dans le Tableau 3. Variable Valeur nominale Loi de probabilité Biais Écart-type Coefficient de variation Résistance R R0 = γrγssk Loi R νr σr CdVR Sollicitation S Sk Loi S νs σs CdVS Tableau 3 :Variables aléatoires et lois de probabilité associées pour le calcul de β 0 (paramètre dimensionné en jaune). Si le nombre de paramètres intervenant dans la fonction d état limite est très important, on pourra conserver comme variables aléatoires les paramètres sur lesquels les incertitudes sont les plus grandes et fixer les autres paramètres comme déterministes, afin de limiter la complexité et les temps de calcul. Calcul de l indice de fiabilité cible L indice de fiabilité cible est alors calculé comme l indice de fiabilité de cet ouvrage strictement dimensionné aux Eurocodes : où R et S suivent les lois décrites dans le Tableau 3. ( ( ) ( ) ) 1 β0 = Φ P R νrr0, CdVR S νssk, CdVS < 0 On peut remarquer que β 0 dépend des coefficients partiels de sécurité γ R et γ S qui interviennent dans l expression de la valeur du paramètre de dimensionnement R 0 = γ R γ S S k. Le poids de chacune des variables dans le calcul de β 0 est donné par les coefficients directeurs α R et α S (Tableau 4). La sensibilité de β 0 aux variations de la moyenne et de l écart-type de R ou de S est donnée par les coefficients de sensibilité S m et S s. On peut ainsi, si les calculs s avèrent longs, réduire le nombre de variables aléatoires en considérant comme déterministes les variables dont le cosinus directeur est faible par rapport aux autres. Indice de fiabilité β0 Dimensionnement R β0 R0 Point de fonctionnement Z0 Z0,R Z0,S Cosinus directeurs α0 α0,r α0,s Sensibilité à la moyenne Sm0 Sm0,R Sm0,S Sensibilité à l écart-type Ss0 Ss0,R Ss0,S Résistance R Sollicitation S Tableau 4 : Résultats du calcul de l indice de fiabilité cible β Évaluation des ouvrages par approche probabiliste La théorie de la fiabilité peut être utilisée pour évaluer la performance d un ouvrage par approche probabiliste, en comparant l indice de fiabilité de l ouvrage à l indice de fiabilité cible. Collection «Les rapports» Sétra 23 février 2012

24 2.1 - Performance des ouvrages à la conception La performance d un ouvrage neuf est évaluée en comparant l indice de fiabilité β de l ouvrage à l indice de fiabilité cible β 0. L indice de fiabilité cible ayant été défini à la section précédente, il ne reste donc plus qu à calculer l indice de fiabilité de l ouvrage étudié. Celui-ci est déterminé suivant la même méthodologie que celle adoptée pour le calcul de l indice β 0. Mode de défaillance et fonction d état limite On conserve le mode de défaillance et la fonction d état limite précédemment établis : Variables aléatoires et lois de probabilité g = R S On conserve les variables aléatoires et leur loi de probabilité ; seule la valeur nominale du paramètre dimensionné change pour retrouver sa valeur de mesure. Notons que cette valeur de mesure doit vérifier les conditions imposées par le règlement à l ELS et à l ELU. Les propriétés des variables aléatoires sont résumées dans le Tableau 5. Variable Valeur nominale Loi de probabilité Biais Écart-type Coefficient de variation Résistance R Rk Loi R νr σr CdVR Sollicitation S Sk Loi S νs σs CdVS Tableau 5 :Variables aléatoires et lois de probabilité associées pour le calcul de β (en bleu, le changement par rapport au Tableau 3). Calcul de l indice de fiabilité L indice de fiabilité β de l ouvrage neuf est alors donné par : ( ( R k R) ( S k S) ) 1 β = Φ P R ν R, CdV S ν S, CdV < 0 où R et S suivent les lois décrites dans le Tableau 5. Les informations complémentaires sur le calcul de β sont regroupées dans le Tableau 6. Indice de fiabilité β β Point de fonctionnement Z ZR ZS Cosinus directeurs α αr αs Sensibilité à la moyenne Sm SmR SmS Sensibilité à l écart-type Ss SsR SsS Résistance R Sollicitation S Tableau 6 : Résultats du calcul de l indice de fiabilité β de l ouvrage neuf. L ouvrage est considéré comme sûr vis-à-vis du mode de défaillance étudié s il vérifie : β β 0 Collection «Les rapports» Sétra 24 février 2012

25 2.2 - Actualisation du niveau de performance des ouvrages existants L indice de fiabilité β traduit le niveau de performance de l ouvrage à sa conception. Toutefois, nous avons vu qu il pouvait s avérer nécessaire de réévaluer ce niveau de performance au cours de la vie de l ouvrage. Pour ce faire, on se base sur des relevés et des mesures sur site des paramètres de résistance (caractéristiques physiques et géométriques des matériaux) et/ou de sollicitations (charges supportées par l ouvrage). Dans le cadre de l approche probabiliste (calculs de niveau 5), on actualise le niveau de performance de l ouvrage en intégrant dans le calcul de l indice de fiabilité les nouvelles informations obtenues par l inspection de l ouvrage et on compare le nouvel indice de fiabilité β 1 obtenu à l indice de fiabilité cible β 0. Le calcul de l indice de fiabilité actualisé β 1 suit le même principe celui de l indice de fiabilité β de l ouvrage neuf. Mode de défaillance et fonction d état limite On conserve le mode de défaillance et la fonction d état limite précédemment établis : Variables aléatoires et lois de probabilité g = R S On conserve les variables aléatoires et leur loi de probabilité mais on intègre la nouvelle information en modifiant la valeur moyenne et le coefficient de variation du ou des paramètre(s) mesuré(s) à l inspection. Supposons que l inspection porte sur la sollicitation S, fournissant ainsi une nouvelle valeur de sollicitation μ S1 avec une précision de mesure CdV S1. Il faut donc procéder au changement de la valeur moyenne de S, ou encore au changement du biais ν S1 : ν S1 μ = S ainsi qu au changement de son coefficient de variation. Les propriétés des variables aléatoires sont résumées dans le Tableau 7. S1 k Variable Valeur nominale Loi de probabilité Biais Écart-type Coefficient de variation Résistance R Rk Loi R νr σr CdVR Sollicitation S Sk Loi S νs1 σs1 CdVS1 Tableau 7 :Variables aléatoires et lois de probabilité associées pour le calcul de β 1 (en bleu, les changements par rapport au Tableau 5). Calcul de l indice de fiabilité L indice de fiabilité β 1 de l ouvrage existant est alors donné par : ( ( R k R) ( S k S ) ) 1 β1 = Φ P R ν R, CdV S ν 1S, CdV 1 < 0 où R et S suivent les lois décrites dans le Tableau 7. Les informations complémentaires sur le calcul de β 1 sont regroupées dans le Tableau 8. Indice de fiabilité β1 β1 Point de fonctionnement Z1 Z1,R Z1,S Collection «Les rapports» Sétra 25 février 2012

26 Cosinus directeurs α1 α1,r α1,s Sensibilité à la moyenne Sm1 Sm1,R Sm1,S Sensibilité à l écart-type Ss1 Ss1,R Ss1,S Résistance R Sollicitation S Tableau 8 : Résultats du calcul de l indice de fiabilité β 1 de l ouvrage existant. L ouvrage existant est considéré comme sûr s il vérifie : β β 1 0 On peut également tenir compte dans l actualisation de la représentativité de la mesure obtenue lors de l inspection : on peut, par exemple, n intégrer que les mesures d inspection dont le coefficient de variation est faible. On parle alors d actualisation conditionnelle ou bayésienne ; nous n aborderons par ce volet dans cette étude. 3 - Actualisation de coefficients partiels Nous avons vu que, si l approche probabiliste permettait d actualiser avec précision la performance d un ouvrage au cours de sa vie, les calculs pouvaient s avérer complexes. Dans le cadre de l évaluation d un ouvrage existant, on préfèrera, dans un premier temps, adopter une approche semi-probabiliste, plus facile à mettre en œuvre. Néanmoins, l application directe de l approche semi-probabiliste ne permet de prendre en compte que les valeurs des mesures de l inspection et pas leur précision (calculs de niveau 3). Dans cette partie, on se propose d actualiser (ou recalibrer) les coefficients partiels des Eurocodes afin qu ils puissent intégrer les informations fournies par les inspections et qu ils puissent ainsi être utilisés pour l évaluation des ouvrages existants avec un formalisme semi-probabiliste, tout en assurant un niveau de sécurité identique à celui des méthodes probabilistes (calculs de niveau 4). Il a ainsi été retenu le principe selon lequel il est souhaitable que le niveau de performance de l ouvrage existant à l ELU soit comparable à celui requis pour un ouvrage neuf (cf. norme ISO 13822:2001 [9]). L État Limite Ultime, relatif à l intégrité structurale de l ouvrage, a été privilégié dans cette étude Choix des coefficients partiels à actualiser Dans un premier temps, il faut choisir les paramètres qui feront l objet d une recalibration, ainsi que les nouvelles valeurs de mesure et de dispersion de ces paramètres. Ce choix peut se baser sur deux facteurs : les paramètres couramment mesurés lors des inspections d ouvrages existants (et les plages de valeurs et précisions couramment obtenues) ; les résultats des calculs de fiabilité (cosinus directeurs, sensibilités) qui donnent les paramètres ayant une influence sur l indice de fiabilité de l ouvrage. Il a été décidé que chaque recalibration porterait exclusivement sur le coefficient partiel correspondant au paramètre dont la valeur et/ou la dispersion est modifiée, en cohérence avec les pratiques des méthodes courantes d évaluation. Si aucun coefficient partiel n apparaît de manière explicite dans le règlement, il est possible d en introduire un en lui fixant une valeur initiale égale à Actualisation d un coefficient partiel Considérons par exemple les résultats d inspection de la sollicitation S précédemment retenus avec une nouvelle moyenne μ S1 et un nouveau coefficient de variation CdV S1 ; l actualisation portera donc sur le coefficient partiel γ S. Collection «Les rapports» Sétra 26 février 2012

27 La nouvelle valeur moyenne et la nouvelle dispersion permettent de calculer un indice de fiabilité acceptable ˆβ 0 qui dépend de γ S : où R et S suivent les lois du Tableau 9. ( ( ) ( ) ) β ˆ 1 0 ( γ S ) = Φ P R νγγs R R S k, CdV R S ν S1 S k, CdV S1 < 0 Variable Valeur nominale Loi de probabilité Biais Écart-type Coefficient de variation Résistance R R0 = γrγssk Loi R νr σr CdVR Sollicitation S Sk Loi S νs1 σs1 CdVS1 Tableau 9 : Variables aléatoires et lois de probabilité associées pour le calcul de ˆβ 0. Or, nous avons vu que la valeur référence de fiabilité pour cet ouvrage était l indice de fiabilité cible β 0. La recalibration consiste alors à chercher le coefficient partiel ˆγ 11 S (correspondant au biais ν S1 et au nouveau coefficient de variation CdV S1 ) qui vérifie : 11 βˆ 0( γˆ S ) = β0 ( ( ˆ R R S k R) ( S1 k S1) ) ( ( R R S k R) ( S k S) ) Φ P R νγγ S, CdV S ν S, CdV < 0 = Φ P R νγγs, CdV S ν S, CdV < 0 En répétant cette opération pour les différents paramètres, et leur valeur de biais et de coefficient de variation établis à la section 3.1, on détermine ainsi les coefficients partiels permettant d assurer le niveau de performance requis par l approche probabiliste, tout en adoptant le formalisme pratique de l approche semi-probabiliste. On peut présenter les différents résultats sous forme de grilles de coefficients partiels où on donne en ligne le biais et en colonne le coefficient de variation (Tableau 10 et Tableau 11). Coefficient γr Coefficient de variation Coefficient CdVR1 Coefficient CdVR Coefficient CdVR2 Biais νr1 11 ˆγ R 10 ˆγ R 12 ˆγ R Biais Biais νr 01 ˆγ R γr 02 ˆγ R Biais νr2 21 ˆγ R 20 ˆγ R 22 ˆγ R Tableau 10 : Grille des coefficients partiels recalibrés portant sur la résistance R (valeur de γ R pour l ouvrage neuf en jaune). Coefficient γs Coefficient de variation Coefficient CdVS1 Coefficient CdVS Coefficient CdVS2 Biais νs1 11 ˆγ S 10 ˆγ S 12 ˆγ S Biais Biais νs 01 ˆγ S γs 02 ˆγ S Biais νs2 21 ˆγ S 20 ˆγ S 22 ˆγ S Tableau 11 : Grille des coefficients partiels recalibrés portant sur la sollicitation S (valeur de γ S pour l ouvrage neuf en jaune) Combinaison de coefficients partiels actualisés Collection «Les rapports» Sétra 27 février 2012

28 On dispose désormais de grilles de coefficients partiels permettant d actualiser le niveau de performance de l ouvrage en fonction de la mesure d un de ses paramètres. Se pose désormais la question de l actualisation simultanée ou successive de plusieurs paramètres : en effet, on doit s assurer que les coefficients partiels recalibrés, calculés indépendamment, sont utilisables conjointement, tout en assurant le même niveau de fiabilité. Pour ce faire, on calcule pour chaque combinaison de coefficients partiels, l indice de fiabilité acceptable correspondant. Si on veut vérifier la pertinence de la combinaison d une mesure sur la résistance R de μ R1 et CdV R1 et d une mesure sur la sollicitation S de μ S1 et CdV S1, on calcule l indice de fiabilité cible correspondant à ces paramètres : où R et S suivent les lois du Tableau (, ) = Φ ( (, ) (, ) < 0) β ˆ 0 γ ˆ R γ ˆ S P R ν ˆ ˆ R1γR γs Sk CdVR1 S νs1sk CdV S1 Variable Valeur nominale Résistance R = ˆ ˆ 0 R S k Loi de probabilité Biais Écart-type Coefficient de variation R γ γ S Loi R νr1 σr1 CdVR1 Sollicitation S Sk Loi S νs1 σs1 CdVS Tableau 12 : Variables aléatoires et lois de probabilité associées pour le calcul de ( ˆ 0 R, ˆS ) β γ γ. L utilisation de grilles de coefficients partiels indépendantes est alors validée si les indices de fiabilité obtenus sont égaux, ou à défaut très proches, de l indice de fiabilité cible β 0. Coefficient β0 Biais νs1 νs νs2 S Biais CdV CdVS1 CdVS CdVS2 CdVS1 CdVS CdVS2 CdVS1 CdVS CdVS2 CdVR1 νr1 CdVR CdVR2 R νr CdVR1 CdVR β0 CdVR2 CdVR1 νr2 CdVR CdVR2 Tableau 13 : Grille de l indice de fiabilité cible après combinaison des coefficients partiels recalibrés sur les paramètres R et S (valeur initiale de β 0 en jaune) Application à l évaluation des ouvrages existants Les grilles de coefficients partiels sont destinées à être utilisées lors de l évaluation des ouvrages d art par une méthode semi-probabiliste (calculs de niveau 4). Collection «Les rapports» Sétra 28 février 2012

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