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1 III. Identification fréquentielle. Les schémas suivants représentent la réponse dans Bode d une fonction de transfert. Retrouver la forme numérique de cette fonction de transfert. Bode : Performances des systèmes bouclés Page 32 Performances des systèmes bouclés Page 33

2 II. Etude des pôles et du lieu d Evans : asservissement en position d un chariot. Le système étudié ici est un asservissement en position d un chariot de support de caméra sur un stade : Le système est modélisé sous la forme suivante : Yc(p) + - ε(p) K U(p) H(p) Y(p) Avec : H ( p) p( + p)² Y représente la transformée de Laplace de la consigne de position et Y ( p) la transformée de La place de la position. Performances des systèmes bouclés Page 34 Performances des systèmes bouclés Page 35 C ( p) On appelle lieu d Evans, la trajectoire dans le plan complexe des pôles du système en boucle fermée, lorsque le paramètre de réglage, ici K, varie de 0 à l infini. I. Etude du système non corrigé. On se place pour K.. Déterminer l écart statique pour les entrées suivantes: Echelon d amplitude Y 0. Rampe de pente V Retrouver le tracé asymptotique de la représentation de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte. 3. Déterminer graphiquement les marges de gain et de phase. 4. Retrouver ces résultats analytiquement. II. Etude du système corrigé par un gain proportionnel K.. Calculer les pôles du système pour 2 valeurs particulières de K : 0 et Montrer que les pôles du système notés p i doivent pour le cas étudié satisfaire l équation : Arg(p i ) + 2.Arg(+p i ) 80 (+ k.360 ) lorsque K > En déduire un procédé de construction géométrique du lieu des pôles. 4. Dessiner dans le plan complexe relatif à p, les six pôles relatifs à K 0 et à K 2. Vérifier pour chacun la relation déterminée à la question 2. En vous aidant de la construction géométrique, tracer le lieu des pôles (lieu d Evans). 5. Indiquer les plages de valeur de K pour lesquelles le système est stable. 6. Retrouver ce résultat par le critère de Routh. 7. A l aide du logiciel Did acsyde, tracer le lieu d Evans ainsi que le réponse temporelle pour les valeurs suivantes de K : ;,9 ; 2 et 2,. 8. A l aide du critère du revers et en utilisant le tracé de Bode pour K, retrouver la valeur de K notée K pour être à la limite de la stabilité théorique. 9. Déterminer graphiquement K 2 pour avoir une marge de gain de 3 db. 0. Déterminer graphiquement K 3 pour avoir une marge de phase 45.

3 . Déterminer graphiquement K 4 pour avoir un maxi de la FTBF de 2,3 db. 2. Conclusion. III. Etude du positionnement de l objectif d un projecteur autofocus Moto-réducteur Réducteur R L Moteur u (t) : Foyer lumineux 2: Condenseur 3: Foyer auxiliaire 4: Diapositive 5: Objectif 6: Cellules photoélectriques 7: Vis 8: Moto-réducteur 9: Ecran Principe: Une première diapositive (4) est positionnée par le système de chargement automatique. On règle manuellement l objectif (5) pour obtenir la netteté de l image sur l écran (9). Le but de l autofocus est de maintenir automatiquement la netteté de l image au cours des différentes vues malgré un positionnement plus ou moins exact des diapositives. La lampe auxiliaire (3) éclaire la diapositive sous l angle α. La surface de la diapositive joue le rôle de miroir et renvoie une tâche lumineuse circulaire (en hachuré sur la vue de dessus de la cellule). Si cette tâche est centrée, les deux demi-cellules photoélectriques délivrent la même tension et la tension différentielle V est nulle. Si la diapositive vient à s écarter de la position initiale (déplacement de x), la tâche lumineuse se déplace de y et une moitié de cellule reçoit plus de lumière que l autre: une tension différentielle est alors créée. Cette tension est utilisée pour la commande du moto-réducteur (8). Celui-ci, par l intermédiaire de la vis sans fin (7) déplace l objectif pour maintenir la netteté. En fait c est la distance diapositive / objectif qui est maintenue constante, la cellule étant solidaire de l objectif. La lampe auxiliaire délivre un faisceau lumineux de 2 mm de diamètre. Les demi-cellules délivrent une tension proportionnelle à la surface éclairée et elles sont montées en opposition. Performances des systèmes bouclés Page 36 Performances des systèmes bouclés Page 37

4 . Etude du capteur de position.. Donner l expression du déplacement y de la tâche lumineuse en fonction du déplacement x de la diapositive et de l angle α: y f(x,α) Calculer la valeur à donner à l angle α pour obtenir y,5 x..2 Quand la tâche lumineuse est entièrement sur une demi-cellule, la tension différentielle est alors de 3V. Calculer l expression de cette tension différentielle en fonction du déplacement y de la tâche lumineuse. V f (y).3 Tracer V f (y) pour -,5 < y <,5 (V en volts et y en mm)..4 Calculer le domaine de linéarité à 5 % de V f (y) (domaine où l erreur relative entre f (y) et la tangente à l origine de f (y) est inférieure ou égale à 5 %)..5 Montrer alors que la fonction de transfert du capteur peut se mettre sous la forme d un gain pur K. Calculer K. x en mètres K V en volts 2. Etude du moteur 2. En partant des équations mécaniques et électriques du moteur à courant continu à flux constant, compléter le schéma-bloc classique en déterminant les fonctions F(p) et G(p). U + F(p) I Kt Cm G(p) Ω - E Ω m (p) 2.2 En déduire la fonction de transfert du moteur: H(p) U(p) 2.3 Montrer que l on peut mettre H (p) sous la forme: C H(p) ( + τ ep)( + τ emp) avec τe < τem. Calculer numériquement C, τ e et τ em. 2.4 Montrer que l inertie du groupe de lentilles de l objectif (5) rapportée à l axe moteur est négligeable devant le propre moment d inertie du rotor du moteur. 2.5 En déduire la fonction de transfert numérique H 2 (p) du système ayant pour entrée la tension du moteur et pour sortie le déplacement d de l objectif (H 2 (p) en m / V): d(p) H 2 (p) U(p) Ke Pert. + - A(p) H3(p) d,2 H 3 (p) p( + 0,05p) 3.3 Déterminer l écart statique du système complet (avec A constante). 3.4 Le bloc A est un gain pur unitaire de gain A et on utilise le modèle simplifié 3.4. Tracer le diagramme de Bode en boucle ouverte de ce système Déterminer la marge de gain et la marge de phase avec A En déduire la valeur de A 2 à donner au gain A pour que le système présente une marge de phase de 45. Peut-on faire un réglage avec une marge de gain mini? Confirmer ces résultats par calcul. 3.5 On règle le gain A à la valeur A Donner l expression de la fonction de transfert en boucle fermée: d(p) H 4BF pert p ( ) Mettre cette fonction de transfert sous forme canonique et en déduire le coefficient d amortissement ξ et la fréquence propre non amortie: H 4BF 2 2ξ p + p + 2 ω0 ω On règle l objectif, pour obtenir une image nette sur l écran, à l aide de la première diapositive. La deuxième diapositive se positionne avec un écart de 0, mm Sur quelle distance va se déplacer l objectif? En utilisant les abaques donnés en annexe 3, tracer l évolution du déplacement de l objectif en fonction du temps En déduire le dépassement et le temps de réponse à 5%. 4. Etude du courant. 4. En utilisant l expression de la fonction de transfert du moteur non simplifié, donner l expression de la fonction de transfert: Im(p) H (p) (courant moteur / tension moteur) 5 U( p) 4.2 On néglige la constante de temps électrique τ e devant la constante de temps électromécanique τ em et le frottement visqueux. Exprimer la nouvelle fonction de transfert: Im(p) H 6 (p) U( p) 4.3 En prenant la fonction de transfert H 6 (p), calculer la fonction de transfert numérique H 7 (p) (on garde le gain A 3 ): Im(p) H 7 (p) Pert ( p ) 4.4 En déduire le courant de démarrage (pert 0, mm). Confirmer le résultat par l analyse physique. 3. Régulation de position 3. Pour réaliser la régulation de position de l objectif, on réalise le montage suivant: Consigne position: 0 Pert x U A(p) d Compléter le schéma ci-dessus. Le bloc A (p) est un amplificateur correcteur de tension, pert représente la perturbation (mauvais positionnement de la diapositive). 3.2 Peut-on négliger le pôle électrique du moteur et prendre le modèle simplifie ci-dessous pour étudier le comportement dynamique du système? Performances des systèmes bouclés Page 38 Performances des systèmes bouclés Page 39

5 Annexe : Annexe 3: Le moto-réducteur est constitué d un moteur RTC type MK et d un réducteur à engrenages RTC type MRA 72. Moteur RTC type MK : Tension nominale U 0 5,5 V Vitesse à vide Ω tr / min Couple nominal C Nm Courant nominal I 0 60 ma Résistance d induit R 6 Ω Inductance d induit L 6 mh Moment d inertie du rotor J 9 g.cm² Constante de frottement visqueux K d Nm/rd.s - Constante de couple K t 0,066 en Nm/A Constante de force contre-électromotrice K e 0,066 en V/rd.s - Equations du moteur à courant continu : dω ( t ) cm ( t) J + Kdω ( t ), dt c ( t ) K i( t), e m ( t ) e ( t) t K ω di ( t ) u( t) e( t ) Ri( t) + L dt Réducteur RTC type MRA 72: Charge maximale admissible 0,03 Nm Force axiale maximale 2 N Force radiale maximale 4,5 N Rapport de réduction N / 25,85 Vis: Nombre de filet F Pas P m Facteur d amortissement : ξ Valeurs des dépassements successifs de la réponse à un échelon d'un système de second ordre en fonction de l'amortissement Objectif: Annexe 2: Lentilles collées 2 Distance focale 20 mm Poids de l ensemble M 200 g t. ω 5% 0 Tracé rapide d un premier ordre: H ( p) + τ p avec ω r ω. τ pulsation relative. ω r /6 /8 /4 / H db ϕ , , ,5-88 Valeurs du tempes de réponse réduit à 5% t 5% de la réponse à un échelon d'un système de second ordre en fonction de l'amortissement Performances des systèmes bouclés Page 40 Performances des systèmes bouclés Page 4

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