Chapitre 5 Transformée de Laplace

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1 MVA Anlys clcul mricil Cours n 7 Jcqus Vélu CNAM Cpir 5 Trnsformé d Lplc Inégrls générlisés i Soin f, défini sur un inrvll du yp ]m, + [. Si lim convrg, on écri : f d lim f d A + Il s pu qu l inégrl convrg grâc u sign d f : A + f d xis, on di qu l inégrl + - /2 + /3 - /4 + /5 + + /2 + /3 + /4 + /5 ii On di qu l inégrl s bsolumn convrgn si f d convrg. Téorèm : Si l inégrl s bsolumn convrgn, ll s convrgn. Rmrqu : L fi qu l inégrl soi convrgn, ou bsolumn convrgn, n impliqu ps qu lim + f. R R R 2 R 3 Dimnsions d R n : Air d R n : 4 n, 2n 4 n 2n 2 n 2 3 iii Dns l cs où f qund, l inégrl f d s un foncion croissn d A. A Téorèm : L inégrl f d M qul qu soi A, lors f d convrg si sulmn si il xis un nombr M l qu f d M. Téorèm d comprison : Soin f g son dux foncions lls qu f g qund. Si Si f d + lors gd convrg, lors gd +. f d convrg : f d gd.

2 MVA Anlys clcul mricil Cours n 7 Jcqus Vélu CNAM 2 Trnsformion d Lplc i Si f s un foncion à vlurs rélls, ou complxs, d un vribl réll, s rnsformé d Lplc s l foncion φ donné pr l inégrl d Lplc p s un vribl complx : φp f p d On écri φ L f, ou f φ, ou φ f. On di qu f s l originl d φ qu φ s l img d f. L rnsformion d Lplc consis à pssr d f à φ. ii On rmrqu qu f p d n prnd n comp qu ls vlurs d f pour >. L rnsformé d Lplc s donc concrné pr ls pénomèns rnsioirs : vn un crin d, il n y rin, près, il y qulqu cos... En prnn c insn comm origin du mps, on pu supposr qu f s un foncion défini d à + ll qu f qund <. On di lors qu f s un foncion cusl. Exmpl : L foncion d Hvisid foncion éclon-unié. H qund < qund > Si F s défini sur R, l foncion f FH s cusl f F qund >. iii On s pos immédimn ls qusions suivns : Q : Qulls foncions on un rnsformé d Lplc? Q2 : À quoi rconnîr un rnsformé d Lplc? Q3 : Commn rrouvr f à prir d φ? Unicié? Q4 : Commn s corrspondn ls propriéés d f d φ? On n répondr ps d fçon générl à Q, Q2, Q3... Pour Q Q3, on décrir un nsmbl d foncion f don on connî ls rnsformés φ pour lsqulls on si fir l pssg d φ à f, pour Q2, on donnr ds propriéés sisfis pr ls rnsformés d Lplc ; pr conr, on sr plus long pour Q4. Convnion : Dns ou c qui sui, f s un foncion d clss C pr morcux sur R nombr fini d disconinuié sur ou inrvll d longuur fini limi à guc à droi ux disconinuiés. iv On di qu f s à croissnc xponnill qund il xis ds nombrs réls C, M, ls qu : f C M qul qu soi x L procin éorèm monr qu ls foncions d clss C pr morcux, à croissnc xponnill, on un rnsformé d Lplc. Téorèm : Si f vérifi ls condiions ci-dssus, l inégrl d Lplc s bsolumn convrgn qund Rp > M. En priculir, si lim f xis, l inégrl φp xis pour ou p >. Démonsrion : On doi monrr qu + f p d un limi qund A nd vrs +. 2

3 MVA Anlys clcul mricil Cours n 7 Jcqus Vélu CNAM f p d f p d + f p d p u + i v p u i v u i v u Alors : f p d f u d M ua M u C C [ C M u M u d C C M ua M u < lim A + M ua l éorèm d comprison monr lors qu convrg qund u > M. v Soi f un foncion coninu pr morcux sur [, + [. ] A f u d Téorèm : Si l inégrl d Lplc convrg qund p p, lors ll convrg qul qu soi p vc Rp >Rp. Conséqunc : 3 possibiliés : Il xis un nombr rél θ l qu l inégrl d Lplc convrg qund Rp > θ divrg qund Rp < θ. L nombr θ s ppll l bsciss d convrgnc d f. L inégrl d Lplc convrg qul qu soi p. L bsciss d convrgnc θ. L inégrl d Lplc divrg qul qu soi p. L bsciss d convrgnc θ +. L nsmbl ds p ls qu Rp > θ s ppll l dmi-pln d convrgnc. vi Ls rnsformés d Lplc possèdn dux propriéés rmrqubls. Téorèm d l vlur iniil lim f lim p φp lim φp + p + p + Téorèm d l vlur finl : Si lim f xis : lim + f lim p φp + p + vii Si l on connî φp pour p prcourn un droi vricl du dmi-pln complx, on pu «prsqu» rrouvr f n clculn l inégrl suivn qui donn l vlur d f là où f s coninu : φp p dp f + + f 2π i 2 Conséqunc : Dux foncions d clss C pr morcux qui on l mêm rnsformé d Lplc n puvn différr qu sur lurs disconinuiés ; si lls son coninus, lls son égls. 3 Ls xmpls fondmnux Exmpl : Clcul d L s vc s rél posiif qulconqu. s p d u p s u u du p p p s+ u s u du } {{ } c s c s p s+ 3

4 MVA Anlys clcul mricil Cours n 7 Jcqus Vélu CNAM c u du [ u] c s u s u du [ u s u] Donc c c s s c s. En priculir c n n! qund n N. Eulr u l idé d posr s! d uilisr s! s! s Finlmn s s! p s+ H p. s u s u du s c s u s u du pour s qulconqu, rél ou complx, vc Rs pour obnir l fcorill ds urs vlurs. Eulr ussi compris qu l «bonn» foncion n s ps s! mis pluô : Γs u s u du. Exmpl 2 : p vc complx qulconqu : p d p d p Exmpl 3 : cos ω p 2 + ω 2 cos ω p d Exmpl 4 : sin ω p d sin ω +i ω + i ω p d 2 2 ω p 2 + ω 2 +i ω i ω p d 2 i 2 i +i ω p d+ 2 +i ω p d 2 4 Opérions sur ls rnsformés d Lplc i Linérié L f + + p f p L f + + p L f p L LH + 3L 5L 2 2 p + 3 p 2 ii E pour un infinié d foncions? Non n générl, mis oui dns crins cs! Téorèm : S il xis un vlur d p pour lqull l séri p 3 i ω p d 2 p i ω + p + i ω? L n f n L n f n ou L n n? n n n un ryon d convrgnc infini : n n n n n n n i ω p d 2 i p i ω p + i ω n n n n! p n+ n n! convrg, lors l séri nièr pn+ n n! p n+. 4

5 MVA Anlys clcul mricil Cours n 7 Jcqus Vélu CNAM Exmpl : n L séri n n! n n! n +! n +! n n! n + p n+ n n x n+ n + convrg qund x <, s somm s ln x. Donc qund p > s somm s ln s somm s f, on p. Il n résul qu ln p n n + n n+ p n n! p n+ convrg n convrg,, puisqu n +! iii Si l on cng l viss d déroulmn d l événmn rprésné pr f, commn cng l rnsformé d Lplc? f g v f v f φp f v v φ p v φ v p f v p d u/p f u p u v du v iv Si l on rrd l rrivé d l événmn rprésné pr f, commn cng L f? R f f R f R L f R p R L f L formul s écri ussi : f R p d f R R φp u+r R f u p u+r du + p R L f iv Muliplicion pr un xponnill : f φp f p d f p d v Téorèm : Si f s à croissnc xponnill, s rnsformé d Lplc s dérivbl : f φ p φp f p d φp + φp Après quoi on monr qu l limi d l inégrl : lim d l limi f lim p d f p. 5 f p+ p d f p d f p s égl à l inégrl

6 MVA Anlys clcul mricil Cours n 7 Jcqus Vélu CNAM Pr récurrnc, on obin qu φ s infinimn dérivbl qu : n f n φ n p. Applicion : : Clcul d φp f φ p φ p sin p d p 2 + sin p d sin p d φp C rcn p lim p + φp C π 2 φp rcn p sin p d π 2 rcn p rcn p sin d π 2 vi Téorèm : Soi f un foncion dérivbl, vc f f à croissnc xponnill : L f p L f f + pr récurrnc, on l formul suivn vlbl qund f s dérivbl un d fois qu il fu! L f n p n L f p n f + p n 2 f + p f n 2 + f n + f p d [ f p ] A + p f p d lim A + f p d f A p A f + p f p d f + p f p d 6