3 Intégrales généralisées

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1 3 négrles générlisées Pln de cours «Douer de ou ou ou croire, ce son deu soluions églemen commodes, qui l une e l ure nous dispensen de réfléchir.» Henri Poincré (92) négrles impropres A Générliés B Propriéés C négrle impropre d une foncion posiive D Convergence bsolue E Divergence grossière Clcul inégrl A négrion pr pries B Chngemen de vrible Foncions inégrbles A Définiion e propriéés B Comprison e dominion Quelques élémens hisoriques L mesure de l longueur d une courbe e de l ire d une surfce es un problème esseniel e récurren chez les Grecs. Mesurer, c es vn ou comprer des longueurs en clculn leurs rppors. Des méhodes d ehusion son mises en plce à cee époque e permeen de répondre vec succès à cerins problèmes de recherche d ires à l ide d encdremens successifs. Ces rvu son repris e développés plus rd pr les Arbes puis pr d ures mhémiciens comme Ferm ou Lplce. On peu dire qu à ce sde, l inégrion, ou pluô les echniques de qudrure e de recificion, son vn oue chose une ffire de géomères! Newon e Leibniz meen en plce, u cours du XV e siècle, les fondemens du clcul différeniel e inégrl à rvers l éude des vriions infiniésimles de quniés mhémiques. ls son les premiers à fire le lien enre dérivion e inégrion. C es d illeurs chez Leibniz que l on voi pprîre pour l première fois l noion = d. Ces héories ne son pourn que des colosses u pieds d rgile : elles reposen sur des noions ml définies e encore ml comprises comme les nombres ou les foncions. Cel ne nui en rien à l epnsion du clcul infiniésiml u cours des XV e e XV e siècles. Les mhémiciens échouen dns un premier emps à définir l vérible nure des infinimen peis qu ils mnipulen mis ils cherchen cependn pei à pei à s erire de l géomérie comme bse de ce nouveu clcul. Cuchy s inerroge dns son «Résumé des leçons données à l École Polyechnique» (823) sur l eisence d une inégrle vn de s inéresser à ses diverses propriéés. l y défini s propre inégrle dns une version relivemen proche de celle éudiée l n dernier. C es églemen lui qui propose une première démonsrion rigoureuse du héorème fondmenl du clcul inégrl. Que de chemin prcouru! Riemnn développe s propre héorie de l inégrion qu il présene en 854 pour s hèse d hbiliion à l Universié de Göingen. Elle présene l vnge de s éendre à oue foncion coninue, coninue pr morceu e plus générlemen à oue foncion die réglée. Échppe cependn à cee héorie oue une berie de foncions (l indicrice de Q pr eemple) e l démonsrion de cerins résuls de convergence s vère rès echnique. Les noions de mesure e de ribus voien peu à peu le jour. Les idées novrices de Lebesgue, présenées u cours de s hèse en 92, conduisen à l nissnce d une nouvelle héorie de l inégrion qui pore désormis son nom. Mis l hisoire ne s rrêe ps là... De nouvelles inégrles fon our à our Bernhrd Riemnn leur ppriion. L recherche es encore cive en ce domine!

2 CHAPTRE 3. NTÉGRALES GÉNÉRALSÉES Le bu de ce chpire es d éendre l noion d inégrle sur un inervlle qui n es ps nécessiremen un segmen. Théorème 3. : Rppels Toue foncion coninue sur un inervlle dme une primiive. En priculier, si f es coninue sur un inervlle, Si f es coninue sur le segmen [;b] lors De plus, f () d es l unique primiive de f sur qui s nnule en. ( ) f () d eise. f () d = F (b) F () où F es une primiive de f sur [;b]. Si f es une foncion coninue sur un segmen [;b] lors, b n n k= f ( + k b ) f () d n n + négrles impropres Comme le leceur pu le conser l n dernier, l noion d inégrle es inimemen liée à l noion d ire. Ayn oujours pour objecif de «mesurer» l ire d un domine délimié pr l e des bscisses e une courbe donnée, nous pouvons nous inerroger sur l possibilié d éendre nos résuls u cs d un inervlle non borné. Bien que le domine ne soi ps borné, l ire de ce domine n es ps nécessiremen infinie, comme le prouve l un des deu eemples suivns! Eemples y y = 3 /2 y = Quel que soi, d d 3/2 = = ln [ /2 /2 + + ] = De même, il es possible de donner un sens à l inégrle d une foncion non bornée sur un inervlle borné. Eemple y y = ln() Quel que soi ], ], ln() d = [ ln() ] = ln() + On peu insi donner un sens «géomérique» à ln() d lors que ln(). + 2

3 Mickël PROST Lycée Chpl PT* A Générliés Définiion sur un inervlle du ype [,b[ ou ],b] Définiion 3.2 : négrle impropre Soi f une foncion coninue sur [,b[ vec b R ou b = +. Si noe f dme une limie finie lorsque end vers b, on di que l inégrle impropre converge e on f cee limie. Sinon, on di qu elle diverge. l y deu ypes d inégrles impropres : l inégrle de foncions non bornées sur un inervlle borné ( ln sur ],]); l inégrle de foncions coninues sur un inervlle non borné ( e sur [,+ [). On peu éendre l définiion précédene u cs ],b] vec R ou =. Lorsqu on connî une primiive de f sur, il suffi de psser à l limie pour svoir si l inégrle converge ou diverge, mis cel es pluô rre. On noer l nlogie vec l éude de l nure des séries k, z k. Proposiion 3.3 : négrle fussemen impropre Si une foncion f : [,b[ R vec b R es coninue sur [,b[ e prolongeble pr coninuié en b, lors l inégrle f converge e vu f où l on noé f le prolongemen de f. On pourr lors qulifier une elle inégrle de «fussemen» impropre. Eercice Monrer que l inégrle sin d converge. 2 négrles de référence Les qure eemples suivns son à connîre pr cœur, les inégrles en quesion son qulifiées d «d inégrles de référence». + ➊ d vec R es coninue sur [,+ [. Si, d = [ + ] d = = ( ) + si > + + si < ➋ Si =, d = ln + e donc : + d vec R Le même clcul condui à l propriéé suivne : d converge si e seulemen si > d converge si e seulemen si < 3

4 CHAPTRE 3. NTÉGRALES GÉNÉRALSÉES ➌ ➍ ln d L foncion ln es coninue sur ],] donc il y un problème en. [ ] Comme ln d = ln = ln, l inégrle impropre + e d vec > L foncion e es coninue sur [,+ [ e : Donc pour >, l inégrle impropre e d = ( e ) + e d converge. ln d converge. 3 Définiion sur un inervlle du ype ],b[ Définiion 3.4 : négrle impropre Soi f une pplicion coninue sur l inervlle ],b[. On di que l inégrle impropre e seulemen si c f e c f convergen quel que soi c ],b[. f converge si c y On éudie lors lim f e lim f pour c ],b[. + y b c Aenion u pssge à l limie! Pour prouver que f converge, il ne suffi ps de clculer lim + f. Eemple y y = 3 On, pr imprié de 3, R Alors que 3 d = e 3 d = d + Eemple L inégrle d ne converge pour ucune vleur de R. Pr souci de simplicié, nous rvillerons pr l suie uniquemen sur des inervlles de l forme [,b[. B Propriéés Proposiion 3.5 : Linérié de l inégrle Soi f, g : [,b[ R e λ R. Si f e g convergen lors (λf + g ) converge e on : (λf + g ) = λ f + g 4

5 Mickël PROST Lycée Chpl PT* Démonsrion l suffi d inégrer sur le segmen [, ] vec [,b[ vn de psser à l limie : (λf + g ) = λ f + λ b g f + (linérié d une inégrle sur un segmen) g R Donc l inégrle (λf + g ) converge e (λf + g ) = λ f + g. l fu d bord s ssurer que l inégrle formule précédene. Eemple Quelle es l nure de 6 d ? Une décomposiion en élémens simples nous fourni : f () d converge sinon l écriure f n ps de sens dns l R \ {3,5} = En inégrn, on obien lors : L inégrle converge e 6 Aenion u résul suivn : si si E. : f converge e si f diverge e si d e d. 6 d = 2 ln3 + 2 ln d = 2 g diverge lors ( 5 3 ln3. Pourn, 6 (f + g ) diverge ; g diverge lors on ne peu rien dire. ) + 2 ln3 d + 5 e 6 d 3 divergen! On éend sns difficulés les définiions précédenes u cs d une foncion à vleurs complees e on monre lors le résul suivn. Proposiion 3.6 Soi f : C. Re(f ) e m(f ) convergen si e seulemen si f converge e lors : f = Re(f ) + i m(f ) Proposiion 3.7 : Relion de Chsles Soi f :],b[ R elle que ],b[ f converge. Alors, pour ou c ],b[, c f = f + f c 5

6 CHAPTRE 3. NTÉGRALES GÉNÉRALSÉES Dns le cs d une foncion posiive, pour < b, f () d lorsque l inégrle converge. Proposiion 3.8 Soi f une foncion posiive e coninue sur [,b[. On suppose que f converge. f = f es ideniquemen nulle sur [,b[ [,b[ f () = Aenion, ces deu hypohèses son nécessires! L inégrle d une foncion coninue peu êre nulle sns que l foncion soi nulle. De même, l inégrle d une foncion posiive présenn des disconinuiés peu êre nulle sns que l foncion soi ideniquemen nulle. C négrle impropre d une foncion posiive On ne peu ps oujours clculer f () d epliciemen mis lorsque f es posiive, cerines règles permeen d éudier l nure de l inégrle. Si f es négive, on rviller vec f. L éude de Proposiion 3.9 f es semblble à celle des séries du ype u n vec u n. Soi f : [, b[ R coninue e posiive. f () d converge si e seulemen s il eise M > el que : [, b[ f () d M. Démonsrion On pose F : f () d. [,b[ F () = f () donc F es croissne. D près le héorème de l limie monoone, F dme une limie en b qui ser finie si e seulemen si F es mjorée. Règle de comprison Théorème 3. : Comprison Soien f, g : R deu foncions coninues sur elles que f g. g converge = f converge e lors f () d g () d. Démonsrion Supposons que f g e que Pr comprison : [,b[ g () d converge. f () d f () d es donc mjorée donc converge. Pr pssge à l limie, f () d g () d. g () d }{{} g posiive g () d = M. 6

7 Mickël PROST Lycée Chpl PT* Corollire 3. Soien f, g : R deu foncions coninues sur elles que f g. Alors, f diverge = g diverge. Eercice 2 Quelle es l nure de sin 2 () + 2 d? Remrquons que cee echnique n es ps vlble pour Eercice 3 Quelle es l nure de 2 Règle des équivlens Théorème 3.2 : Équivlens d? sin() + 2 d. Soien f, g : [,b[ R deu foncions coninues sur, de signe consn u voisinge de b, elles que f () b g (). Alors, f e g son de même nure. Démonsrion Suppons f posiive u voisinge de b. l eise lors [,b[ el que : [,b[ 2 g () f () 3 2 g () puis on conclu pr comprison. On dpe l preuve dns le cs négif. Eercice 4 Quelle es l nure de sin sin sin( 2 ) d? de d? de d? On prendr soin de vérifier que l inégrnde es de signe consn u voisinge du poin considéré. 3 Comprison séries/inégrles Théorème 3.3 : Comprison séries/inégrles Soi f une pplicion coninue, posiive e décroissne sur [,+ [. Alors l série f (n) e l inégrle f () d son de même nure. Une pplicion direce de ce héorème nous donne de nouvelles séries de référence. Théorème 3.4 : Séries de Riemnn Soi R. converge si e seulemen si >. n 7

8 CHAPTRE 3. NTÉGRALES GÉNÉRALSÉES Démonsrion Remrquons que pour, l série diverge grossièremen. n Supposons minenn >. Comme es décroissne, coninue e posiive sur [,+ [, l inégrle d e l série son de même nure. L série converge donc ssi >. n Eercice 5 Déerminer un équivlen de D Convergence bsolue n u voisinge de +. k k= Définiion 3.5 : Convergence bsolue Soi f : [,b[ R coninue sur [,b[. On di que f es bsolumen convergene lorsque f converge. Théorème 3.6 Une inégrle bsolumen convergene es convergene. Démonsrion Soi f : [,b[ R. On noe f + = m(f,) e f = m(f,). f + e f vérifien f + f e f f donc Comme f = f + f, f converge. f + e f convergen. Soi f : [,b[ C. On fi de même vec Re(f ), m(f ) puis Re(f ), m(f ). Définiion 3.7 : Semi-convergence Soi f : [,b[ R coninue sur [,b[. Si f converge e f diverge, on di que f es semi-convergene. Eemple sin Monrer que d es semi-convergene. sin es coninue sur [,+ [. Problème en +. [ sin = cos ] cos 2 e cee dernière inégrle converge bsolumen donc sin converge. Ainsi, d converge. nπ n (k+)π sin On pose n = f. Remrquons que n = d. Donc, n = n k= π sinu n u + kπ du k= k= π kπ sinu (k + )π du = 2 π n k k= n + + 8

9 Mickël PROST Lycée Chpl PT* D où l divergence de (vrine) >, E Divergence grossière sin sin d. sin2 = cos(2) 2 d + e 2 diverge, cos(2) d converge. 2 D près le chpire sur les séries numériques, si u n converge, lors u n De même, --on n +. f () d converge = f ()? L réponse es NON! + Théorème 3.8 : Divergence grossière à l infini Soi f : [,+ [ R coninue. Si f dme une limie non nulle en + lors f () d diverge. Démonsrion Au voisinge de +, l foncion es de signe consn e on peu ppliquer l règle des équivlens. Conriremen u séries, on ne peu rien dire lorsque l limie n eise ps. En effe, l inégrle peu converger sns que f dmee une limie en +. Eemple Considérer une foncion «ringulire pr morceu» don les ringles son d ires /n 2, de hueur, cenrés sur le milieu du segmen [n,n + ]. n+ 2 n f () d = k 2 π 2 n + 6 k=2 Clcul inégrl A négrion pr pries Supposons que f, g : [,b[ R son de clsse C sur [,b[. Pr inégrion pr pries, on obien : [,b[ [ ] f ()g () d = f ()g () f ()g () d Ainsi, si lim f ()g () eise e es finie, lors f g e f g son de même nure. b Pr précuion, on commencer pr inégrer enre e pour effecuer l inégrion pr pries sur un segmen puis on psser à l limie. Eercice 6 Monrer que l inégrle B Chngemen de vrible 2 e d converger e déerminer s vleur. Rppelons le héorème de chngemen de vrible sur un segmen vu l n dernier. 9

10 CHAPTRE 3. NTÉGRALES GÉNÉRALSÉES Théorème 3.9 : Chngemen de vrible sur un segmen Si f : R es coninue e ϕ : [,β] es de clsse C, lors : ϕ(β) ϕ() β f () d = f (ϕ(u))ϕ (u) du Les choses son quelque peu différenes lorsque l on se plce sur un inervlle quelconque. L bijecivié de l pplicion ϕ es requise! Théorème 3.2 : Chngemen de vrible sur un inervlle quelconque Soien f une foncion coninue sur ],b[ e ϕ :],β[ ],b[ une bijecion sricemen croissne de clsse C, lors les inégrles elles son égles. f () d e β f (ϕ(u))ϕ (u) du son de même nure e en cs de convergence, Démonsrion Sous de elles hypohèses, l pplicion ϕ rélise donc une bijecion de ], β[ dns ], b[. S bijecion réciproque ϕ es églemen coninue e sricemen croissne sur ],b[. Supposons l convergence de l inégrle f () d. Soi ],β[ fié. Posons lors c = ϕ(). Pour ou y [,β[, pr chngemen de vrible sur le segmen [, y], y ϕ(y) f (ϕ(u))ϕ (u) du = f () d =ϕ(u) c Comme ϕ es une bijecion croissne, ϕ(y) y β b donc : β L inégrle De même, l inégrle y f (ϕ(u))ϕ (u) du f () d y β c f (ϕ(u))ϕ (u) du converge e vu donc Au finl, on bien monré que f (ϕ(u))ϕ (u) du converge e vu β f (ϕ(u))ϕ (u) du e vu c f () d. c b f () d. f () d. On monre de même, en uilisn cee fois-ci les propriéés de ϕ, que l convergence de l inégrle f (ϕ(u))ϕ (u) du implique celle de f () d. Dns le cs d une bijecion ϕ décroissne, l formule s écri : β f () d = f (ϕ(u))ϕ (u) du Comme le leceur l ur sns doue compris, peu impore l monoonie de ϕ du momen qu on prend grde à bien ordonner les bornes des inégrles lors des clculs. Eercice 7 Monrer que l inégrle d ( ) converge e clculer s vleur.

11 Mickël PROST Lycée Chpl PT* Foncions inégrbles A Définiion e propriéés Définiion 3.2 : Foncion inégrble Soi f : K une foncion coninue sur un inervlle à vleurs dns K. On di que f es inégrble sur si f () d es bsolumen convergene. Éudier l inégrbilié de f sur revien donc à éudier une inégrle clssique sur lun segmen ou bien à éudier l convergence bsolue d une inégrle impropre. Si f es inégrble sur lors f () d converge. Théorème 3.22 Si f : K es coninue e inégrble, lors : f f Démonsrion L inéglié bien un sens d près le commenire précéden! Supposons minenn que = [,b[ e que f es à vleurs dns R. Rppelons que monrer que y revien à monrer que y y. Tou d bord, pour ou [,b[, f () f () f () e donc, pr croissnce de l inégrle, [,b[ f () d f () d f () d On fi lors endre vers b pour pouvoir conclure : f () d f () d f () d On dme le résul dns le cs où f es à vleurs dns C. Proposiion 3.23 L ensemble des foncions coninues e inégrbles sur es un espce vecoriel. Démonsrion Monrons pour cel que c es un sous-espce vecoriel de C (,K). L foncion nulle es bien inégrble sur. Soien f, g : K deu foncions coninues e inégrbles sur e λ K. λf () + g () λ f () + g () Comme f e g convergen bsolumen, il en v de même pour λf + g pr comprison.

12 CHAPTRE 3. NTÉGRALES GÉNÉRALSÉES B Comprison e dominion Lemme 3.24 : Dominion Soi f : K e ϕ : R + deu foncions coninues elles que : f () ϕ() Si ϕ es inégrble sur, lors f es inégrble sur. Démonsrion l s gi juse de comprer deu foncions posiives. On obien lors l convergence de f (). Théorème 3.25 : Règle du pei o e du grnd O Soi f, g : [,b[ R. On suppose l foncion g coninue e inégrble sur [,b[. si f = o(g ) lors f es inégrble sur [,b[ ; b si f = O(g ) lors f es inégrble sur [,b[. b Démonsrion f () Supposons ou d bord que f () = o(g ()) vec g inégrble sur [,b[. Alors b g () Ainsi, il eise c [,b[ el que : [c,b[ f () g () E donc, pour > c, f () g (). l n y plus qu à conclure pr comprison. Le risonnemen es idenique dns le cs où f = O(g ). b b. Le héorème précéden s dpe fcilemen u cs d un inervlle de l forme ],b]. Corollire 3.26 Soi f : [,+ [ ( ) R coninue sur [,+ [. Si f () = o u voisinge de + vec > lors f converge (bsolumen). Eercice 8 Quelle es l nure de e 2 d? 2