VIII TORSION. ont pour support la ligne moyenne et sont tels que : M M = 0. le repère de définition des sollicitations liées à (S).

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1 VIII TORION ollicitation simple à laquelle sont soumis de nombreux systèmes, en particulier les arbres de transmission et les ressort hélicoïdaux. 1. Définition et hypothèses a) Définition Une poutre est sollicitée en torsion simple lorsqu elle est soumise à ses deux extrémités à des actions mécaniques dont les torseurs associés se réduisent à deux torseurs couples opposés dont les moments sont parallèles à la ligne moyenne. 1 et 2 ont pour support la ligne moyenne et sont tels que : = On considère une section droite () de la poutre (P) et R = (,x, y,z) le repère de définition des sollicitations liées à (). Dans R, les éléments de réduction en du torseur de cohésion s expriment par : R = 0 et x =, soit [ T ] t coh 0 t = (x,y,z) RD - VIII - 1 / 6

2 b) Hypothèses Pour que les résultats soient comparables d un essai de torsion à l autre, on est amené à faire différentes hypothèses restrictives : Le solide est un cylindre de révolution (poutre cylindrique droite, de section circulaire et de diamètre constant) Le poids du solide est négligé La surface du cylindre est parfaitement polie 2. Etude expérimentale a) Essai de torsion L éprouvette de forme cylindrique de révolution est parfaitement encastrée à l une de ses extrémités, la section ( 1 ), de centre de surface 1, par exemple. On trace, avant l essai, une génératrice 1 2 du cylindre. On applique à l autre extrémité de la poutre, section ( 2 ) de centre de surface 2, un système d actions mécaniques de liaison modélisables en 2 par un torseur couple. [ T ] = 0 2 avec. x = On fait croître On constate que : 2 2 à partir de zéro et on mesure les déformations de la poutre. Toute section plane et normale à l axe du cylindre reste plane et normale à l axe. La distance entre deux sections droites données reste sensiblement constante Le déplacement d une section droite () est uniquement une rotation d angle α autour de son axe et cette rotation est proportionnelle à sa distance x à la section encastrée ( 1 ) : α = k x La génératrice 1 2 se déforme donc suivant une hélice 1 2. RD - VIII - 2 / 6

3 L enregistrement de α lorsque d extension : 2 croit donne une courbe semblable à celle de l essai b) Déformations Dans la zone OA, la courbe enregistrée est assimilable à une droite d équation : Définition : 2 = λα On appelle angle unitaire de torsion, la déformation angulaire relative θ entre deux sections distantes de l unité de longueur : α rad x mm Dans la zone des déformations élastiques, on peut alors écrire : = λθ x 3. Contraintes a) Effort de cohésion θ = ( ) 2 Considérons le tronçon (P 1 ) de la poutre (P), compris entre la section ( 1 ) et la section () définie par l abscisse x de son centre de surface. Considérons les efforts élémentaires de cohésion df dans la section droite (). RD - VIII - 3 / 6

4 La théorie de l élasticité permet de démontrer que les forces de cohésion en tout point de () (forces que (P 2 ) exerce sur (P 1 ) au niveau de ()) sont : Dans le plan de () Perpendiculaires au rayon = ρ On en déduit qu en tout point de () la contrainte normale est nulle, σ x = 0, df et la contrainte tangentielle s écrit : = = C(,x). ds Le moment des efforts de cohésion s exprime donc par : = df = ρ d x b) Loi de Hooke i on considère un petit élément de longueur x d une fibre, on constate que celui-ci a subit, après déformation, une déviation γ comparable à celle observée dans l étude du cisaillement simple. La loi de Hooke pour les contraintes tangentielles s exprime donc par : = γ où est le module d élasticité transversale ou module de Coulomb ( Pa ). acier 4 c) Répartition des contraintes oit 0 un point de () situé à la distance ρ de. Après déformation, 0 vient en de telle façon que (, ) α 0 =, alors 0 = α ρ. RD - VIII - 4 / 6

5 Dans la zone des déformations élastiques, γ est très petit, d où : = α ρ γ x 0. oit γ = α ρ = θ ρ. x La loi de Hooke s écrit alors : = θ ρ (pa) Dans cette expression est une caractéristique du matériau (constante) et θ est constant tout le long de la poutre, donc est proportionnel à ρ : La contrainte en un point de la ligne moyenne est nulle. La ligne moyenne est appelée fibre neutre. La contrainte est maximale au point le plus éloigné de la fibre neutre. On note ρ max = υ. 4. Rigidité a) Equation de déformation élastique Dans une section droite (), on a vu que le moment en des efforts de cohésion s écrit : = x = df = ρ d x et que la loi de Hooke donne : = θ ρ t On en déduit que : t = θ I (N mm) O où I O est le moment quadratique polaire : = 2 I O ρ d b) Condition de rigidité Pour les arbres de transmission qui tournent relativement vite ( N > 750tr min ), on doit limiter les déformations de torsion de l arbre pour éviter les vibrations. Pour assurer une rigidité convenable de la transmission, on impose une limite à l angle unitaire de torsion : θ θ lim ite On prend généralement : θ lim ite = 0. 5 m RD - VIII - 5 / 6

6 5. Condition de résistance a) odule de torsion En tout point à la distance ρ de la fibre neutre on a : = θ ρ et t = θ I0 = t ρ I 0 Et la contrainte est maximale pour ρ = ρ max = υ max = t I 0 υ I υ est appelé module de torsion (catalogues) 0 Exemple : Pour un arbre plein de section circulaire : I 0 4 π d = et 32 υ = d 2 I0 π d υ = 16 3 b) Condition théorique de résistance Contrainte limite élastique : A I 0 e = (c est la même que celle utilisée en cisaillement) υ Contrainte limite pratique : = p s e où s est le coefficient de sécurité (traduit les incertitudes et le type de construction réalisée) Condition théorique de résistance : max p = A s I 0 υ c) Condition réelle de résistance Dans la réalité, un arbre qui transmet un certain couple n est jamais parfaitement cylindrique ni de section constante (cannelures, rainures, épaulements, goupilles ) Toutes les variations de section provoquent localement des concentrations de contrainte. La condition réelle de résistance à la torsion s exprime par : p max k où k est le coefficient de concentration de contrainte de torsion (>1, abaques) Applications : Arbre creux, ressort hélicoïdal RD - VIII - 6 / 6