Cisaillement et Torsion

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1 Cisaillement et Tosion

2 Chapite IV: Cisaillement Définition: y F couteau y Ty ε x G z Une poute est sollicitée au cisaillement si le toseu epésentant les foces de cohésion se éduit au cente de gavité G d une section doite à: I F i T y / 2 M = 0 z G

3 La défomation se manifeste pa un glissement de la section doite chagée pa appot à ses voisines Remaques: 1/ Il est impossible de chage une seule section ( l outil à une épaisseu) 2/ L effot F et la éaction T ne sont pas diectement opposés. Les plans des lignes d action sont décalés de ε Containtes dans la section doite: y F e ε ds M G y z T y

4 Bilan des effots appliqués + Poids pope de la poute négligé devant les foces de contact + F e : chage linéaiement épatie suivant la lageu de la poute + Les effots intenes F i agissant su (S) donnant naissance su une suface (ds) autou du point M à une containte tangentielle τ suivant l axe d action de F e. En ne tenant pas compte du phénomène de concentation des containtes à l endoit de l application de la chage ainsi que la défomation locale, la épatition des containtes est supposée unifome su (S). Le toseu des effots extéieus s écit: I Fe/ 2 G M z F = e y F e ε z

5 L équilibe du tonçon s écit: I + I = ( ds Fe ) y ( F ε ) z = S Fi / 2 Fe/ 2 G e = 0 0 τ (1) (2) Signifie F e ε = 0 ε = 0 (en éalité ε est 0,1 mm et F e ε#0) Dans le cas du cisaillement les containtes nomales à la section doite sont nulles. Remaque: Si ε pas infiniment petit, la sollicitation est alos composée de flexion et de cisaillement. (2)

6 Pou une épatition unifome des containtes, la valeu de la containte tangentielle moyenne est déduite de l équation (1): S τds τs F e F e = = 0 0 τ = Elasticité tansvesale F La section (S 1 ) se déplace dans son plan paallèlement à la section (S 2 ) et céé une dénivellation mesuée pa j Si on admet que la doite joignant les points S 1 et S 2 ectiligne, la défomation peut se défini pa: ; γ: angle de glissement tg γ = j ε γ étant tès petit on a: γ S = e j ε ε T y F e j

7 Loi d élasticité en cisaillement (Hooke) Le diagamme donnant la vaiation de la containte τ avec l angle γ est une coube d allue généale analogue à la coube de taction dans la phase linéaie (élastique) et la loi s écit: F S e = T y S = τ = Gγ G est nommé coefficient d élasticité tansvesale, vu qu il intevient dans des défomation pependiculaies à l axe longitudinal de la pièce. On a généalement G < E, pou l acie: G = 0,4 E La loi de Hooke en cisaillement s écit donc: T y j = Gγ = G S ε

8 Condition de ésistance au cisaillement Pou qu un solide sollicité au cisaillement puisse tavaille en toute sécuité Il faut que: F τ = S e R p g avec R p g = R s g R pg : ésistance patique au glissement R g : limite élastique au cisaillement déteminée pa l essai de tosion s: coefficient de sécuité Remaque: Les limites élastiques R g et R e sont liées, à tite d exemple on a: R g = 0,5 R e pou les acies doux et mi-dus et les alliages d alluminium R g = 0,8 R e pou les acie dus et tès dus

9 Condition de uptue pa cisaillement: Si la pièce doit céde au cisaillement il faut que: F τ = S e R g R g : ésistance à la uptue pa cisaillement

10 Chapite V: Tosion Définition Une poute doite est sollicitée en tosion chaque fois que les actions aux extémités (A et B) se éduisent à deux couples M et M égaux et opposés d axe la ligne moyenne Lm. Exemple : tige de tounevis.

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12 Limitations: De la définition pécédente et des hypothèses de la RDM découlent les limitations suivantes: Seules les poutes doites peuvent ête sollicitées à la tosion. Les poutes coubes sont soumises à des sollicitations composées (M ne sea pas poté pa la ligne moyenne). La RDM ne peut étudie que la tosion de poutes de évolution pou lesquelles une section plane avant défomation le este apès défomation. Etude de la défomation-angle de tosion Constatations expéimentales *Les sections doites avant défomation estent doites apès défomation (planes et pependiculaies à la ligne moyenne). *Les fibes ou généatices initialement paallèles à la ligne moyenne s enoulent suivant des hélices autou de cet axe. *La longueu des fibes estent sensiblement invaiable ou constante (hypothèse des petites défomations). *Les sections doites tounent ou glissent en bloc les unes pa appot aux autes (otations d axe le ligne moyenne). *Les ayons GK estent doits dans le domaine élastique, mais s incuvent dans le domaine plastique.

13 α x = angle de tosion ente les sections doites A et G α= angle de tosion de la poute.

14 Angle unitaie de tosion On constate que: *Une généatice C 0 D 0, située à une distance ρ de l axe, est défomée en C 0 D, ac d hélice moulé su un cylinde de ayon ρ. L ac d hélice est incliné d un angle γ pa appot à C 0 D 0. Les section extêmes ont touné l une pa appot à l aute d un angle α appelé angle de tosion elatif à la section qui a touné. La elation liant γ et α est: tg γ = DD C 0 D ρα 0 = γ Dans le domaine élastique γ tès petit 0 L On a: θ = ρ L D où γ = ρθ θ est appelé angle unitaie de tosion Unité : ad/m ou ad/mm

15 Effots intéieus-moment de tosion On patique une coupue fictive (S) dans la pouteafin de la divise en deux tonçons pou faie appaaîte et calcule (statique) les effots intéieus ou de cohésion Avec M T = M

16 Remaque: Dans le cas de la tosion, tous les autes effots intéieus sont nuls; N = T = M f = 0 Containtes tangentielles de tosion En tosion, et dans le cas des petites défomations, les containtes nomales σ sont négligeables. Les containtes dans la coupue (S) se éduisent à des containtes tangentielles ou de cisaillement τ. A pati de la elation «τ = G γ» obtenue au chapite «Cisaillement», on monte que la containte τ M, en un point M quelconque de la coupue (S) est popotionnelle à la distance ρ = GM, ente le point et la ligne moyenne.

17 Remaque: tous les points situés su un même cecle de cente G et de ayon ρ ont même containte. Les containtes sont maximales à la péiphéie : Relation ente M T et θ τ Maxi = G θ R pou ρ Maxi = R

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20 Relation ente τ et M T Condition de ésistance à la tosion

21 Il caactéise la igidité en tosion de la Section (S) de la poute

22 Concentation de containtes

23 D apès l abaque on touve K ts = 1.4

24 τ 0 le plus gand est celui de la section de plus faible ayon.