Concours commun 2007 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes Épreuve spécifique Corrigé
|
|
- Ernest Beausoleil
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Concours commun 2007 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes Épreuve spécifique Corrigé Problème Partie lim x 0 x = + et lim x 0 x 2 = + donc lim f (x) = + x 0 f n est pas continue à gauche. lim x 0 + x = donc lim x 0 + exp ( x ) = 0 et limx 0 + x 2 = + ; nous avons une forme indéterminée du type u 2 e u avec u +, d après les croissances comparées, la limite est 0 : f est continue à droite. De la même manière : lim f (x) = 0 x 0 + f (x) f (0) x 0 = x 3 e x f (x) f (0) Donc lim x 0 x 0 = donc f n est pas dérivable à gauche et lim x donc f est dérivable à droite et sa dérivée à droite vaut 0 en x = 0. f (x) f (0) x 0 = 2 Limites aux bornes : lim x ± x = 0 et lim x ± x 2 = 0 donc lim x ± f (x) = 0. Ainsi, le graphe de f admet l axe des abscisses comme asymptote et l axe des ordonnées lorsque x tend vers 0 par valeurs négatives, d après la première question. Variations : f est dérivable sur ], 0[ et ]0, + [, donc ses variations sur ces intervalles se déduisent du signe de sa dérivée ; Nous avons donc le tableau suivant : f (x) = e x ( 2 x) x 4 t f + + f e f étant deux fois dérivable, sa convexité est donnée par le signe de sa dérivée seconde : f (x) = e x (6x 2 6x + ) x 6
2 y O x FIGURE Graphe de f Les racines (simples) de 6x 2 6x + sont et f s annule en changeant de signe en ces valeurs, C a donc deux points d inflexion. f est convexe sur ] ], 0[ 0, ] [ [ , + et concave sur [ 3 2 6, 2 + ] Pour représenter la courbe nous utilisons les points d abscisses, 2 et (qui correspondent aux valeurs aimablement communiquées). Prendre garde aux unités imposées par le texte. Partie 2 5 La fonction est positive sur l intervalle [h, ], par définition 2
3 l aire (en cm 2 ) est A (h) = 2 2 f (t) dt h [ ] = 4 e x h = 4(e e h ) 6 lim h 0 + e h = 0 donc lim h 0 + A (h) = 4 e. Partie 3 7 L équation (E) est, sur les intervalles donnés, équivalente à ( y = x 2 2 ) y = 0 x Une primitive de a : x x 2 2 x est A : x x 2 ln x et ea(x) = f (x) (quelle coïncidence!) donc, sur chaque intervalle, y est de la forme y = C f (x) avec C une constante. Soit y une solution sur R, alors il existe des constantes C et C 2 (complexes? L énoncé ne le précise pas) telles que { y(x) = C f (x) si x < 0 y(x) = C 2 f (x) si x > 0 y doit être de classe C. Or la limite de y à gauche en 0 n est finie que si C = 0. Il est donc nécessaire que y soit égale à la fonction nulle sur ], 0[. Comme la limite à droite de y est 0, y est continue. y est évidemment dérivable à gauche en 0 et, d après la question, dérivable à droite en 0. Nous pouvons vérifier que y est continue en 0. En conclusion les solutions sur R sont de la forme : { y(x) = 0 si x 0 C C, x R y(x) = C f (x) si x > 0 Partie 4 9 x x est de classe C sur ]0, + [, à valeurs rélles, exp est de classe C sur R donc x exp ( x ) est de classe C sur ]0, + [ comme composée de fonctions de classe C. x x 2 est de classe C sur ]0, + [. Donc f est est de classe C sur ]0, + [ comme produit de fonctions de classe C sur ]0, + [. 0 La formule est vraie pour n = 0 avec P 0 =. Supposons la formule vraie pour n et dérivons chaque membre : f (n+) (x) = P n(x) + x 2 P n(x) (2n + 2)xP n (x) e x 2(n+)+2 x 3
4 Donc la formule est vérifiée pour n + avec P n+ (x) = x 2 P n(x) + ( (2n + 2)x)P n (x) qui est un polynôme, elle est donc vraie pour tout entier naturel n. Nous avons déjà calculé P 0 =, P (x) = 2x +, P 2 (x) = 6x 2 6x +. La formule de la question précédente donne P 3 (x) = 24 x x 2 2 x + P 4 (x) = 20 x x x 2 20 x + 2 La suite (P n ) n 0 est définie par P 0 et la relation : P n+ (x) = x 2 P n(x) + ( 2(n + )x)p n (x) () Notons TD n = a n x d n le terme dominant et TC n le terme constant P n (0) de P n. D après la formule () nous avons TD n+ = (d n a n 2(n + )a n )x n+ a n+ x d n+ = a n (d n 2(n + ))x n+ TC n+ = TC n Donc TC n est constant : TC n =, d n+ = n + et a n+ = a n (n 2(n + )) soit a n+ = (n + 2)a n, qui suggère a n = ( ) n (n + )!. Cette formule est vraie pour n = 0 et si elle est vraie à l ordre n (n + 2)a n = ( ) n+ (n + 2)! montre qu elle est vérifiée pour n + donc pour tout n entier positif, par récurrence. Ainsi TD n = ( ) n (n + )!x n et TC n =. 3 Nous avons g (x) = f (x). Nous obtenons la formule demandée en dérivant n fois chaque membre. 4 Cours : u et v sont deux fonctions n fois dérivables en x, alors uv est n fois dérivable en x et la dérivée n e de uv en x est ( ) n u (k) (x)v (n k) (x) k 0 k n 5 Dérivons x 2 f (x), n + fois en appliquant la formule de Leibniz : f (n) (x) = g (n+) = (x 2 f (x)) (n+) = x 2 f (n+) (x) + n(2x) f (n) (x) + 4 (n + )n 2 f (n ) (x) 2
5 Remplaçons les expressions des dérivées de f en fonction des polynômes et divisons chaque membre par e x, il vient : P n+ (x) x 2n+2 = x2 P n+ (x) x 2n+4 + (n + )2xP n(x) x 2n+2 + n(n + )P n x 2n 2 Éliminons les dénominateurs : P n (x) = P n+ (x) + 2x(n + )P n (x) + n(n + )x 2 P n (x) nous obtenons la relation demandée. 6 Soustrayons, membre à membre les deux relations obtenues ci-dessus, il vient : 0 = x 2 P n(x) + n(n + )x 2 P n (x) ce qui donne la relation voulue après division par x 2. 7 D après la relation précédente à l ordre n + : Dérivons la première relation : P n+(x) = (n + )(n + 2)P n (x) P n+(x) = 2xP n(x) + x 2 P n (x) + ( 2nx 2x)P n(x) 2(n + )P n (x) En égalant les seconds membres et en simplifiant nous obtenons la relation demandée : 0 = x 2 P n (x) + ( 2nx)P n(x) + n(n + )P n (x) Problème 2 Partie Soient α, α 2, α 3 des réels tels que Alors pour j {, 2, 3} α Q + α 2 Q 2 + α 3 Q 3 = 0 α Q (a j ) + α 2 Q 2 (a j ) + α 3 Q 3 (a j ) = 0 α j Q j (a j ) = 0 Comme Q j (a j ) = 0, c est que α j = 0. Donc Q, Q 2 et Q 3 sont linéairement indépendants. 9 Calculs : P () = P (3) = 0 P (5) = 0 P 2 () = 0 P 2 (3) = P 3 (5) = 0 P 3 () = 0 P 3 (3) = 0 P 3 (5) = 5
6 20 Donc les polynômes P, P 2, P 3 vérifient la propriété de la question, par conséquent (P, P 2, P 3 ) est une famille de trois éléments, libre dans un espace de dimension 3, c est donc une base. 2 Les colonnes de A sont les coordonnées des polynômes (P, P 2, P 3 ) dans B. En développant ces polynômes, nous avons : La matrice de passage de la base P à la base B est la matrice inverse de A. L inverse de A est un peu longue à calculer avec la méthode du pivot. Il y a plus court mais c est réservé pour la question 2. L L + 5 L 2, L 3 L 2 + L 3 L 3 L + 25L 3 x = 5 x 5 4 y + 3 z y = x y 2 z z = x 4 y + z x + 5 y = 25 3 y 9 6 z y = x y 2 z y + z = 6 y + 6 z x + 5 y = 25 3 y 9 6 z y = x y 2 z x + 5y + 25z = z etc. Donc, après calculs : A = Soient P et R deux polynômes, α et β deux réels, les divisions euclidiennes de P et R par P 0 sont données par R = SP 0 + f (R) P = QP 0 + f (P) 6
7 avec Q et S dans R[X]. Par combinaison linéaire : αp + βr = (Q + S)P 0 + α f (P) + β f (R) avec deg(α f (P) + β f (R)) < deg(p 0 ). D après l unicité du reste : f est donc linéaire. f (αp + βr) = α f (P) + β f (R) 24 Pour tout P dans R[X], deg( f (P)) 2 donc Im( f ) est contenu dans R 2 [X]. Or si P est dans R 2 [X], f (P) = P, donc Im( f ) = R 2 [X] 25 f (P) = 0 si et seulement si P est divisible par P 0, ker( f ) est donc l ensemble des multiples de P 0 : ker( f ) = P 0 R[X] 26 Puisque f (P) R 2 [X], comme nous venons de le remarquer, nous avons f ( f (P)) = f (P), soit f 2 = f. C est à dire que f est un projecteur de R[X] sur R 2 [X], de direction P 0 R[X]. 27 Soit P dans R[X] alors P R 2 [X]. Il existe des réels α, β, γ tels que dans la base P : D après les calculs de la question 9 : En remarquant que nous vérifions l égalité donnée. P(X) = αp (X) + βp 2 (X) + γp 3 (X) P() = α, P(3) = β, P(5) = γ P() = P(), P(3) = P(3), P(5) = P(5) 2 Appliquons le résultat de la question 27 à chacun des vecteurs de la base B : f () = P + P 2 + P 3 = f (X) = P (X) + 3P 2 (X) + 5P 3 (X) = X f (X 2 ) = P (X) + 9P 2 (X) + 25P 3 (X) = X 2 Les coefficients des polynômes P, P 2, P 3 redonnent les coefficients de la matrice A. 7
8 Partie 2 29 Le produit est la matrice nulle d après les calculs : (M I)(M 3I)(M 5I) = = = 0 Le résultat ne dépend pas de l ordre des facteurs car les matrices, polynomiale en M, commutent. 30 Par définition, E est le sous-espace vectoriel de M 3 (R) engendré par I, M et M 2 : E = Vect(I, M, M 2 ) 3 Le rang de (I, M, M 2 ) est inférieur ou égal à 3. Soient a, b, c des réels tels que ai + bm + cm 2 = 0, alors a + 3b + 3c 2b + 2c 0 2b + 2c a + 3b + 3c 0 = a + 3b + 9c nous obtenons le système : a + 3b + 3c = 0 2b + 2c = 0 a + 3b + 3c = 0 donc l unique solution est triviale, par suite (I, M, M 2 ) est libre et définit une base de E. Ainsi dim(e) = Φ est clairement linéaire et si Φ(P) = 0, (I, M, M 2 ) étant une base, nous avons a = 0, b = 0, c = 0 soit P = 0. Φ est injective et donc bijective car les dimensions des espaces de départ et d arrivée sont égales. 33 = P + P 2 + P 3 donc I = Φ() = Φ(P ) + Φ(P 2 ) + Φ(P 3 ) = B + B 2 + B 3 De même Φ(X) = Φ(P ) + 3Φ(P 2 ) + 5Φ(P 3 ) donne M = B + 3B 2 + 5B 3 et Φ(X 2 ) = Φ(P ) + 9Φ(P 2 ) + 25Φ(P 3 ) donne M 2 = B + 9B B Soit i = j, alors B i B j = P 0 (M)(M λi) avec λ {, 3, 5}, comme P 0 (M) = 0, tous ces produits sont nuls.
Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailINTRODUCTION. 1 k 2. k=1
Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailExercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :
Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailCours d Analyse I et II
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détailEquations différentielles linéaires à coefficients constants
Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailFonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailOptimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.
L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailBaccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013
Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailEtude de fonctions: procédure et exemple
Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailCorrection du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014
Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 EXERCICE 1 Cet exercice est un Q.C.M. 4 points 1. La valeur d une action cotée en Bourse a baissé de 37,5 %. Le coefficient multiplicateur associé
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailÉquations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailDérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailBTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL
BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailAOT 13. et Application au Contrôle Géométrique
AOT 13 Géométrie Différentielle et Application au Contrôle Géométrique Frédéric Jean Notes de cours Édition 2011/2012 ii Table des matières 1 Variétés différentiables 1 1.1 Variétés différentiables............................
Plus en détailMaple: premiers calculs et premières applications
TP Maple: premiers calculs et premières applications Maple: un logiciel de calcul formel Le logiciel Maple est un système de calcul formel. Alors que la plupart des logiciels de mathématiques utilisent
Plus en détailCalcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3
Université de la Méditerranée Faculté des Sciences de Luminy Licence de Mathématiques, Semestre 5, année 2008-2009 Calcul Différentiel Support du cours de Glenn Merlet 1, version du 6 octobre 2008. Remarques
Plus en détailBaccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008
Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats f est une fonction définie sur ] 2 ; + [ par : 4 points f (x)=3+ 1 x+ 2. On note f sa fonction dérivée et (C ) la représentation
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailCHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.
CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailspé MP POLYCOPIÉ D EXERCICES 2015-2016
spé MP POLYCOPIÉ D EXERCICES 5-6 POLYNÔMES Soit n IN (a) Montrer qu il existe un polynôme P n tel que : θ IR : P n (cos θ) sin θ = sin(n + )θ On donnera une expression de P n (b) Calculer le degré, le
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailAnalyse des Systèmes Asservis
Analyse des Systèmes Asservis Après quelques rappels, nous verrons comment évaluer deux des caractéristiques principales d'un système asservi : Stabilité et Précision. Si ces caractéristiques ne sont pas
Plus en détailContexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,
Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très
Plus en détailChapitre 1. L intérêt. 2. Concept d intérêt. 1. Mise en situation. Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de :
Chapitre 1 L intérêt Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de : 1. Comprendre la notion générale d intérêt. 2. Distinguer la capitalisation à intérêt simple et à intérêt composé. 3. Calculer la
Plus en détailBaccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01
Plus en détailTable des matières. I Mise à niveau 11. Préface
Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3
Plus en détail