Commande des systèmes dynamiques 5. Transformée de Laplace

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1 Commande des systèmes dynamiques 5. Transformée de Laplace Dr. Ph. Mullhaupt Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL) SIE Baccelor IV Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 1 / 23

2 Contenu 1 Motivation 2 Le produit de convolution (rappel) 3 La transformée de Laplace 4 Conséquence sur le produit de convolution 5 Dictionnaire 6 Grammaire 7 Transformée de Laplace inverse Série de Fourier Transformée de Fourier 8 Justification de l isomorphisme Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 2 / 23

3 Motivation Motivation Besoin de créer un isomorphisme entre : produit de convolution {f(t)} {g(t)} produit de polynômes F (s)g(s) Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 3 / 23

4 Le produit de convolution (rappel) Le produit de convolution (rappel) Définition { t {f(t)} {g(t)} : } f(τ)g(t τ)dτ Propriétés Commutativité {f(t)} {g(t)} {g(t)} {f(t)} Associativité ( {f(t)} {g(t)} ) {h(t)} {f(t)} ( {g(t)} {h(t)} ) Distributivité par rapport à l addition {f(t)} ( {g(t)} + {h(t)} ) {f(t)} {g(t)} + {f(t)} {h(t)} Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 4 / 23

5 La transformée de Laplace La transformée de Laplace Définition F (s) L ({f(t)}) : f(τ)e sτ dτ Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 5 / 23

6 Conséquence sur le produit de convolution Conséquence sur le produit de convolution L({f(t)} {g(t)}) ( µ µ ) f(τ)g(µ τ)dτ e sµ dµ f(τ)g(µ τ)e sµ dτdµ f(τ)g(µ τ)e sµ dµdτ Changement de variables ɛ µ τ et donc dɛ dµ et µ ɛ + τ L ({f(t)} {g(t)}) f(τ)g(ɛ)e sɛ e sτ dɛdτ f(τ)e sτ dτ L({f(t)})L({g(t)}) g(ɛ)e sɛ dɛ Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 6 / 23

7 Dictionnaire Dictionnaire élémentaire Exponentielle L ( {e at } ) e aτ e sτ dτ e (a s)τ dτ 1 a s 1 s a [ ] 1 a s e(a s)τ Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 7 / 23

8 Dictionnaire Dictionnaire élémentaire Sinus {sin(t)} {ejt } {e jt } 2j L ({sin(t)}) 1 ( 1 2j s j 1 ) s + j 1 s + j s + j 2j s s Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 8 / 23

9 Dictionnaire Dictionnaire élémentaire Cosinus {cos(t)} {ejt } + {e jt } 2 L ({cos(t)}) 1 ( 1 2 s j + 1 ) s + j 1 s + j + s j 2 s s s Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 9 / 23

10 Grammaire Grammaire élémentaire Décalage en s e λt f(t) F (s + λ) Démonstration F (s + λ) e λt f(t) f(τ)e (s+λ)τ dτ e λτ f(τ)e sτ dτ Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 1 / 23

11 Grammaire Grammaire élémentaire Décalage dans le temps ɛ(t λ)f(t λ) e λs F (s) Démonstration e λs F (s) e λs f(τ)e sτ dτ (remarque : µ λ + τ, τ µ λ, dµ dτ) λ λ f(τ)e sµ dµ f(µ λ)e sµ dµ ɛ(t λ)f(t λ) f(τ)e s(τ+λ) dτ ɛ(µ λ)f(µ λ)e sµ dµ Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 11 / 23

12 Grammaire Grammaire élémentaire Mise à l échelle de la variable temporelle ωτ µ, dτ 1 ω dµ L({f(ωt)}) f(ωτ)e sτ dτ 1 f(µ)e s µ ω dµ ω 1 ( s ) ω F ω Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 12 / 23

13 Grammaire Grammaire élémentaire Techniques de démonstrations intégration par partie avec Ψ ψ et Φ φ, on a Ψφ + ψφ [ΨΦ] et donc Ψφ [ΨΦ] ψφ et ψφ [ΨΦ] Ψφ Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 13 / 23

14 Grammaire Grammaire élémentaire Dérivation {f (t)} sf (s) f() Démonstration L ( {f (t)} ) f (τ)e sτ dτ ψφ avec ψ f (τ) Φ e sτ [ΨΦ] Ψφ [ f(τ)e sτ ] + s f(τ)e sτ dτ f() + sf (s) Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 14 / 23

15 Grammaire Grammaire élémentaire Intégration ({ t }) L f(τ)dτ 1 s F (s) Démonstration ({ t }) L f(µ)dµ { τ } f(µ)dµ e sτ dτ Ψφ [ΨΦ] ψφ [ τ f(µ)dµ( 1 ] s )e sτ + 1 s F (s) + 1 s f(τ)e sτ dτ Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 15 / 23

16 Transformée de Laplace inverse Transformée de Laplace inverse Soit f(t) une fonction f(.) : R R de croissance bornée par une exponentielle f(t) Ce at, t, avec a, C R +. Formule de Mellin f(t) 1 2πj x+j x j F (s)e st ds, x > a Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 16 / 23

17 Transformée de Laplace inverse Série de Fourier Série de Fourier Soit f(t) une fonction périodique de période T, c.-à-d. f(t + T ) f(t), t. Représentation f(t) c k k t+t t c k e j 2kπ T t c k C f(τ)e 2kπ j T τ dτ Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 17 / 23

18 Transformée de Laplace inverse Transformée de Fourier Transormée de Fourier Soit f(.) : R R une fonction éventuellement discontinue mais de croissance bornée par une exponentielle f(t) < Ce at, t > avec a, C R +. Représentation f(t) 1 2π G(jω) + G(jω)e jωt dω f(τ)e jωτ dτ Attention : La transformation ne converge pas forcément aux points de discontinuité. Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 18 / 23

19 Transformée de Laplace inverse Transformée de Fourier Transformation de Laplace inverse Démonstration de la formule de Mellin Soit x > a un nombre réel fixe et soit la fonction auxiliare φ(t) : e xt f(t) Elle admet une transformation de Fourier et donc φ(t) 1 2π + ( + Ainsi, étant donné que f(τ) pour τ <, e xt f(t) 1 ( 2π 1 2π φ(τ)e jω(t τ) dτ ) dω e xτ f(τ)e jω(t τ) dτ ( e jωt e (x+jω)t f(τ)dτ ) dω ) dω Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 19 / 23

20 Transformée de Laplace inverse Transformée de Fourier Transformation de Laplace inverse Démonstration de la formule de Mellin (suite) En posant s x + jω f(t) 1 F (s)e (x+jω)t dω 1 2π 2πj x+j x j F (s)e st ds L intégrale est effectuée dans le plan complexe le long d une droite verticale parallèle à l axe imaginaire et passant par la valeur rélle x. Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 2 / 23

21 Transformée de Laplace inverse Transformée de Fourier Dictionnaire étendu 1 ɛ(t) 1 s Rs > 2 δ(t) 1 3 t n n! Rs > s n+1 4 e at 1 s a Rs > Ra 5 sin(ωt) ω s 2 +ω 2 Rs > Iω 6 cos(ωt) s s 2 +ω 2 Rs > Iω 7 sinh(λt) λ s 2 λ 2 Rs > Rλ 8 cosh(λt) s s 2 λ 2 Rs > Rλ 9 t n e at n! Rs > Ra (s a) n+1 1 t sin(ωt) 2sω Rs > Iω (s 2 +ω 2 ) 2 11 t cos(ωt) s2 ω 2 Rs > Iω (s 2 +ω 2 ) 2 12 e λt ω sin(ωt) Rs > (Rλ + Iω ) (s λ) 2 +ω 2 13 e λt cos(ωt) s λ (s λ) 2 +ω 2 Rs > (Rλ + Iω ) Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 21 / 23

22 Transformée de Laplace inverse Transformée de Fourier Grammaire étendue 1 f(t) F (s) 2 n i1 k if i (t) n i1 k if i (s) k i R 3 f(ωt) 1 ω F ( ) s ω R + 4 e λt f(t) F (s + λ) 5 ɛ(t τ)f(t τ) e sτ F (s) ω 6 f (n) (t) s (F n (s) f() s... f (n 1) () 7 t f(τ)dτ 1 s F (s) 8 ( 1) n t n f(t) F (n) (s) 9 lim t f(t) lim s [sf (s)] 1 lim t f(t) lim s [sf (s)] t f(τ)g(t τ)dτ F (s)g(s) s F (p)dp f(t) t s n ) Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 22 / 23

23 Justification de l isomorphisme Justification de l isomorphisme L algèbre des polynômes est intègre Fait bien connu Un polynôme non nul n admet pas de diviseur de zéro Autrement dit si F (s)g(s) F (s) ou G(s) Th. de Titmarsch : l algèbre de convolution est intègre Fait non complètement trivial L algèbre de convolution n a pas de diviseur de zero Autrement dit si a b a ou b Dr. Ph. Mullhaupt (LA-EPFL) Commande des systèmes dynamiques SIE IV 23 / 23