Les systèmes linéaires analogiques sont très souvent gouvernés par des équations

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1 1. Définition Les systèmes linéaires analogiques sont très souvent gouvernés par des équations différentielles à coefficients constants reliant les signaux en entrée et en sortie. En régime permanent sinusoïdal la résolution de ce type d équations est facilitée par la représentation complexe des signaux sinusoïdaux ou par la transformée de Fourier. L'analyse temporelle des systèmes linéaires, en particulier pour l étude des régimes transitoires, nécessite la résolution de ces mêmes équations différentielles. La transformation de Laplace facilite l'étude de ces systèmes linéaires en régime transitoire. Cette transformation permet d'associer à tout signal temporel s(t) une fonction S(p) d'une variable complexe p=+j. Elle permet de remplacer les opérations analytiques de dérivation et d'intégration par des opérations algébriques. Cette propriété facilite la résolution des équations différentielles. Compte tenu le principe de causalité, on limite l'étude des signaux définies à partir de t = 0, s(t) = 0, t < 0 La transformée de Laplace du signal s(t) continu par morceau et borné, notée L[()] = () est définie par : () = L[()] = (), = + La transformée de Laplace inverse de l'image () est le signal () = F [()] défini par : () = L [()] = 1 2 () Généralement on n'utilise pas cette relation, parce qu'il existe des formulaires fournissant les transformées d'un grand nombre de fonctions et donc leurs inverses. 28

2 2. Propriétés de la Transformation de Laplace Notant que le produit de toute fonction par échelon unité u(t), définit une fonction causale. 2.1 Linéarité L'image de la somme de plusieurs fonctions, multipliées par des constantes, est égale à la somme des images de ces fonctions multipliées par les constantes correspondantes, autrement dit si : () = () L[()] = (), L[ ()] = () 2.2 Dérivation et Intégration Une propriété essentielle pour la résolution des équations différentielles et l'étude de la réponse des systèmes linéaires On considère que la transformé de Laplace du signal causal s(t) est S(p), alors la transformée de Laplace de sa dérivée est L () () =. En intégrant par partie on trouve : (). = [(). ] + (). =. () (0) La généralisation de cette dernière expression nous donne : L () =. (). () (0), () = () 29

3 Cette propriété permet de transformer les équations différentielles en polynômes en p en tenant par considération les conditions initiales. Maintenant la transformée de Laplace de l'intégrale de s(t) est donnée par : L () = (). En intégrant par partie on trouve : L () = () + 1 (). lim () = 0; () é 0 lim () = 0; lim L () = 1 1 (). () = () = 0; La généralisation de cette dernière expression nous donne : L () = () Considérons maintenant la dérivée par rapport à p de la transformée de Laplace du signal s(t) : () = (). L[. ()] = () = (). ( ). =. (). = L[. ()] 30

4 La généralisation de cette dernière expression nous donne : L[ (). ()] = ( 1) 2.3 Translation Considérons la transformation de Laplace suivante : L[. ()] = ().. L[. ()] = ( + ) = (). (). = ( + ) Maintenant, on considère le signal s(t-τ) décalé dans le temps par τ, alors : L[( )] = ( ).. On pose z=t-τ, alors dz=dt et t=z+ τ, l'intégrale précédente devienne : L[( )] = (). L[( )] =. (). = ().. =. () 2.4 Dilatation et contraction On considère que la transformé de Laplace du signal causal s(t) est S(p), alors la transformée de Laplace de s(αt) est donnée par: L[()] = (). On pose z=αt, alors dz=dt/α et t=z/α, l'intégrale précédente devienne : L[()] = 1. (). = 1. 31

5 2.5 Transformée de Laplace d'un signal périodique Considérons un signal périodique de période T pour t > 0 et nulle pour t < 0 : s(t) s1(t) s2(t) s3(t) T 2T 3T t Figure 1: signal causal périodique () = () + () + () + = () ; () = ( ); L[ ()] = () L[()] = L ( ) =. () ; 1 1 = L[()] = (). = () Théorèmes des valeurs initiale et initiale Connaissant la transformée de Laplace de s(t), il est possible de déduire directement la valeur initiale s(0) et la valeur finale s(+) lim (). lim [. ()] = (0) lim (). = 0 = lim [. () (0)] = lim [. ()] = () (). = () (0) = lim [. () (0)] 32

6 3. Transformée de Laplace des fonctions usuelles () 0 () = () () 1 () () () h() h() () () h() h() 1!! ( + ) , < , < 1 + ( + ) + ( + ) + + ( + ) ( + ) (). ( ) (). () 33

7 3. Système Scalaire Linéaire Invariant (SSLI) Des nombreux systèmes physiques, ses sorties (s(t)) peuvent lier à ses entées (e(t)) par des équations différentielles linéaires à coefficients constants du genre () () () + = () + Ces systèmes sont caractérisés par une seule entrée et une seule sortie (Système Scalaire). La transformation réalisé par ce système peut modaliser par la transformation () = [()] e(t) Système scalaire Linéaire Invariant () = [()] Figure 2 : Représentation d'un système Linéaire Invariant s(t) 3.1 Propriétés des Systèmes Scalaires Linéaires Invariants a. Linéarité Un système, caractérisé par la transformation, est linéaire si et seulement si : (, ) (, ) [ () + ()] = [ ()] + [ ()] b. Invariance Temporelle Un système, caractérisé par la transformation, est invariant, ou stationnaire, si et seulement si une translation temporelle sur l entrée entrainé la même translation sur la sortie : ( ) = [( )] c. Causalité Un système est dit causal si est seulement si l'entrée e(t) est nul pour t < t0, il en est de même pour la sortie s(t) : () = 0, < () = 0, < 34

8 d. stabilité Un système est stable si à tout signal d entrée e(t) borné correspond une réponse s(t) bornée. Si M 0, t e(t) M L 0, t e(t) L Un système linéaire invariant est donc stable si sa réponse impulsionnelle est intégrable en valeur absolue. C est-à-dire : 0, [()] 3.2 Fonction du transfert des Systèmes Scalaires Linéaires Invariants La fonction du transfert (G) est un modèle mathématique qui relié la sortie à l'entrée d'un système linéaire, le plus souvent invariant. L'utilisation de la transformée de Laplace est une moyenne de trouver une relation facile à manipuler entre la sortie s(t) et l'entrée e(t) d'un système scalaire linéaire invariant. () = () () En connaissant l'entrée, La sortie du système peut calculer facilement par l'utilisation la transformée de Laplace inverse () = L [()] = L [(). ()] 4. Analyse Temporelle 4.1 Circuit RC avec source continue t=0 R Soit le circuit suivant (charge de capacité), à l'instant t = 0 on ferme l'interrupteur, et E i(t) C uc(t) l'équation électrique devient : 35

9 =. () + (), () =. () =.. () + () En utilisant la transformée de Laplace : L[] = L.. () + (). 1 =... () + () () = () =. = 1, () =. () = 4.2 Circuit RLC avec source continue (Régime pseudopériodique) On considère que la capacité est initialement déchargé q(t = 0)=0, c.-à-d. uc(t=0)=0 E t=0 L R i(t) C uc(t) =. () + () + () + 1 =. () +. () (),, () =. (), : + () L[] = L. () +. () + (). 1 =... () +.. () + () () = : = 1, = 2, =. () = = , =, =, = 2 () = ( + ) + (1 ). 1 1 ( + ) + (1 ) 36

10 Théorie du signal Chapitre 3 : Transformée de Laplace Dr. Djilali Benyoucef Si : < 1, à : < 2 à h > 0, : () = L [ ()] = ( ) + 1 ( ), = 1 1 () = Circuit RC avec source alternative On considère : t=0 R i(t) () = () u(t) C uc(t) Après la fermeture de l'interrupteur on a : () =. () + (), () =. () L[ ()] = L.. () () = = + (),. + =... () + () = 0 = + = 0 = = + = 1 () + = = 1 + () = 1 + () = 1 + () () = 1 + () () (). + À chaque instant t > 0 on a : 37

11 () = L [ ()] = () = 1 + () 1 + () () () + () 1 + () ( + ), = () 1 + () () =. () = 1 + () Circuit RLC avec source alternative ( + ), = () 1 + () On considère que la capacité est initialement déchargé q(t = 0)=0, c.-à-d. uc(t=0)=0 et () = () t=0 L R i(t) u(t) C uc(t) () =. () + () + () () =. () + 1 () +. () + () L[()] = L. () +. () + (). + =... () +.. () + (),, () =. (), : () = : = 1, = 2, =. On considère : < 1, à : < 2 () = =

12 Théorie du signal Chapitre 3 : Transformée de Laplace Dr. Djilali Benyoucef 2 ( ) + 4. = = = = () = () = () = L [ ()], Alors, à chaque instant t > 0 on a : () = () + 2 () Figure 3 : Variation temporelle de la tension aux bornes de la capacité 39

13 Théorie du signal Chapitre 3 : Transformée de Laplace Dr. Djilali Benyoucef 5. Analyse fréquentielle L'analyse fréquentielle d'un système consiste principalement dans la détermination de sa fonction de transfert harmonique (en remplaçant l'opérateur de Laplace p par j), puis en l'étude de son module G() et son argument () en régime permanent, en fonction de la pulsation ou de la fréquence. 5.1 Système du premier ordre Un système scalaire linéaire invariant du premier ordre peut représenter par une équation différentielle du premier ordre à coefficient () + () = () () + () =. (), = = 1 Où τ est la constante du temps et k le gain statique Pour une condition initiale nulle, la transformée de Laplace de l'équation précédente donne la fonction du transfert suivante : () = () () = 1 +. ( ) = () = () = 1 + (. ) 1 +. () = arg() = () En revenant à l'exemple du circuit RC avec source alternative on à : () = 1 + () + ( + ), = () 1 + () En régime permanent, il ne reste que le second terme : () = (). ( + ), () = () = 1, = 1 + (. ) () = arg() = () 40

14 Figure 3 : Représentation de l'amplitude et le déphasage de la tension uc(t) 5.1 Système du second ordre Un système scalaire linéaire invariant du second ordre peut représenter par une équation différentielle du premier ordre à coefficient () + () + () () = () () () =.. () = = 1 2,, > 0 < 2 = 1 Où, sont respectivement la pulsation propre du système, le coefficient d'amortissement et le gain statique. Pour des conditions initiales nulles, la transformée de Laplace de l'équation précédente donne la fonction du transfert suivante : () = () () =.. ( ) = () () = () =. ( ) + 4 () = arg() = 2 ( ) 41

15 Théorie du signal Chapitre 3 : Transformée de Laplace Dr. Djilali Benyoucef En revenant à l'exemple du circuit RLC avec source alternative on à : () = () + 2 () En régime permanent, il ne reste que le second terme : () = () + 2 () () =. [( + )], = 2 ( ) + 4 ( ) On régime permanent : () = () = ( () =. () + (), ) + 4 () = 2 ( ) () Figure 4 : Représentation de l'amplitude et le déphasage de la tension uc(t) 42

16 TD n 03 : Transformée de Laplace Exercice n : 01 1-Calculer directement (par intégration) la transformée de Laplace du signal x(t) x(t) y(t) α 1 τ t τ T 2- Déduire la transformée de Laplace du signal périodique y(t) t 2T Exercice n : Par construction graphique, calculer la transformée de Laplace de x(t) et du signal périodique y(t). x(t) y(t) β t β t τ 2τ 3τ τ 2τ 3τ Exercice n : 03 On considère le montage suivant : K 1 R E K 2 L Avec R = 1Ω ; L = 100 mh ; E = 1V. Les interrupteurs K1 et K2 sont initialement ouverts. 43

17 a) A t=0, le courant dans la self est nul, on ferme l'interrupteur K1. Déterminer l'évolution temporelle du courant dans l'interrupteur. b) A t=60s, on ouvre l'interrupteur K1 et on ferme K2. Déterminer l'évolution temporelle du courant dans la résistance. Exercice n : 03 Soit le circuit suivant est alimenté par une source de tension alternative sinusoïdale u(i) = U0 sin(t). K u(t) C R u R (t) A- l'instant (t=0), on considère que l'interrupteur K est ouvert, trouver la transformée de Laplace de ur(t). B- Maintenant, à l'instant (t=0), on considère que l'interrupteur K est fermé, trouver la transformée de Laplace de ur(t). 44