Chapitre 2 : Etudes des procédés ou systèmes linéaires

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1 Chpitre 2 : Etude de procédé ou ytème linéire 1- Modèle d un procédé linéire dn le domine temporel 1.1 Sytème linéire 1.2 Linérition d un ytème ou procédé non linéire 2- Modèle d un procédé linéire dn le domine de Lplce 2.1 Fonction de trnfert 2.2 Clifiction d une fonction de trnfert 2.3 Fonction de trnfert globle de l ocition de ytème linéire 2.4 Fonction de trnfert réglnte et perturbtrice 2.5 Fonction de trnfert FTBO et FTBF 1

2 Pour déterminer une commnde performnte en régultion ou en erviement d un procédé, il et indipenble de dipoer d un modèle mthémtique de ce procédé. Ce modèle et contitué d un enemble d éqution relint, pour chque unité du procédé, le vrible de ortie à celle d entrée et ux prmètre. De telle éqution ont obtenue en écrivnt le éqution de conervtion de mtière, d énergie et de quntité de mouvement utour de chque unité du procédé. Le éqution ini obtenue pour chque unité forment le modèle de cette unité. Le modèle du procédé et contitué de l enemble de éqution de modèle de e unité et de éqution de liion entre ce dernière. A votre niveu (deuxième nnée de l ESTF, on e limiter u modèle imple d un procédé linéire ou u modèle linéire obtenu pr linérition d un procédé non linéire utour de on point de fonctionnement du régime nominle. 2

3 1- Modèle d un procédé linéire dn le domine temporel 1.1 Sytème linéire Un ytème ou procédé Linéire à Temp Invrint d ordre n (SLTI et un ytème pour lequel l entrée et l ortie ont liée pr une éqution différentielle linéire à coefficient contnt Sytème monovrible : u Sytème procédé y dy( t d y( t du( t n y( t n n bu( t + b b m m d u( t (1 m 3

4 vec m n. il fut n condition initile pour que l olution oit unique : y( t dy( n -1,,..., n -1 t Lorque le procédé tteint un régime ttionnire régime nominl crctérié pr le point de fonctionnement (u,y, l éqution (1 écrit : d y( t y b u 4

5 On poe u(t u o + U(t et y(t y o + Y(t où U(t et Y(t ont le dévition ou le vrition repectivement de l entrée et de l ortie utour du point de fonctionnement. Le modèle d éqution différentielle, utour du point de fonctionnement (u o,y o écrit lor : dy( t Y t Avec le C.I : Y(t, U(t d Y( t du( t n ( n n bu ( t + b dy(t dy(t d, 2 Y(t 2 d 2 y(t 2 d,..., n-1 Y(t n-1 b m d m d U( t (2 m n-1 y(t n-1 5

6 C et ce type de modèle utour du point de fonctionnement (u o,y o que nou utilieron ouvent en régultion Linérition d un ytème ou procédé non linéire Un procédé non linéire pourr être conidéré comme linéire (rmené à un ytème type (1 utour d un point de fonctionnement (u o,y o i U(t et Y(t retent petite. En effet, on linérie le terme non linéire dn le modèle du procédé pr un développement en érie de Tylor et on rrête à l ordre 1. Pour ce fire, nou linérition le éqution différentielle non linéire de type : 6

7 dy (t g (u (t, En régime ttionnire (4 devient : y (t (4 g(u(t, y(t g(uo, yo (5 En linérint l éqution (4 tout en tennt compte de (5, on obtient : dy(t g(u uo, y u y o (u -u + g(u o uo, y y dy ( t ou encore : b U ( t + y o (y- y Y ( t o 7

8 Exemple : conidéron l exemple du bc de tockge à extrction libre : Procédé nturellement tble q débit volumique d netrée h débit volumique de ortie q k h 8 Dipo 8

9 Biln de mtière ρ.q ou or donc - q q : ρ.q - q A q k d(a.h. ρ d(a.h - h k (terme h A dh non (cr linéire g(q ρ contnte,h en h (6 9

10 D où en linérint : g(q g (q q h (q -q,h A o Avec (q o g q,h - -q (q k 2A h o h o q (h -h o Q o,h (h -h et o h o eo (h -h (q Q o A -q - H o + k 2A h o H dh 1

11 ou encore b et H + vec 2 1 Y k h : dh e b H; Q Q ou U ; Y + 2A dy l fonction de trenfert correpondnte et 1 1 k h e b U (ytème du1 T (contnte lor: de H( Q ( er ordre temp ; Y( U( b

12 2- Modèle d un procédé linéire dn le domine de Lplce 2.1 Fonction de trnfert En ppliqunt l trnformée de Lplce à l éqution (1 ou 2 pour t, on obtient : ( n n Y( (b +b 1 + +b m m U( + P n-1 ( P n-1 ( et un polynôme de degré n-1 qui dépend de l tructure du procédé et urtout de condition initile ur l entrée et l ortie. Si toute le condition initile ont nulle, lor P n-1 (. Dn ce condition, on peut définir l Fonction de Trnfert (F.T d un ytème, ou trnmittnce, pr : H( Y( U( b m n m n b noté N( D( ou A( B( 12

13 Schém bloc d un ytème ou procédé H( U( Y( 2.2 Clifiction d une fonction de trnfert 13

14 Une fonction de trnfert peut e mettre ou pluieur forme. Pour connître i le ytème poède ou non pluieur intégrtion, on utilie l forme uivnte : H( Y( U( N( 1. + b + b 1 K α N( D( b vec m m N( 1 ; et D( 1. + D( n n et ppelée cle de l fonction de trnfert du ytème -Si, le ytème ne comporte p d intégrtion. Le ytème ou procédé et dit uto-réglnt ou nturellement tble on non évolutif. Le coefficient K et le gin ttique du ytème, on le note prfoi G et on unité et celle du rpport de unité de Y et U. 14

15 -Si ¹ lor le ytème comporte une intégrtion ( 1 ou deux intégrtion ( 2 mi rrement dvntge. Le ytème et dit intégrteur ou nturellement intble ou évolutif. L unité K et lor celle du rpport de unité de Y ur U divié pr l unité de temp à l puince Pour fire pprître le rcine du numérteur et du dénominteur de l fonction de trnfert on écrit : H( Y( U( K ( - z ( - p Le rcine du numérteur z i fonction de trnfert. Le rcine du dénominteur p i fonction de trnfert. ( - z ( - p ( - z...( - p m n ont ppelée zéro de l ont ppelée pôle de l L vleur n exprime l ordre de l fonction de trnfert. 15

16 2.3 Quelque règle lgébrique ur le chém fonctionnel. L étude d un procédé à réguler nou mène à déterminer le fonction de trnfert lint le grndeur d entrée (grndeur réglnte+grndeur perturbtrice et l grndeur de ortie à mitrier ou à réguler. Le chém fonctionnel décrit lor entièrement le ytème lorqu il comporte ce fonction de trnfert. Lorque ce ytème et compliqué, il et utile de pouvoir le implifier à l ide de quelque règle réumée dn le tbleu cideou. 16

17 Schém fonctionnel F.T. Y(z/U(z U ( H 1 ( H 2 ( Y( H 1 ( H 2 ( U( H 1 ( + Y( H 2 ( + H 1 (+ H 2 ( U ( + _ H ( Y( H( 1+ H( U ( + _ H 1 ( Y( H 2 ( H1( 1+ H (H 1 2 ( 17

18 2.4 Fonction de trnfert réglnte et perturbtrice Pour un procédé à réguler, l grndeur réglnte (grndeur d entrée et commndble vi un ctionneur qui reçoit le ignl de commnde nlogique iu du régulteur, pr exemple une intenité dn l intervlle (4,2mA. De même l grndeur réglée et meurée pr un cpteur qui délivre un ignl nlogique générlement de même nture que le ignl de commnde (4,2mA. Donc pour un procédé à réguler, l'entrée commndble à conidérer et le ignl de commnde de l ctionneur, et l ortie à conidérer et le ignl délivrée pr le cpteur qui meure l grndeur réglnte. L fonction de trnfert principle entre ce deux ignux et ppelée fonction de trnfert réglnte. 18

19 L fonction de trnfert décrivnt l reltion entre l une de utre grndeur d entrée perturbtrice (non commndble et le ignl nlogique de meure de l grndeur réglnte et ppelée fonction de trnfert perturbtrice. Exemple : conidéron l exemple du bc de tockge à extrction forcée : Procédé nturellement intble 19

20 LV u en ma ou en V q débit volumique d entrée h débit volumique de ortie q y en ma ou en V LT Pompe 2

21 Biln de mtière ρ.q ou ou oit Q A nominl d(a.h. ρ - ρ.q d(a.h q - q (cr q q dh - A A en terme de dévition - Q A : dh ρ contnte utour du régime 21

22 Pr trnformtion de Lplce on obtient : Q A ( Q A ( - H ( Soit : Q ( Q ( - A A ou Q (G ( - H( Q (G ( H( Avec : G ( G ( 1 A D où le chém fonctionnel uivnt : 22

23 Q ( (m 3 / G ( Q ( ( m3/ G ( + - H( (m Ou bien Q ( (m 3 / G ( U( (ma vnne G v ( Q ( (m3/ G ( + - Cpteur-trnmetteur H( G (m T ( H( (ma Fonction de trnfert réglnte G v (.G (.G T ( (ma/ma Fonction de trnfert perturbtrice G (.G T ( (ma/(m 3 / 23

24 2.5 Fonction de trnfert FTBO et FTBF Schém bloc ou fonctionnel d un ytème en boucle fermée Conigne Yc( % ou ma ou volt Ecrt E( % ou ma ou volt H R ( Commnde U( % ou ma ou volt H P ( Perturbtion + L 1 ( + P( Y( : G. Réglée Régulteur ou Correcteur % ou ma ou volt H T ( L 1 (, F.T perturbtrice, (Perturbtion (P Grndeur réglée G.R H P (, F.T procédé, (commnde Grndeur réglé H T (, F.T du cpteur-trnmetteur (ma/(unité G.R H R (, FT du régulteur ou correcteur 24

25 Avec : H( H P (*H T ( FT réglnte L( L 1 (*H T ( FT perturbtrice E( Yc( % ou ma ou volt % ou ma ou volt + + H R ( - U( % ou ma ou volt H ( Perturbtion + % ou ma ou volt L( + P( % ou ma ou volt Y(,%, % ou ma ou volt Schém bloc ou fonctionnel d un ytème en boucle fermée implifié 25

26 On poe FTBO( H R (.H( On montre lor directement d prè le règle lgébrique ur Le chém fonctionnel vue précédemment que : Y( FTBO( 1+ FTBO( Yc( + 1+ L( FTBO( P( Ou encore : Y( FTBF(.Yc( + 1+ L( FTBO( P( vec : FTBF( FTBO( 1+ FTBO( 26