Intervalles de fluctuations et intervalles de confiance

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1 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees Complémets e Statistique Préparatio au Capes Uiversité de Rees 1 Itervalles de fluctuatios et itervalles de cofiace Table des matières 1 Itroductio 2 2 Moyee empirique Défiitio et propriétés Loi des grads ombres (versio faible) Théorème cetral limite Itervalles de fluctuatios Calcul direct E utilisat le théorème cetral limite Comparaiso des itervalles proposés Erreurs possibles das la prise de décisio Exercices Itervalles de cofiace Première approche Secode approche Comparaiso des itervalles de cofiace proposés Exercices Gééralisatio à d autres lois Itervalles de cofiace de la moyee à variace coue Itervalles de cofiace de la moyee à variace icoue Lorsque la variace est de la forme σ 2 = g(m) Cas gééral Exercices Codes de simulatio Codes e R Codes e Scilab mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 1

2 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees Itroductio O cosidère u espace de probabilité (Ω, F, P). Ue expériece aléatoire est ue expériece réalisée selo des règles bie défiies mais dot o e peut pas prédire le résultat de faço certaie. O cosidère das ce documet le cas d ue expériece aléatoire qui a que deux résultats possibles : succès (o obtiet le résultat espéré) et échec (o obtiet pas le résultat espéré). O peut par exemple predre l exemple du jeu Pile ou Face, de la roulette au casio, du loto, d ue électio etre deux cadidats... La recherche d itervalles de cofiace pour des lois plus géérales sera rapidemet abordée das la sectio 5. La probabilité de succès de l expériece est otée p. O répète l expériece plusieurs fois de faço idépedate. O défiit X i le résultat de la ième réalisatio : { 1 si la X i (ω) = ième réalisatio est u succès, 0 si la ième réalisatio est u échec. Par coséquet, pour chaque i 1, X i suit la loi de Beroulli B(p). O e déduit que pour chaque i 1, EX i ] = p et V ar(x i ) =. Le ombre total de succès au bout de réalisatios est S = X i. Il s agit d ue variable aléatoire à valeurs das {0, 1,..., } de loi Biomiale B(, p) car o répète de faço idépedate fois la même expériece de Beroulli. Plus le ombre de réalisatios est grad plus S peut predre des grades valeurs. Regardos maiteat la fréquece de succès sur les réalisatios. 2 Moyee empirique 2.1 Défiitio et propriétés Defiitio 1. O cosidère des variables X 1, X 2,..., X idépedates et de même loi. La moyee empirique associée, otée X, est défiie par X = X i. Das le cas qui ous itéresse, chaque X i est le résultat d ue même expériece ayat deux issus. La moyee empirique est alors aussi appelée fréquece de succès. Il s agit das ce cas d ue variable aléatoire à valeurs das {0, 1, 2,..., 1}. Propriété 2. Soit X 1, X 2,..., X des variables idépedates et de même loi, d espérace m et de variace σ 2 fiies. Alors X est ue variable aléatoire d espérace m et de variace σ 2 /. Démostratio. Par liéarité de l espérace et comme les variables X i sot d espérace m, o a EX ] = 1 EX i ] = m. 13 mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 2

3 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees Par idépedace des variables X i et comme les variables X i sot de variace σ 2, o a V ar(x ) = 1 2 V ar(x i ) = σ2. Par coséquet, lorsque les variables X i suivet la loi de Beroulli B(p), X est ue variable aléatoire qui oscille autour de p et dot la variace p(1 p) dimiue lorsque gradit, ce qui sigifie que pour grad les oscillatios sot d amplitude de plus e plus faible. Exemple. Cosidéros l exemple du jeu Pile ou Face avec ue pièce bie équilibrée. La probabilité de tomber sur Pile est alors p = 1/2. Le joueur mise sur Pile. O répète 10 fois l expériece et o obtiet les résultats suivat : Pile, Face, Face, Pile, Face, Pile, Face, Face, Face, Face, Traços sur des graphiques l évolutio du ombre de Pile obteus et de la fréquece de succès e foctio du ombre de lacers. Nombre de succès e foctio du ombre de lacers Nombre de succès obteus Nombre de lacers Fréquece de succès e foctio du ombre de lacers Moyee empirique Nombre de lacers 13 mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 3

4 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees Loi des grads ombres (versio faible) O étudie l évolutio de la moyee empirique quad o augmete le ombre de réalisatios de l expériece. Exemple. O repred l exemple précédet et o augmete le ombre de lacers. O obtiet les courbes suivates pour la fréquece du ombre de succès : p= 0.5 Moyee empirique p= 0.5 Moyee empirique p= 0.5 Moyee empirique Nombre de lacers Nombre de lacers Nombre de lacers pour = 50 pour = 500 pour = E regardat ces graphiques, o a l impressio que la fréquece de succès coverge vers p = 1/2 quad deviet très grad. Cette covergece est formalisée par le théorème de la loi des grads ombres. Th eorème 3 (Loi des Grads Nombres). toto O cosidère (X i ) i 1 ue suite de variables aléatoires idépedates et de même loi, telle que E X 1 ] <. O ote m = EX 1 ] leur espérace commue. Alors X coverge e probabilité vers m lorsque +. Doc das la situatio qui ous itéresse où les X i suivet la loi B(p), la loi de grads ombres ous permet d affirmer que la fréquece de succès coverge vers p lorsque ted vers l ifii, p état la probabilité de succès. 13 mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 4

5 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees Théorème cetral limite O peut alors se demader à quelle vitesse cette covergece a lieu. Exemple. O repred otre exemple et o trace plusieurs réalisatios de la trajectoire aléatoire X (chaque réalisatio ayat ue couleur différete sur le graphique). O obtiet le résultat suivat Fréquece de succès e foctio du ombre de lacers Moyee empirique Nombre de lacers O observe que la covergece est plutôt lete. Essayos différetes foctioelles pour évaluer la vitesse de covergece (courbe tracée e oir). Moyee empirique p + 1 p 1 Moyee empirique p + 1 log() p 1 log() Nombre de lacers Nombre de lacers la vitesse semble mois rapide que la vitesse semble plus rapide que l() Moyee empirique p + log() p log() Moyee empirique p + 1 p Nombre de lacers Nombre de lacers la vitesse semble mois rapide que l() la vitesse semble de l ordre de. Regardos maiteat si la vitesse de covergece déped peut-être de la valeur de la probabilité p de succès, i.e. regardos si la vitesse est toujours satisfaisate lorsqu o pred différetes valeurs de p. 13 mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 5

6 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees Das les graphiques ci-dessous, o a tracé plusieurs réalisatios de la trajectoire X et les courbes d équatio p ± 1 (e oir), pour différetes valeurs de p : Moyee empirique Moyee empirique Moyee empirique Nombre de lacers Nombre de lacers Nombre de lacers pour p = 0.1, pour p = 0.5, pour p = 0.9. La vitesse semble toujours e quelque soit la valeur de p, même si elle est mieux adaptée lorsque p = 1/2. La vitesse de covergece réelle de la moyee empirique vers l espérace est doée par le théorème cetral limite. Th eorème 4 (Théorème Cetral Limite). toto O cosidère (X i ) i 1 ue suite de variables aléatoires idépedates et de même loi, telle que EX1 2] <. O ote m = EX 1 ] et σ 2 = V ar(x 1 ) leur espérace et leur variace commue. Alors ( X σ 2 m ) coverge e loi vers la loi ormale cetrée réduite N (0, 1) lorsque +. Par coséquet, d après le théorème cetral limite, das la situatio qui ous itéresse où les X i suivet la loi B(p), la fréquece de succès coverge vers p à vitesse. p(1 p) 3 Itervalles de fluctuatios O cosidère toujours la situatio d ue expériece aléatoire qui a que deux résultats possibles : succès et échec. La probabilité de succès p est coue. O répète l expériece fois de faço idépedate et o se demade où se situe la fréquece de succès e foctio du ombre de réalisatios. Defiitio 5. Soit X 1,..., X des variables idépedates de loi de Beroulli B(p). U itervalle de fluctuatios de la fréquece de succès au iveau de cofiace 1 α est u itervalle détermiiste I f = a, b], avec a, b R tel que P(X I f ) = 1 α. La quatité α est l erreur que l o s autorise, elle est appelée iveau de risque. Elle est e gééral petite. 13 mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 6

7 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees Calcul direct Das la situatio que l o cosidère S = X i suit la loi Biomiale B(, p), qui est ue loi bie coue. Par coséquet, pour trouver u itervalle de fluctuatios I f = a, b] de la fréquece de succès, il faut trouver, à l aide de la foctio de répartitio de la loi biomiale, des réels a, b tels que Les valeurs de a et b vot dépedre de p, et de α. P(a S b) = P(S b) P(S < a) = 1 α. À l aide d u tableur, o obtiet les valeurs de la foctio de répartitio de la loi biomiale B(, p) pour différetes valeurs de et de p. Il y a pas uicité des valeurs de a et b satisfaisat les coditios de l itervalle de fluctuatio. Il faut par coséquet faire u choix. Exemple. Ue persoe achète toutes les semaies u jeu de grattage. La probabilité de succès du jeu est 10%. Cette persoe aimerait coaitre au iveau de risque 5% qu elle va être sa fréquece de succès sur ue aée. O a doc = 52 et p = 0.1. Comme il y a pas uicité de a et b, o fait le choix de predre a tel que P(S 52 < 52 a) soit de l ordre de et b tel que P(S b) de l ordre de O aura alors P(X 52 a, b]) = E utilisat le tableur, o trouve les valeurs de la foctio de répartitio F (k) = P(S 52 k) de la loi B(52, 0.1). O obtiet pour les premières valeurs k F (k) k F (k) O remarque que pour 52 a = 2 et 52 b = 10, o obtiet P(X 52 a, b]) Par coséquet, au iveau de risque 4%, la persoe aura ue fréquece de succès comprise etre 2/52 et 10/ mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 7

8 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees Lorsque le ombre de réalisatios est grad, le calcul de la foctio de répartitio de la loi biomiale est fastidieux. Au vu des graphiques présetés das la sectio 2.3, o peut supposer, pour assez grad, avec u iveau de risque assez faible (mais dot o e coaît pas la valeur), que la fréquece de succès est das l itervalle I f = p 1, p + 1 ]. (1) Cepedat, d après les deriers graphiques de la sectio 2.3, ces itervalles e sot pas forcémet optimaux pour toutes les valeurs de p. E effet, quad p est proche de 0 ou de 1, o a tedace à ecadrer de faço trop grossière la fréquece de succès. 3.2 E utilisat le théorème cetral limite D après le théorème cetral limite, lorsque est grad, la loi de p(1 p)( X p ) est proche de la loi ormale N (0, 1). Sur les graphiques ci-dessous, o a tracé l évolutio de l histogramme (e rouge) associé à la variable p(1 p)( X p ), pour p = 0.3, e foctio de. O observe qu il coverge vers la desité ormale N (0, 1) (courbe tracée e oir) = 1, p= = 5, p= = 10, p= = 50, p= = 100, p= = 1000, p= 0.3 Si o trouve u itervalle I f = a, b] tel que P(Z a, b]) = 1 α où Z N (0, 1), alors pour suffisammet grad ( ) ( ( P p a X p + b = P X p ) ) a, b] P(Z a, b]) = 1 α. 13 mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 8

9 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees Il y a pas uicité de a et b vérifiat P(Z a, b]) = 1 α. O peut par exemple predre a = b (ce choix déped e fait de la situatio cosidérée). Par symétrie de la loi ormale N (0, 1), o a P( Z t) = 2P(Z t) 1. Par coséquet, il faut trouver t α tel que P(Z t α ) = 1 α/2. Cette valeur est obteue e utilisat ue table de la loi ormale. Par exemple, pour α = 5%, o obtiet t α = Coclusio Soit t α choisit tel que P( Z t α ) = 1 α. Pour assez grad, ] I f = p t α, p + t α (2) est u itervalle de fluctuatios de la fréquece de succès au iveau de cofiace de l ordre de 1 α. 3.3 Comparaiso des itervalles proposés O a proposé deux itervalles de fluctuatios doés par les formules (1) et (2). Peut-o comparer ces itervalles? O remarque que la foctio p est positive et atteit la valeur maximale 1/4 e p = 1/2. O a 1 p 0, 1], 2. Lorsque α = 5%, o a t α = 1.96 et doc Par coséquet, pour α = 5%, o e déduit p 0, 1], p 1.96 p 0, 1], , p ] p 1, p + 1 ] Quad α = 5%, l itervalle défiit par (2) est u meilleur itervalle de fluctuatios que celui défiit par (1) et quad α 5%, l itervalle (1) a pas de ses. Sur les graphiques ci-dessous, o compare les itervalles de fluctuatios (1) et (2) pour différetes valeurs de p : Moyee empirique p= 0.2 p + 1 p + t t= 1.96 Moyee empirique p= 0.5 p + 1 p + t t= 1.96 Moyee empirique p= 0.9 p + 1 p + t t= Nombre de lacers Nombre de lacers Nombre de lacers pour p = 0.2 pour p = 0.5 pour p = 0.9. O observe que pour p = 1/2, ils sot quasimet cofodus, ce qui était prévisible car 1.96 est alors très proche de mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 9

10 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees Erreurs possibles das la prise de décisio Les itervalles de fluctuatios sot u outil itéressat pour la prise de décisio. E effet, lorsqu o e coaît pas la probabilité de succès d ue épreuve de Beroulli (probabilité de gager à u jeu aléatoire, proportio de pièces défectueuses,...), o peut émettre ue hypothèse sur sa valeur. O réalise alors plusieurs réalisatios de l épreuve de Beroulli et au vu de la valeur de la moyee empirique o pourra rejeter ou pas l hypothèse de départ. Si la moyee empirique est pas das l itervalle de fluctuatios, o aura tedace à rejeter l hypothèse et si elle est das l itervalle, o sera ecli à e pas rejetter l hypothèse. C est ce qu o appelle ue prise de décisio. Il faut savoir qu il y a deux erreurs possibles. Erreur de première espèce : rejeter l hypothèse alors qu elle est vraie. U itervalle de fluctuatio est costruit avec u certai iveau de cofiace 1 α fixé à l avace. La quatité α correspod à la probabilité de rejeter à tord l hypothèse. Plus α est petit, mois o rejetera l hypothèse, ce qui ous amèe à l autre type d erreur. Erreur de secode espèce : accepter l hypothèse alors qu elle est pas vraie. Autat, la première erreur est cotrôlée par α, autat cette secode erreur est absolumet pas cotrôlée. Elle peut arriver avec ue forte probabilité. De maière géérale, si la moyee empirique X est pas das l itervalle de fluctuatio, o rejette l hypothèse et si X est das l itervalle de fluctuatio, o e rejette pas l hypothèse. Ne pas rejeter l hypothèse e sigifie pas qu elle est vraie... mais das la réalité, il faut predre ue décisio et doc souvet o accepte l hypothèse das ce cas de figure. 3.5 Exercices Exercice 1. Repreos le cas de la persoe qui achète toutes les semaies u jeu de grattage. La probabilité de succès du jeu est 10%. Cette persoe aimerait coaitre au iveau de risque 5% qu elle va être sa fréquece de succès sur ue aée. Faire le calcul de trois maières différetes et comparer les itervalles de fluctuatios obteus. Corrigé. Le modèle probabiliste associé à l expériece est le suivat. O itroduit les variables aléatoire X i qui représetet le résultat du ième jeu. O a X i = 1 si le jeu est gagat et X i = 0 si le jeu est perdat. Les variables X i sot idépedates et de loi de Beroulli B(0.1). Par ailleurs, il y a 52 semaies das ue aée. L expériece est doc répétée = 52 fois. O sait que S 52 = 52 X i suit le loi biomiale B(52, 0.1). E utilisat la foctio de répartitio de la loi biomiale, o trouve l itervalle I 1 = 2/52, 10/52] = 0.038, 0.192] (cf l exemple de la sectio 3.1). E utilisat l itervalle défiit par la formule (1), o obtiet l itervalle I 2 = 0.038, 0.239]. E utilisat la formule (2) basée sur le théorème cetral limite, o obtiet l itervalle I 3 = 0.018, 0.181]. Le derier itervalle obteu est très proche de celui obteu à l aide de la loi biomiale, par cotre le secod est trop grossier. Exercice 2. U joueur qui doit choisir au hasard ue carte das u jeu de 32 cartes obtiet certais avatages s il découvre u roi. O costate qu il a retouré 11 fois u roi sur 50 essais. Peut-o présumer, au risque de 5%, que ce joueur est u tricheur? Corrigé. La probabilité de tirer u roi das u jeu de 32 cartes est p = 4/32 = 1/8. O itroduit les variables aléatoire X i qui représetet le résultat du ième jeu. O a X i = 1 si le joueur obtiet u roi et X i = 0 si le joueur obtiet ue autre carte qu u roi.les variables X i sot idépedates et de loi de Beroulli B(1/8). 13 mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 10

11 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees O utilise la formule (2) pour calculer l itervalle de fluctuatios, car la probabilité de succès est proche de 0 et o sait que la formule (1) est trop grossière das ce cas. Si le joueur e triche pas, au iveau de cofiace de l ordre 95%, la fréquece de succès doit être das l itervalle 1 7 I 2 = , 1 ] = 0.033, 0.217]. 50 Le joueur a obteu ue fréquece de succès de 11/50 = 0.22 qui est hors de l itervalle de fluctuatios. Par coséquet, au iveau de risque 5%, o peut mettre e doute l hoêteté du joueur. 4 Itervalles de cofiace O cosidère ue expériece aléatoire qui a que deux résultats possibles : succès et échec. O suppose maiteat que la probabilité de succès p est icoue, ce qui est ue grade différece avec ce que l o a fait jusqu à préset. O peut peser par exemple à ue électio etre deux participats ou à la proportio de pièces défectueuses das u lot de grade taille. Le but est d estimer la valeur de p. Pour cela, o cosidère u échatillo X 1,..., X de variables idépedates de loi de Beroulli B(p). La valeur de chaque X i est coue. O a, par exemple, effectué u sodage sur u échatillo de la populatio pour coaitre les itetios de vote, o a prélevé au hasard u échatillo du lot de pièces usiées pour e comptabiliser le ombre de pièces défectueuses, o a joué plusieurs fois à Pile ou Face pour estimer la probabilité de tomber sur Pile,... Defiitio 6. Soit X 1,..., X des variables idépedates de loi de Beroulli B(p), avec p ]0, 1 icou. U itervalle de cofiace de la probabilité de succès p au iveau de cofiace 1 α est u itervalle aléatoire I c = a, b], avec a et b qui dépedet de l échatillo X 1,..., X, tel que p ]0, 1, P(p I c ) = 1 α. La quatité α est l erreur que l o s autorise, elle est appelée iveau de risque. Elle est e gééral petite. U itervalle de cofiace asymptotique pour p au iveau de cofiace 1 α est ue suite d itervalles aléatoires Ic tel que p ]0, 1, lim P(p I c ) = 1 α. Attetio! U itervalle de cofiace e doit pas dépedre de l icoue p. O doit pouvoir le calculer à partir de la seule coaissace des valeurs de l échatillo X 1,..., X. Remarque 7. U cadidat aturel pour estimer la probabilité de succès est la moyee empirique (aussi appelée fréquece de succès) X, qui comme o l a vu das la sectio 2.2, coverge e probabilité vers p lorsque +. Comme E X ] = p, l estimateur X est dit estimateur sas biais de l icoue p. O souhaite maiteat costruire des itervalles de cofiace. 13 mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 11

12 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees Première approche O e peut pas travailler directemet sur la loi de X, car o e coait pas le paramètre p de la loi Biomiale B(, p). Le Théorème Cetral Limite permet d approcher sa loi par ue loi ormale, quelque soit la valeur de p. Soit t α tel que P( Z t α ) = 1 α où Z N (0, 1). Cette valeur t α est obteue e utilisat ue table de la loi ormale. D après le théorème cetral limite, pour assez grad, o a p ]0, 1, ( ]) ( P p X t α, X + t α = P X p ) t α Malheureusemet, l itervalle pas être u itervalle de cofiace. P( Z t α ) = 1 α. ] p(1 p) p(1 p) X t α, X + t α déped de l icoue p et doc il e peut O peut cepedat réutiliser l argumetatio de la sectio 3.3. Lorsque α = 5%, o a t α = 1.96 et p 0, 1], Par coséquet, pour α = 5%, o a ] p ]0, 1, X 1.96, X X 1, X + 1 ]. D où, pour assez grad, p ]0, 1, ( P p X 1, X + 1 ]) L itervalle ] X 1, X + 1 est u itervalle de cofiace asymptotique pour p de iveau de cofiace supérieur à 95%, quad est grad. 4.2 Secode approche Comme o e coaît pas p, o e coaît pas o plus la variace des X i : V ar(x 1 ) =. C est ce qui ous empêche d utiliser directemet le théorème cetral limite. Cepedat, d après la loi des grads ombres, la moyee empirique X coverge vers p. O e déduit que, X ( 1 X ) coverge e probabilité vers V ar(x1 ) = lorsque +. Il est alors aturel d approcher la valeur de la variace par X ( 1 X ) pour assez grad et d utiliser cette approximatio pour costruire u itervalle de cofiace. Il existe e fait ue gééralisatio du théorème cetral limite qui permet d affirmer que X ( 1 X )( X p ) coverge e loi vers la loi ormale cetrée réduite N (0, 1) lorsque mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 12

13 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees O e déduit que si t α est choisi tel que P( Z t α ) = 1 α où Z N (0, 1), pour assez grad, o a p 0, 1], ( ) ( ) X 1 X X 1 X P p X t α, X + t α 1 α. Par coséquet, l itervalle X ] X (1 X ) X (1 X ) t α, X + t α est u itervalle de cofiace asymptotique pour p de iveau de cofiace de l ordre de 1 α (t α = 1.96 pour α = 5%). 4.3 Comparaiso des itervalles de cofiace proposés Comme o avait procédé pour les itervalles de fluctuatios, o peut comparer les deux itervalles de cofiace proposés, le premier ayat du ses que lorsque α = 5%. O pose doc α = 5%. Sur les graphiques ci-dessous o trace l évolutio e foctio de des deux itervalles de cofiace proposés pour différetes valeurs de p. Moyee empirique p= 0.2 X + 1 X(1 X) X Moyee empirique p= 0.5 X + 1 X(1 X) X Moyee empirique p= 0.9 X + 1 X(1 X) X Nombre de lacers Nombre de lacers Nombre de lacers pour p = 0.2 pour p = 0.5 pour p = 0.9. Ces courbes sot plus chaotiques que celles des itervalles de fluctuatios car les itervalles de cofiace sot cetrés sur X qui varie e foctio de. O remarque que la vraie valeur p est pas toujours das l itervalle de cofiace, ce qui est ormal car la probabilité d avoir fait ue erreur est de l ordre de α = 5%. 4.4 Exercices Exercice 3. Lors d ue equête d opiio, o a déombré 81 persoes satisfaites d u produit sur 1681 iterrogées. E admettat que les persoes de l échatillo ot été prises au hasard das ue grade populatio, doer l itervalle de cofiace de la proportio p de persoes satisfaites das la populatio totale, avec ue probabilité de cofiace de Corrigé. Le modèle probabiliste lié à l expériece est le suivat. O itroduit X i la variable aléatoire représetat l opiio du ième idividu. O a X i = 1 si la ième persoe iterrogée est satisfaite et X i = 0 sio. Les variables X i sot supposées idépedates car les persoes sot choisies au hasard et suivet la loi de Beroulli B(p), où p est la proportio de persoes satisfaites das la populatio etière. Par coséquet, ] X (1 X ) X (1 X ) X 1.96, X est u itervalle de cofiace pour p de iveau de cofiace 13 mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 13

14 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees de l ordre de 95%, pour est grad. Ici = 1681 et ue réalisatio de la fréquece de succès X est 81/1681. Par coséquet, ue réalisatio de l itervalle de cofiace au iveau de risque 5% est 0.038, 0.058], ce qui doe ue estimatio de la valeur de p. Exercice 4. O veut coaître la prévalece d ue maladie chroique das ue populatio doée. O extrait au hasard de cette populatio u échatillo d effectif 400 et o observe que 16 persoes sot porteurs de la maladie. 1. Détermier u itervalle de cofiace de la prévalece de la maladie das la populatio, au risque de 5 %. 2. Quelle doit être la taille miimale de l échatillo si l o souhaite ue étedue de l itervalle de cofiace iférieure ou égale à 0.02, toujours au risque de 5%? Corrigé. O e coaît pas la probabilité p d être malade. O regarde u échatillo X 1,..., X 400 de loi B(p) où X i = 1 si le ième idividu est malade et X i = 0 sio. ] X 400(1 X 400) X 400(1 X 400) 1. L itervalle X , X est u itervalle de cofiace pour p de iveau de cofiace de l ordre de 95%. Ue réalisatio de cet itervalle est 0.021, 0.059], ce qui doe ue estimatio de p. 2. Si o chage la valeur de, o chage a priori la valeur de la moyee empirique. Cepedat, o remarque que quelque soit la valeur de X, ( ) ( ) X 1 X X 1 X X 1.96, X X 1, X + 1 ]. Par coséquet, si , alors l étedue de l itervalle de cofiace sera iférieure ou égale à Il faut doc Gééralisatio à d autres lois La loi des grads ombres et le théorème cetral limite s appliquet à importe quelle loi ayat u momet d ordre 2 fii. O peut gééraliser la costructio d itervalles de cofiace pour la moyee à des lois plus géérales. Defiitio 8. O appelle échatillo (de taille ) u uplet (X 1,..., X ) de variables aléatoires idépedates et de même loi. O cosidère u échatillo de variables aléatoires X 1,..., X. O ote m = EX 1 ] et σ 2 = V ar(x 1 ). O e coaît pas m et o aimerait l estimer au mieux à partir de l échatillo. Defiitio 9. Soit X 1,..., X des variables idépedates de même loi telle que E X 1 ] <. O ote m = EX 1 ] l espérace commue. Le paramètre m est icou. O appelle estimateur de m toute variable aléatoire m s écrivat sous la forme m = f(x 1,..., X ). 13 mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 14

15 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees U estimateur de m e doit évidemmet pas dépedre de l icoue m. Il existe ue ifiité d estimateurs. Par exemple, m = 10, m = X 1 X 2, m = (X 1 + X)e 2 X 3 sot des estimateurs de m. O va essayer de chercher des estimateurs ayat de boes propriétés, comme par exemple qui coverget vers l icoue m lorsque la taille de l échatillo ted vers l ifii. D après la Propriété 2, o sait que la moyee empirique X = X i/ est ue variable aléatoire d espérace m et de variace σ 2 /. Cette variable oscille par coséquet autour de la valeur icoue m (elle est dite sas biais) et pour assez grad les oscillatios sot d amplitude assez faible. Par ailleurs, d après la loi des grads ombres, X coverge e probabilité vers m lorsque (voir sectio 2.2). Trouver u bo estimateur de l icou m permet d estimer poctuellemet m. Mais o e sait pas si la vraie valeur de m est proche ou pas de l estimatio poctuelle choisie. Pour estimer où se trouve la vraie valeur avec ue probabilité assez forte, o itroduit la otio d itervalle de cofiace. Defiitio 10. Soit X 1,..., X des variables idépedates de même loi avec E X 1 ] <, d espérace commue m = EX 1 ]. U itervalle de cofiace de la moyee m au iveau de cofiace 1 α est u itervalle aléatoire I c = a, b], avec a et b qui dépedet de l échatillo X 1,..., X, tel que m R, P(m I c ) = 1 α. U itervalle de cofiace asymptotique de m au iveau de cofiace 1 α est ue suite d itervalles aléatoires Ic tel que m R, lim P(m I c ) = 1 α. 5.1 Itervalles de cofiace de la moyee à variace coue D après le théorème cetral limite, si o choisit t α tel que P( Z t α ) = 1 α où Z N (0, 1), o a, pour grad, ( P X σ 2 m ) ( tα = P m X σ t α, X + σ ]) t α P( Z t α ) = 1 α. ] Quad la variace σ 2 est coue, l itervalle X σ t α, X + σ t α est alors u itervalle de cofiace de la moyee m au iveau de cofiace 1 α lorsque est assez grad. Exemple. Regardos le cas particulier où les variables X i suivet la loi ormale N (m, 1). Das ce cas, comme les variables sot idépedates, o coaît explicitemet la loi de X qui est la loi ormale N (m, 1/). Par coséquet, ( X m ) suit la loi N (0, 1). Doc si t α est choisi tel que P( Z t α ) = 1 α où Z N (0, 1), o a pour tout 1 ( P m X 1 t α, X + 1 ]) t α = 1 α. L itervalle ] X 1 t α, X + 1 t α cofiace 1 α, pour tout 1 (cet itervalle est pas asymptotique). est alors u itervalle de cofiace de la moyee m au iveau de 5.2 Itervalles de cofiace de la moyee à variace icoue Lorsque la variace est icoue, comme das le cas de la loi de Beroulli, o a besoi d estimer aussi ce paramètre. 13 mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 15

16 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees Lorsque la variace est de la forme σ 2 = g(m) O cosidère das cette partie le cas où la variace s écrit sous la forme σ 2 = g(m) où g est ue foctio cotiue. Par exemple, das le cas où les X i suivet la loi B(p), o a g(x) = x(1 x). D après la loi des grads ombres, X est u estimateur de m qui coverge e probabilité vers m. Comme la foctio g est cotiue, g(x ) coverge e probabilité vers g(m) = σ 2 quad m. U estimateur aturel de σ 2 est alors g(x ). D après la gééralisatio du théorème cetral limite, o a ( X m ) coverge e loi vers la loi ormale cetrée réduite N (0, 1) lorsque +. g(x ) De ce résultat, e repreat le même raisoemet que pour la loi de Beroulli, o] e déduit que, si t α g(x est choisi tel que P( Z t α ) = 1 α, l itervalle X ) g(x t α, X + ) t α est u itervalle de cofiace asymptotique pour m de iveau de cofiace de l ordre de 1 α. Exemple. O cosidère u échatillo X 1,..., X de loi de Poisso P(λ) avec λ icou. La loi de Poisso satisfait EX 1 ] = λ et V ar(x 1 ) = λ. Par coséquet, X est à la fois u estimateur sas biais de l espérace et de la variace. O e déduit que si t α est choisi tel que P( Z t α ) = 1 α, X X t α, X + l ordre de 1 α. 5.4 Cas gééral ] X t α est u itervalle de cofiace asymptotique pour λ de iveau de cofiace de La variace e s écrit pas forcémet comme ue foctioelle de l espérace. Par ailleurs, même si o peut l écrire sous la forme σ 2 = g(m), e gééral l estimateur g(x ) est pas cetré autour de σ 2. O itroduit maiteat u estimateur de la variace qui a de boes propriétés quelque soit la loi des X i. Defiitio 11. O cosidère des variables X 1, X 2,..., X idépedates et de même loi. O défiit la variace empirique de l échatillo par σ 2 = 1 ( ) 2. Xi X Propriété 12. Soit X 1, X 2,..., X de variables idépedates et de même loi, d espérace m et de variace σ 2 fiies. Alors 1. σ 2 = 1 X2 i X σ 2 est ue variable aléatoire d espérace 1 σ2. 3. σ 2 coverge e probabilité vers σ 2 quad. Remarque 13. L estimateur est dit biaisé car so espérace est pas égale à σ 2. Cepedat estimateur sas biais de σ 2 et qui coverge e probabilité vers σ 2 quad. 1 σ2 est u Démostratio. 1. O développe le carré das la somme et o obtiet σ 2 = 1 Xi 2 2 X i X + X 2 = 1 Xi 2 X mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 16

17 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees E utilisat EX ] = m et V ar(x ) = σ 2 / et e développat le carré, o a E σ 2 ] 1 = = 1 (Xi ) ] 2 E m + m X E (X i m) 2] 2 = σ 2 V ar(x ) = 1 σ2. E (X i m) ( X m )] (X + E m ) ] 2 3. D après la loi des grads ombres, X coverge e probabilité vers m. Par coséquet, X 2 coverge e probabilité vers m 2. Par ailleurs, e appliquat la loi des grads ombres à la suite de variables (X 2 i ) i 1 qui sot idépedates et de même loi, o obtiet que 1 X2 i coverge e probabilité vers EX 2 1 ]. Comme σ2 = EX 2 1 ] m2, o e déduit que σ 2 coverge e probabilité vers σ 2 quad. Remarque 14. Lorsque l échatillo X 1, X 2,..., X suit la loi de Beroulli B(p), alors σ 2 = X X 2 = X ( 1 X ). E effet, das ce cas X 2 i = X i. O retrouve l estimatio de la variace utilisée das la sectio 4.2. Comme σ 2 coverge e probabilité vers σ 2 quad, e utilisat la gééralisatio du théorème cetral limite, o obtiet que ( X m ) coverge e loi vers la loi ormale cetrée réduite N (0, 1) lorsque +. σ 2 ] Par coséquet, pour t α est choisi tel que P( Z t α ) = 1 α, l itervalle X σ t α, X + σ t α est u itervalle de cofiace asymptotique pour m de iveau de cofiace de l ordre de 1 α. 5.5 Exercices Exercice 5. O cosidère X 1,..., X u échatillo de loi E(λ), avec λ > 0 icou. Trouver u itervalle de cofiace à 95% de λ. Corrigé. Das le cas de la loi expoetielle, o a EX 1 ] = 1/λ et V ar(x 1 ) = 1/λ 2. Par coséquet, d après la loi des grads ombres X coverge e probabilité vers 1/λ et d après le théorème cetral limite gééralisé ( X X 1 ) coverge e loi vers la loi ormale cetrée réduite N (0, 1) lorsque +. λ Comme α = 5%, o pred t α = 1.96 et doc pour assez grad ( X P X 1 ) ( λ 1.96 = P X X λ X ) X ( ( = P X ) 1 ( λ X 1.96 ) ) X X 13 mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 17

18 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees Doc ( ) 1, ) ] 1 X X (X 1.96 X est u itervalle de cofiace de λ de iveau de l ordre de 95% pour grad. Autre méthode : O peut das le cas particulier de la loi expoetielle, utiliser le Théorème Cetral Limite classique. E effet, comme V ar(x 1 ) = 1/λ 2, o a, pour assez grad, ( P λ X 1 ) λ 1.96 = P ( λx ) P( Z 1.96) = Cepedat, Par coséquet, I = cofiace 95%. { λx 1 } { ( 1 = ) λ 1 ( )}. X X ( ( )] X ), X est u itervalle de cofiace asymptotique au iveau de Exercice 6. Vigt adultes fracophoes ot fait l objet d ue expériece de mémoire. Le temps pris pour appredre ue liste de 5 verbes allemads a été eregistré pour chaque persoe. Ceci a doé les résultats suivats (e miutes) : Calculer la moyee et l écart type de l échatillo 2. Établir u itervalle de cofiace (α = 5%) du temps moye écessaire à u fracophoe pour appredre la liste des 5 verbes allemads. 3. O dit qu u fracophoe e peut appredre qu u verbe par miute. Est-ce que cette affirmatio est justifiée par le résultat obteu das la questio précédete? Corrigé. O itroduit le modèle probabiliste suivat. La variable X i représete ici le temps mis par la persoe i pour appredre 5 verbes allemad. O e coaît pas la loi des X i, par coséquet o se permet d utiliser abusivemet l approximatio par la loi ormale même si = 20 est pas si grad. 1. La moyee de l échatillo est et sa variace Ne coaissat pas la loi des X i, o doit utiliser l itervalle de cofiace faisat iterveir la variace empirique. O obtiet alors l itervalle de cofiace pour la moyee m au iveau de cofiace 95% I c = X 1.96 σ, X σ ] dot ue réalisatio est 5.03, 5.42]. 3. Selo le résultat du sodage, au iveau de risque 5%, il semble qu u fracophoe appree mois d u verbe par miute. Exercice 7. Ue etreprise reçoit u lot importat de pièces fabriquées e série. Das u échatillo de 200 pièces, 15 sot défectueuses. 1. Doer u itervalle de cofiace de la proportio p de pièces défectueuses das tout le lot. 2. L etreprise accepte la livraiso que si la proportio p de pièces défectueuses est de 5%. Que coclure au iveau de risque 1%? 13 mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 18

19 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees E fait, il est plus réaliste de peser que l etreprise accepte la livraiso que si la proportio p de pièces défectueuses est iférieure à 5%. Commet répodre à cette questio? Corrigé. Le modèle probabiliste associé à l expériece est le suivat. O itroduit X i la variable aléatoire correspodat à l état de la ième pièce et p la proportio de pièces défectueuses das tout le lot. Comme les pièces sot fabriquées e série, o peut supposer que chaque pièce a la même proportio d être défectueuse. Les pièces état choisies au hasard, il est aturel de supposer que les variables X i sot idépedates de loi B(p). 1. Pour α = 0.01, o a t α = U itervalle de cofiace de p au iveau de cofiace 99% est doé par ( ) ( ) X X200 X X200 X dot ue réalisatio est 0.027, 0.123]. 200, X Si l etreprise a raiso, la valeur de p est 5%, et doc la moyee empirique devrait être, au iveau de cofiace 99%, das l itervalle de fluctuatio ] p 2.57, p 2.57 = 0.01, 0.089] Ue réalisatio de la moyee empirique X 200 vaut qui est das cet itervalle de fluctuatios, o e peut doc pas rejeter, au iveau de risque 5%, l hypothèse que la proportio de pièces défectueuses est 5%. L etreprise peut predre la décisio d accepter le lot. 3. Si l etreprise souhaite que la proportio de pièces défectueuses soiet iférieure à u certai iveau, elle va avoir tedace à rejeter le lot si la moyee empirique est trop grade. Par coséquet, cherchos u itervalle de fluctuatios de la forme 0, a]. E utilisat la même méthode que das le cours et otammet le théorème cetral limite, le réel a va vérifier pour tout p 0, 5%] P ( X > a ) ( P Z > ) a p = α où Z N (0, 1), puisque P(X 0, a]) = 1 P(X > a). E utilisat la table de la loi ormale, o obtiet a p = 2.32, d où a = p p(1 p) p(1 p). O remarque que pour tout p 5%, o a ] ] , p , Par coséquet, pour tout p 5%, ( ) ( ) P X P X p Si la vraie proportio p de pièces défectueuses est iférieur à 5%, ] alors avec u iveau de cofiace supérieur à 0.95, X est das l itervalle 0, , qui vaut 0, 0.085] pour = Au iveau de cofiace de l ordre de 95%, o e rejete pas l hypothèse que la proportio de pièces défectueuses est iférieure à 5% et l etreprise accepte le lot. 13 mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 19

20 Complémets e statistique. Préparatio au Capes. Uiversité de Rees Codes de simulatio Les codes de simulatios des graphes présets das ce documet sot mis à votre dispositio à la fois e R et Scilab. Choisissez etre ces deux logiciels, celui avec le quel vous êtes le plus à l aise, ils sot tous les deux très efficaces pour ce type de simulatio. 6.1 Codes e R Les simulatios présetes das ce documet ot été effectuées avec le logiciel R. Ce logiciel est gratuit et téléchargeable sur la page ou sur N hésitez pas à utiliser l aide de R, elle est très bie documetée. Vous trouverez, sous l oglet Cotributed, sur la page plusieurs mauels (ombreux sot e fraçais), dot otammet celui de Emmauel Paradis R pour les débutats. 6.2 Codes e Scilab U autre logiciel gratuit pour réaliser des simulatios est Scilab. Il est téléchargeable sur la page L aide de Scilab est très bie documetée. Vous trouverez, sous l oglet Ressources, sur la page plusieurs aides et otammet de très bos tutoriels 13 mars Copyright c Hélèe Guéri. Uiversité de Rees 1 20