Chapitre 5 Les logarithmes

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1 Chapitre 5 Les logarithmes A) La fonction ln(x) : logarithme néperien Nous avons vu que nous ne savions pas exprimer la primitive de la fonction inverse avec des fonctions connues. Alors inventons cette fonction (on en a le droit grâce au théorème d existence de primitive, la fonction 1/x étant continue dérivable sur ]0 ; + [. 1) Définition On appelle logarithme néperien et on note ln(x) la fonction définie sur ]0 ; + [ qui admet 1/x comme fonction dérivée sur cet intervalle et qui s annule pour x = 1. 2) Propriétés a) Croissance La dérivée de ln(x) étant 1/x sur ]0 ; + [, cette dérivée est toujours strictement positive sur l intervalle et donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + [. Par conséquent, si deux nombres positifs a et b vérifient l équation ln(a) = ln(b), alors a = b. Exemples d application : I) Soit x > 0 avec ln(x) = ln(3) Quelle sera la valeur de x? (x = 3) II) Soit x > 0 tel que ln(x² - 5) = ln(4) Que vaut x? (x² 5 = 4 donc x² = 9 d'où x = 3 ou -3) b) Logarithme d un produit Soit a un réel > 0, et soit g(x) = ln(ax) La dérivée de g(x) sera g (x) = a.(1/ax) = a/ax = 1/x. G(x) est donc aussi une primitive de 1/x, d où g(x) = ln(x) + c Or ln(1) = 0 par définition donc g(1) = c soit ln(a) = c, ou encore c = ln(a). On a donc ln(ax) = ln(x) + ln(a) et ceci est vrai pour tous a et x réels positifs, soit x et y réels positifs, on aura ln(xy) = ln(x) + ln(y) Autrement dit, «Le logarithme transforme le produit en addition». Exemples : I) ln(2x) = ln(2) + ln(x) II) ln(x²) = ln(x) + ln(x) = 2 ln(x) III) ln(4x 5 ) = ln(4) + 5 ln(x) IV) Résoudre ln(x) + ln(3) = ln(5) (x =5/3, et non 3/5 comme dans le livre!) V) Résoudre 3ln(x) = ln(9) + ln(3) (x = 3) Page 1

2 VI) Avec la calculatrice : calculer ln(16), diviser par 2 puis comparer avec ln(4) puis rediviser par 2 et comparer à ln(2). VII) Refaire de même avec ln(27) en divisant par 3 et comparer à ln(3). (27 = = 4² 4 = 2²) c) Logarithme d un quotient ou d un inverse On sait que ln(1) = 0. Soit x > 0 ln(x/x) = ln(1) = 0 et ln(x/x) = ln(x.1/x) = ln(x) + ln(1/x) Donc, ln(1/x) = - ln(x) De même, ln(x/y) = ln(x.1/y) = ln(x) + ln(1/y) = lnx lny Donc, ln(x/y) = ln(x) ln(y) (La division devient soustraction) Exemple : Résoudre ln(x/4) = 2ln(2) ln(x). (x/4 = 2 2 /x <=> x 2 = 16 <=> x = 4, mais pas -4 car x doit être positif) d) Logarithme d une puissance ou d une racine carrée ln(x n ) = ln(x). ln(x n-1) ) =... = n ln(x) ln(x) = ln( x. x) = ln( x) + ln( x) = 2 ln( x) Soit : ln(x n ) = n ln(x) et ln(x) = 2 ln( x) Exemples : I) Résoudre ln(x) = 4 ln(3) (x = 3 4 = 81) II) Résoudre 2ln(x + 1) = ln(1 x) x dans ]-1 ; +1[ pour que ce soit possible (x + 1)² = 1 x soit x² + x = 0 = x(x + 1) Donc x = 0 (x = -1 étant interdit) B) Etude de la fonction ln(x) 1) Ensemble de définition Par définition du logarithme néperien, c est ]0 ; + [. 2) Tableau de variation a) f (x) = 1/x, donc toujours positive Par conséquent, ln est croissante. Page 2

3 b) Limites aux bornes de l intervalle On a ln(10 n ) = n ln(10) et ln(10) 2,3 > 2.. Lorsque x --> +, ln(x) --> +. En effet, soit A un nombre très grand, et soit M le premier entier supérieur à A/2. Il suffira de choisir x tel que x > 10 M pour avoir ln(x) > M ln(10) > 2 M > A. Donc, ln(x) devient aussi grand que l'on veut pourvu que x soit assez grand aussi.. Lorsque x --> 0, ln(x) --> -. En effet, supposons maintenant que x se rapproche de zéro. Posons X = 1/x : alors, X --> +, donc ln(x) --> +. Et comme ln(x) = - ln(1/x) = - ln(x), ln(x) --> -. c) Valeurs remarquables Par définition, on a posé ln(1) = 0 On appellera e le réel (unique d après A2a), tel que ln(e) = 1. Une valeur approchée de e est e 2, d) Tableau de variation x 0 1 e + f'(x)=1/x 1 1/e 0 f(x)=ln(x) ) Courbe représentative C) Dérivation, primitives et logarithmes 1) Dérivation On a vu que par définition, (ln x) = 1/x. On va appliquer la dérivation des fonctions composées au logarithme népérien : soit u une fonction positive sur I (ATTENTION : il faut que u soit positive) : Page 3

4 (ln(u(x))) = u (x) (ln (u(x))) = u'(x) / u(x), soit : (ln(u))' = u'/u. Remarque : Si u(x) < 0 sur I, on a u'(x) / u(x) = -u'(x) / -u(x) = (-u)'(x) / u(x), donc la dérivée de ln(-u(x)) est aussi u'(x) / u(x). 2) Primitives On sait donc désormais dériver ln(u(x)) mais aussi trouver la primitive de u'(x) / u(x), qui est ln(u(x)) + c quand u(x) positive sur I. De même, si u(x) < 0 sur I, on aura comme primitive de u(x) sur I la fonction ln(-u(x)) + c. En résumé, la primitive de u'(x) / u(x) sur I est ln( u(x) ) + c. Exemples : I) Trouver les primitives de 1 / (3x - 5) pour x > 5 / 3. (F(x) = (ln(3x - 5)) / 3 + c) II) Trouver les primitives de tan(x) pour cos(x) > 0 (F(x) = -ln(cos(x)) + c = ln (1 / cos(x)) + c) III) Trouver les primitives de (2x + 1) / (x 2 + x - 3) pour x² + x 3 > 0 puis pour x² + x 3 < 0. (F(x) = ln(x² + x 3) + c puis F(x) = ln(-x² - x + 3) + c ) IV) Trouver les primitives de tan(x) pour cos(x) < 0 (F(x) = - ln(- cos x) + c = ln (-1 / cos(x)) + c) V) Primitives de 1 / (2x - 5) pour x < 5/2 (F(x) = ln(5 2x) + c) D) Croissances comparées de ln(x) et x n Quand x --> +, ln x --> + et x n --> +. On voudrait voir quelle fonction croît le plus vite. Pour cela, on va comparer ln(x) et x en étudiant f(x) = (ln(x)) / x quand x > 0. Or, soit g(x) = ln x - x, on a g (x) = 1/x 1/2 x. Soit g (x) = (2 - x) / 2x / < 0 si x > 4 < = 0 si x = 4 \ > 0 si x < 4 Donc, x g'(x) g(x) croissante maximum -0,6137 décroissante (En effet, g(4) = ln(4) - 4 = ln(4) 2-0,6137.) Donc, g(x) < 0 pour tout x > 0 soit ln(x) - x < 0 et ln(x) < x pour tout x>0. Comme x > 0, ln(x) < x (ln(x))/x < 1/ x. Or, (ln(x))/x > 0 dès que x > 1 car alors, ln x > 0 et x > 0 Et quand x --> +, x --> +, donc 1/ x --> 0. Page 4

5 Donc, on a (ln(x))/x --> 0 par le théorème des gendarmes car il est "coincé" entre 0 et 1/ x. Autrement dit, ln(x) croît moins vite que x quand x tend vers l'infini. De même, (ln(x))/x n avec n > 1 tend vers zéro quand x tend vers l'infini. On peut aussi en déduire facilement que quand x tend vers zéro, x ln(x) tend aussi vers zéro. En résumé on peut dire que : "x n l'emporte toujours sur ln(x)". E) Logarithme décimal, échelle logarithmique 1) Définition On appelle logarithme décimal et on note log la fonction x -> log(x) = (ln(x) / ln(10) définie sur R +*. 2) Particularités Calculer log(10), log(10 4 ), log(10-3 ). log(10) = ln(10) / ln(10) = 1. log(10 4 ) = 4 ln(10) / ln(10) = 4. log(10-3 ) = -3 ln(10) / ln(10) = -3. 3) Valeurs remarquables - Trouver x tel que log(x) = 0, y tel que log(y) = 1, z tel que log(z) = 7. (x = 1, y = 10 et z = 10 7 = ) - Que peut-on dire du nombre de chiffres de a si la partie entière de log(a), notée E(log(a)) est égale à n? (c'est n + 1) 4) Echelle logarithmique En physique, on est parfois amené à travailler sur des grandeurs très variables : fréquences de 10 Hz à 100 MHz, puissances sonores etc. Pour pouvoir représenter ces grandeurs, on utilise souvent une «échelle logarithmique» c est à dire qu au lieu de graduer directement, on gradue par le log. Exemple : 1 cm = 10, 2 cm = 10², 3 cm = 10 3 etc. Classique : Logarithmique : 0, Exercices : Ex 72 et 74 page 105 Page 5

6 F) Approximation affine de ln(1 + x) quand x --> 0 1) Recherche de l approximation affine On sait que si f(x) = ln(x + 1), f (x) = 1 / (x + 1). Par la définition de la dérivée, on sait que f(1 + x) f(1) = x f (1) + x E(x) avec E(x) --> 0 quand x --> 0. Donc, f(1 + x) = ln(1) + x.(1/1) + x E(x) = x + x E(x) Soit ln(1 + x) = x + E(x) avec E(x) > 0 quand x > 0. x est donc une approximation affine de ln(1 + x) quand x --> 0. Application : Trouver la limite en 1 de f(x) = (ln(x)) / (x 1) définie sur ]0 ; + [. (ln(x) --> 0 et x 1 --> 0 donc forme indéterminée!) (On pose x = 1 + h d où f(h) = (ln(1 + h)) / h et x --> 1 donc h --> 0, d où la limite f(x) --> 1.) Page 6