4 Dérivée de fonctions transcendantes

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1 Dérivée de fonctions transcendantes.1 Fonctions trigonométriques 1. Évaluer, sans calculatrice. a) sin 8 cos ` 5 tan cot sec 11 ` csc ` g) sin ` + cos 1. À l aide des identités trigonométriques pour sin(α+β) et cos(α + β) trouver les identités pour 8. Trouver d. a) sin + y cos y = 0 sin y + y = 0 sec y + y = tan (e y ) + ln y = 9. Étudier la croissance et la concavité des fonctions suivantes et tracer leur graphique. a) f() = + sin, où [0, ] a) sin(α β) cos(α β) sin(θ) cos(θ) f() = sin + cos, où [0, ]. Démontrer les identités trigonométriques suivantes. a) sin θ = cos θ = 1 cos θ 1 + cos θ sin θ = sin θ sin θ cos θ sin θ = cos θ tan θ = sin θ 1 + cos θ 10. Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a) y = cos e y = sin + sin y = ln (sec + tan ) y = 1 + csc 1 cot y = cos `tan y = e sec g) y = e tan sin cos y = cot 1. Trouver (sin u) et (cos u) si la variable u donne l angle en degré. 5. Démontrer que (cos ) = sin. a) En utilisant la définition de la dérivée. En utilisant l identité cos = p 1 sin. En utilisant les identités : sin = cos ` et cos = sin `. Fonctions trigonométriques inverses 11. Sans calculatrice, évaluer les nombres suivants en radians. a) arcsin 1 arccos 1 «arctan ( 1) arcsec arccot arcsin (sin 5) g) tan (arctan ) lim arctan. Démontrer les formules de dérivation suivantes : a) (cot ) = csc (csc ) = csc cot 1. Résoudre les équation suivantes. a) sin + 1 = cos sin ` 1 = 7. Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a) y = sin y = cos cos y = sec y = cot csc «y = tan + 1 sin y = e 1. Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a) y = arcsin ` y = ( arctan ) 5 y = arccsc y = arccos y = arcsin y = arccot 1

2 1. Trouver d. a) arctan y = y arccos y = arcsin e arctan y = sin (ln ) 1. Trouver d. a) e +y = y + 1 ln y y = 0. Soit la fonction f() = e 15. Trouver les valeurs de pour lesquelles la fonction f() = arcsin admet une droite tangente perpendiculaire à la droite y = /5. 1. Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a) Faire l étude complète de croissance, concavité et asymptotes de cette fonction puis tracer son graphique. Trouver les dimensions du rectangle d aire maimale que l on peut inscrire entre l ae des et la courbe de f. a) y = arctan y = arccos 1 sec y = arccot `e y = arcsec ` + 1 y = arcsin ln. Soit f() = k k, où k est une constante positive. Trouver la valeur de k pour laquelle f (1) = 0.. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.. Fonctions eponentielles et logarithmiques a) y = e + e y = e 5 y = 5 y = ln log y = ln y = ` + ln Évaluer, sans calculatrice, les nombres suivants sachant que log 0,.. Applications a) log log log 1 9 log 5 5. Soit la fonction f() = + ln ( + 1 ) 18. Résoudre les équations suivantes. a) Montrer que f est toujours croissante. Étudier sa concavité et donner ses points d infleion. a) log = 5 = = +1 log log 1 = 1. Trouver les etremums absolus des fonctions données sur l intervalle [0, ]. 19. Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a) f() = cos f() = 5 sin + 1 cos a) y = y = 8 + y = e y = 8 7. Un virus se propage de telle sorte que le nombre de personnes atteintes du virus t semaines après son apparition est donné par N(t) = e t 0. Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a) y = log 5 ` + 1 y = ln y = ln 5 y = p log a) Initialement, combien de personnes sont porteuses du virus? Combien de personnes seront atteintes semaines après son apparition? Dans combien comptera-t-on 100 victimes?

3 À long terme, combien de personnes contracteront ce virus? Quel est le tau de propagation du virus après semaines? Quel est ce tau à long terme? g) À quel moment le virus se propage-t-il le plus rapidement? 8. On lance un projectile avec un canon selon une vitesse initiale de v 0 m/s. Si on néglige la résistance de l air, la portée (la distance horizontale parcourue par le projectil est donnée par la fonction R(θ) = v 0 sin θ g où g = 9, 8 m/s et θ est l angle d inclinaison du canon. Selon quel angle doit-on placer le canon pour avoir une portée maimale?. Trouver l équation de la droite tangente à la courbe de f() = ln (sin ) au point (, f( )).. Un caméraman est posté à 5 m d une route rectiligne et doit filmer une voiture qui passera sur cette route à vitesse constante de 10 m/s. À quelle vitesse angulaire (en rad/s) la caméra doit-elle pivoter eactement une seconde après que la voiture soit passée devant elle? 9. Les côtés congrus d un triangle isocèle mesurent 5 cm. Trouver l angle θ entre ces deu côtés qui maimise l aire du triangle. 0. À quelle distance de la ligne des buts un ailier gauche de hockey sur table doit-il lancer pour maimiser ses chances de marquer si le but mesure 5 cm de largeur et que le joueur est restreint à un rail situé à 8 cm du poteau le plus près? On suppose que le joueur maimise ses chances de marquer si l angle d ouverture vers le but est maimal.. Une étune menée auprès d athlètes olympiques révèle que la capacité pulmonaire de ces derniers obéit à la fonction 0, 8 ln 1, 8 C() = 0, 009 où est l âge de l athlète. À que âge un athlète a-t-il une capacité pulmonaire maimale? 5. À l aide du test de la dérivée seconde, trouver les etremums relatifs de f() = arctan +.. Soit f() = et la droite D joignant l origine et un point quelconque sur la courbe de f. Quelle valeur de minimise l angle entre la droite D et l ae des? 1. On fabrique une auge à partir d une feuille de métal de 10 cm de largeur. De chaque côté, on replie une bande de 0 cm selon un angle θ. Quel doit être cet angle pour que l auge puisse contenir un volume maimal? 7. On doit suspendre une lampe au dessus du centre d une table carrée de m par m. L intensité de la lumière à un point P de la table est directement proportionnel au sinus de l angle que forme le rayon lumineu avec la table, et inversement proportionnel à la distance entre P et la lampe. À quelle hauteur

4 la lampe doit-elle être suspendue pour que l intensité lumineuse soit maimale au quatre coins de la table?. Trouver d. a) e ln y = y tan cos ` y = ln arcsin e y = y 8. Trouver les etremums relatifs des fonctions suivantes. a) y = ln `. y = sin + cos. 9. Quelle est la longueur maimale du tuyau de diamètre négligeable qui peut tourner le coin de ce corridor si on néglige la hauteur du corridor?. Soit la fonction f() = e + k si < 0 si 0 < 1 ln si 1 a) Quelle doit être la valeur de k pour que f soit continue en = 0? Pour cette valeur de k, f est-elle dérivable en = 0? f est-elle continue en = 1? f est-elle dérivable en = 1?. Utiliser les propriétés des logarithmes pour dériver f() = ln sin5 sec Utiliser la dérivée logarithmique pour dériver les fonctions suivantes..5 Eercices récapitulatifs a) y = sin y = (sin ) arctan 0. Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a) y = log q y = ln s 1 y = «y = (e + ) 5 y = e e y = tan e g) y = log (cos cos ) y = sin ( + cos ) i) y = ln `csc ` e j) y = cot + sec k) y = tan l) y = p sec (sin ) m) y = ln (arctan e ) n) y = arccot 1 o) y = arcsin ln. Soit f() = e. Trouver une epression pour f (n) () (la n e dérivée de. 7. Faire l étude complète de la fonction f() = e et tracer son graphique. 8. On veut atteindre un mur fragile en appuyant une échelle sur un muret de m de haut situé à 1 m du mur. Déterminer l angle θ qui minimise la longueur de l échelle à utiliser. 1. Vous avez remarqué au numéro (8 n) que ( arccot 1 ) = (arctan ). Montrer, à l aide d un triangle rectangle, que arccot 1 = arctan.

5 9. On veut placer une caméra de surveillance sur le mur de 10 mètres. À quel endroit doit-on la placer pour maimiser son champ de vision? 5

6 Réponses au eercices 1. a) 0 1. a) sin α cos β sin β cos α cos α cos β + sin α sin β g) sin cos + cos sin = + + sin θ cos θ cos θ sin θ 11. Sans calculatrice, évaluer les nombres suivants en radians. a) g) 5 1. a) = + k, k Z s s = ± k, k Z ou = ± k, k Z. Laissé à l étudiant cos u et Laissé à l étudiant.. Laissé à l étudiant. 7. a) 8. a) sin u. sin + cos = sin sin d sec tan d = sin + cos y sin y cos y y y sin y cos y sin y cos y + csc 1 csc ` + sec +1 ( + 1) esin cos 1 y sec y tan y + y y tan (e y ) ye y sec (e y ) a) 1. a) q 1 ( ) 5 ( arctan 1 ) = arccos d 1 1 ( + 1) arccot y + y s 1 y = /15 et = /15 `1 + y cos (ln ) e arctan y 9. a) 1. a) arctan (1 ) + 1 e sec sec tan 1 + e sec ( + 1) + ln 1 arcsin ln 17. a) 1/, 10. a) g) e sin e cos sin + sin ln sec csc `1 + cot + csc (1 cot ) sec sin e tan sec + tan etan sec cos «1 ( ) csc 18. a) = 19. a), a) ln ln ` 8 ln + ln 8 ( ) e 8 (1 + ln 8) ln = ln(5/), ln (/) = 1 ln ( ln 5) 1 ln p log

7 1. a). a) e +y y e +y d = y ln y y y 9. Environ 9,87 m 0. a) 1 ln 1 p ln. k = e. a) Base de, hauteur de 1 e. e e + e 5 10 ( 5) ln ln ln 5 5. a) Laissé à l étudiant. log Concave vers le haut sur [ 1, 1], concave vers le bas sur ], 1] et [1, [, points d infleion en = 1 et = 1.. a) ma=1, atteint en j0,,, ff,, j min=0, atteint en,, 5, 7 ff ma=1 (atteint en = arctan(5/1)), min=-1 (atteint en = arctan(5/1) + ) 7. a) 500 personnes Environ 085 personnes 1,9 semaines lim N(t) = 500 personnes t N () = 7, personnes/semaine 1 ln = d 5 5 ` + ln ( + ln ) lim t N (t) = 0 personnes (il faut mettre en évidence les termes les plus dominants) g) Il faut trouver le maimum de N (t). Comme N (t) < 0 > 0, N (t) est maimale lorsque t = θ = 9. θ = 0. À cm. 1. θ = rad. y = + ln. dθ dt = dθ d d dt = 5 rad/s. e 1/ 5, 79 ans 5. min. relatif en (0, 0) g) s «1 ln 5 `e + `e + ln e (1 ) (e ) ««e tan e sec e sin + cos sin ln 10 (cos cos ) ` ln sin cos ` + cos i) e 1 cot e j) k) l) m) n) o) tan sec csc cot csc cos tan Laissé à l étudiant.. a). a) k = 1 e (1 + e ) arctan e 1 ln p ln ye ln y y sec y tan e 1 y cos ` y y cos ( y ) sin q sec (sin ) Oui, car f est continue et lim f () = lim f () Non Non, car f n est pas continue.. f () = 10 cot + 1 tan a) sin cos ln + sin ««ln (sin ) = (sin )arctan + cot arctan d 1 +. f (n) () = n e 7. y 1 e y ye y 1 e y. = 8 7. h = m 8. a) Aucun ma. relatif, min. relatifs en 1 «, 0 et en (1, 0). «ma. relatifs en (k, ), min. relatifs en + k,. 8. θ = arctan 5 9. À 5, m du mur de 5 m. 7