7.1 Système intégrateur Le système intégrateur est un système dont le schéma bloc est de la forme : s(t)

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1 7 Réons morll L objcif d c chair s d éudir ls réonss dans l domain morl ds sysèms fondamnaux. Nous avons vu qu la modélisaion la mis n équaion ds sysèms linéairs coninus débouchn sur un équaion différnill linéair à cofficins consans. Baucou d sysèms uvn êr modélisés grâc à cs sysèms fondamnaux soi d manièr xac, soi n éman ds hyohèss d modélisaion convnabls. La connaissanc ds réonss morlls ds sysèms fondamnaux rm : d un ar d n éudir d manièr formll ls rformancs lorsqu ls équaions du sysèm son éablis ; d aur ar d idnifir un sysèm ( ss grandurs caracérisiqus) à arir d sa réons morll (obnu xérimnalmn). Nous uilisrons à c ff ls signaux s n nré: imulsion d Dirac : la réons du sysèm sra alors qualifié d réons imulsionnll ; échlon : la réons sra alors qualifié d réons indicill ; ram. 7. Sysèm inégraur L sysèm inégraur s un sysèm don l schéma bloc s d la form : E() S() s() s() n a Réons à un Dirac () Réons à un échlon a.u().u() Exml : rlaion nr la viss d roaion la osiion angulair msuré sur l sysèm Maxid. 7. Sysèm dérivaur L sysèm dérivaur s un sysèm don l schéma bloc s d la form : s( ) E() S() a Réons à un ram d n a

2 Rmarqu : Il n xis as d sysèms hysiqus don l comormn uiss êr modélisé ar un dérivaur. Un dérivaur n u êr obnu qu ar un raimn ds donnés au sin d un auoma (Pari command ou corrcur ar xml). 7.3 Sysèm du rmir ordr L équaion du sysèm du rmir ordr s donné ar : ds() d + s() = () L S() + S()= E() H() = = gain saiqu = consan d ms Exmls : circui RC, circui RL 7.3. Réons imulsionnll E() = S() = La ransformé invrs donn donc dans l domain morl : s () 7.3. Réons indicill E() = S() =. lim s() = lim s() = lim S() = lim lim S() = lim = lim s'() = lim S() = lim = asymo horizonal d valur = n à l'origin Pour connaîr comlèmn s(), il fau décomosr S() n élémns simls: S() = A + B = - = ( - ) L - s() = ( - ) u() La réons a donc l allur suivan :,95,63 3

3 Proriéés rmarquabls à connaîr : On considèr l cas général d un échlon d amliud.u() La valur à convrgnc vau : lim s. L ms d réons à 5% s obnu our un ms 3 Pour l ms. La n à l origin vau s,63.., on obin : s 3,95.. : s() n convrg as vrs () si s différn d! Ecar saiqu Cla nous amèn à la définiion d l écar saiqu noé S. Définiion : L écar saiqu s l écar n régim éabli nr la réons la consign du sysèm lorsqu la consign s un échlon. C s un crièr d récision. Si l on s inérss à la récision du sysèm du rmir ordr lorsqu il s soumis à un échlon, on calcul : () lim(() s()) S Dans l cas du rmir ordr on a donc : S Rmarqu : On ourra l calculr dans l domain d Lalac n uilisan l héorèm d la valur final : () lim(e() S()) S Influnc ds aramèrs :

4 L sysèm s donc d auan lus raid qu la consan d ms s faibl Réons à un ram a () = a u() E() = S() = a ( ) a a = ( - + a ) La ransformé invrs donn : s() = a ( - + ) u() On n dédui l allur d la réons: Ecar dynamiqu rrur d raînag Cla nous amèn à la définiion d l rrur d raînag noé. Définiion : On all écar dynamiqu ou rrur d raînag l écar nr la sori l nré du sysèm lorsqu l nré du sysèm s un ram. C s un crièr d récision. Si l on s inérss à la récision du sysèm du rmir ordr lorsqu il s soumis à un ram, on calcul : lim(() s())

5 Dans l cas du rmir ordr on a donc : a( ) d où: a our = sinon Rmarqu : On ourra l calculr dans l domain d Lalac n uilisan l héorèm d la valur final : () lim(e() S()) 7.4 Sysèm du scond ordr d s() d ds() + + s() = () d form canoniqu avc = gain saiqu = ulsaion ror = cofficin d'amorissmn Exml: mass lié à un suor fix ar un rssor un amorissur visquux. La ransformé d Lalac d c équaion donn: S() + S() + S()= E() d'où la foncion d ransfr: H() = 7.4. Réons imulsionnll E() = S() = = D() rmir cas: > D() a alors racins rélls = - - = - + avc < < d'où S() = ( )( ) = A ( ( ) B + ) = ( - ) d'où s() = ( - sysèm amori (régim aériodiqu) ) u() s()

6 duxièm cas: < D() a alors racins comlxs conjugués On u alors écrir S() sous la form: S() = ( ) ( ) soin = ( ) a = S() = ( a) d'où s() = sin( ) u() sysèm sous-amori (régim sudo-ériodiqu) La sudo-ériod ds oscillaions vau = nvlo xonnill Lorsqu'il n'y a as d'amorissmn ( = ), on a un réons sinusoïdal d ulsaion (c qui jusifi l nom d ulsaion ror donné à ). roisièm cas: = D() a alors un racin doubl. L'allur d la réons srai comarabl à cll obnu dans l cas du régim aériodiqu mais c cas s imossibl dans la réalié: on n u avoir un valur réll d m xacmn égal à! 7.4. Réons indicill Rmarqu: la réons indicill s l'inégral d à d la réons imulsionnll. En ff, S im = H(). S ind = H(). La réons imulsionnll éan null our =, la n d la réons indicill s null à l'origin. rmir cas: > (sysèm amori) s() = ( u u )du = = d'où + - u u = s() = [ + ( - - )] u() ( u u = )du + - Duxièm méhod : on écri la décomosiion n élémns simls.

7 Dès qu'on s'éloign d =, l sysèm du scond ordr s comarabl à un rmir ordr. Au débu d l'évoluion, l rmir ordr réagi lus vi (n à l'origin non null). duxièm cas: < (sysèm sous-amori) s() = u sin( u) du En inégran dux fois ar aris: s() = ( sin( arccos( ))) Duxièm méhod : on écri la décomosiion n élémns simls. On rrouv un xrssion équivaln à la récédn mais qui s écri : cos s() = On obin l allur d la réons :. sin.

8 D Ls déassmns D k son ls maxima minima d la courb aux ms k (zéros d la réons imulsionnll). Prmir déassmn: D = our = = La valur du rmir déassmn (rès imoran dans ls alicaions) n dénd qu du cofficin d'amorissmn. On la donn souvn n ourcnag d la valur final. En ariculir, our m =, 69, D = 5% (amorissmn "oimal"). Il n y a as d formuls our calculr l ms d réons à 5% d un sysèm d scond ordr, on uilis donc l abaqu suivan :

9 L amliud ds déassmns succssifs n dénd qu du facur d amorissmn, on ls dérmin avc l abaqu suivan (voir l D sur l ilo auomaiqu) : Influnc ds différns aramèrs Influnc du facur d amorissmn our fixés: Influnc d la ulsaion ror non amori our z( noé dans l cours) fixés:

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