Exercices, ondes mécaniques
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- Gabriel Lheureux
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1 ris, onds méaniqus Eris, onds méaniqus Equation ds ords vibrants Un ord soupl, d mass linéiqu onstant µ st tndu suivant un a O av un tnsion T On not y(,t ) l déplamnt vrtial d un point d absiss à l instant t t T(,t ) la tnsion subi par un élémnt d ord d longuur d, n y ( + d) T ( d) θ + O T θ +d En supposant l poids d la ord négligabl, montrr qu y(,t ) st d un équation d propagation t donnr l prssion d la élérité d l ond Si l on tint ompt du poids d la ord, ommnt ls résultats préédnts sont-t-ils modifiés? Enrgi inétiqu t potntill par unité d longuur Un ord d mass linéiqu µ st tndu av un tnsion T Etablir ls prssions d l énrgi inétiqu t potntill par unité d longuur, assoiés à l ond transvrsal s propagant l long d la ord 3 Equation d'ond dans un fluid Un tuyau ylindriqu d larg stion S, d a horizontal O, st rmpli d un fluid non visquu d prssion au rpos p t d mass volumiqu uniform µ On not ξ (,t) l déplamnt longitudinal d un tranh d fluid à l absiss t au tmps t, p(,t ) sa surprssion tll qu p(,t) p t on s pla dans l adr d l approimation aoustiqu +d ξ (,t) ξ ( + d,t) 3 En appliquant l prinip fondamntal d la dynamiqu à un tranh d fluid ompris ntr ls,t + d+ξ + d,t, montrr qu : absisss +ξ t
2 Eris, onds méaniqus p = µ 3 A l aid d la définition du offiint d omprssibilité χ, trouvr un rlation liant p t ξ 33 Montrr qu p t ξ vérifi un équation d ond dont on donnra la élérité 4 Vitss d propagation d'un ond dans un fluid Un ond sonor s propag dans l air assimilabl à un gaz parfait Calulr la élérité d l ond dans l hypothès d un prossus isothrm (Nwton), puis adiabatiqu (Lapla) Conlur 5 Enrgi inétiqu t potntill aoustiqu par unité d volum Un fluid a un mass volumiqu uniform µ t un offiint d omprssibilité χ Etablir ls prssions d l énrgi inétiqu t potntill aoustiqu par unité d volum, liés à un ond sonor s propagant dans fluid 6 Consrvation d l'énrgi aoustiqu Un ond sonor s propag dans un fluid à l intériur d un tuyau ylindriqu d stion S La dnsité volumiqu d énrgi st t la dnsité d flu sonor I Eprimr la onsrvation d l énrgi d un tranh d fluid ntr ls absisss t +d t n déduir un rlation différntill liant t I Solutions S Appliquons l prinip fondamntal d la dynamiqu à un élémnt d ord d longuur d, ntr t +d L poids d t élémnt d ord étant négligabl, ls suls fors présnts sont ls T + d On érit : fors d tnsion T t T + T( + d) = µ d y t Projtons tt rlation sur ls as O t Oy Il vint : t : T osθ + T + d osθ + d = T sinθ + T( + d) sinθ ( + d) = µ d t, d T osθ = d T sinθ = µ d L intégration d la prmièr rlation prmt d érir : T = T os
3 3 ris, onds méaniqus On rport T ( ) dans la duièm, qui s érit : Mais tan y sinθ T d =µ d os θ =, t d y = d D où : T d =µ d Finalmnt, on obtint l équation d ond d d Almbrt : av la élérité d l ond : =, = T µ En tnant ompt du poids d la ord, la projtion du prinip fondamntal d la dynamiqu sur l a O st inhangé, t sur l a Oy on obtint : L équation d propagation dvint : T d tanθ µ dg = µ d t g = t S L énrgi inétiqu d l élémnt d ord d longuur d st : de = µ d v, av v = y t, la vitss d son déplamnt transvrsal Par unité d longuur l énrgi inétiqu s érit : y = µ Pour alulr l énrgi potntill du mêm élémnt d ord, alulons l travail élémntair d la tnsion T : dw = T dl, y+dy où dl st l élongation d l élémnt d ord d longuur ds y ds +d
4 Eris, onds méaniqus 4 A un instant fié, nous pouvons érir : En supposant y : y ds = d + dy = d + y ds = d +, t y dl = ds d = d L énrgi potntill élémntair st : y dep = dw = T d, t l énrgi potntill par unité d longuur : S 3 p T y = 3 Appliquons l prinip fondamntal d la dynamiqu à un tranh d fluid d stion S, ompris ntr ls absisss +ξ (,t) t + d+ξ ( + d,t) Sa mass st ll d la tranh ompris ntr ls absisss t +d, t ls suls fors subis par tt tranh sont ls fors prssants Sur l a O : ( ) S p +ξ + p p + d +ξ + d p =µ Sd t Mais : ξ ξ ( + d) = ξ + d En rmplaçant il vint : ξ S p +ξ + p p +ξ + + d p =µ Sd t : p ξ S + d = µ Sd La dilatation st défini par :
5 5 ris, onds méaniqus V V' V θ= = V V où V st l volum d la tranh n présn d prturbations t V l volum au rpos V = Sd ( ) V' = S + d+ξ + d ξ Don : ( d) ξ + ξ ξ θ= = d Dans l approimation aoustiqu, θ L prinip fondamntal s érit alors : p = µ () 3 Il rst à trouvr un rlation ntr p t ξ Pour la utilisons l prssion du offiint d omprssibilité : V χ= V p Pour un variation d prssion p ou nor, puisqu = P, l volum subit un variation V t don : V θ χ = =, V p p θ= ξ : ξ p = () χ 33 En dérivant tt rlation par rapport à t av qui préèd, on obtint l équation d propagation : où la élérité d l ond st : = = χµ Dérivons la rlation () par rapport à t la rlation () du fois par rapport à t On obtint la mêm équation d propagation sur p : p p =
6 Eris, onds méaniqus 6 S 4 Dans l hypothès d un prossus isothrm, l offiint d omprssibilité (isothrm) s érit : V χ T = V p T Mais puisqu l fluid st un gaz parfait, pv = nrt t : On n déduit : χ T = p p = µ Dans ls onditions normals d tmpératur t d prssion, 3 l air M = 9g/mol t don µ =, 9 kg / m Finalmnt : 5 p = Pa t V m =,4L/mol Pour = 8m / s Dans l hypothès d un prossus adiabatiqu l offiint d omprssibilité (adiabatiqu) s érit : V χ S = V p S La rlation d Lapla pv γ = Ct av γ= C p C V l rapport ds halurs molairs à prssion t volum onstant, onduit à : dp dv = γ, p V t : χ S = γ p La élérité d l ond st : γp = µ L air st onstitué d moléuls diatomiqus On sait don qu CV = 5R t Cp = 7R d où γ=,4 Dans ls onditions normals d tmpératur t d prssion on trouv : = 33m/ s La valur périmntal orrspond à un prossus adiabatiqu S 5 L énrgi inétiqu d un tranh d fluid ompris ntr ls absisss t +d st :
7 7 ris, onds méaniqus de = µ Sdu, av u = ξ t la vitss d son déplamnt longitudinal Par unité d volum, l énrgi inétiqu s érit : ξ = µ Au rpos, l volum d la tranh d fluid ompris ntr ls absisss t +d st dv = Sd Lorsqu l on pass à un état d surprssion la variation d volum st d( dv ) L travail ds fors d surprssion s érit : dw = pd dv ar il y a augmntation du volum dv L offiint d omprssibilité st : t don : Puisqu dep ( dv) χ= dv p, dw = p χ dv dp = χ dv pdp = χdvp = dw, on déduit l énrgi potntill par unité d volum : p = χ p S 6 Dans l intrvall d tmps dt, à l absiss, il rntr dans la tranh d fluid l énrgi Pndant la mêm duré dt, à l absiss +d il sort d la tranh l énrgi I ( d,tsdt ) d énrgi s érit : I,t I(,t) Sdt I( + d,t) Sdt = dsdt Ell st égal à la variation d l énrgi mmagasiné dans la tranh d fluid : dtsd On déduit la rlation : I + = I,tSdt + La variation
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