EXAMEN FINAL Module : Vibrations et Ondes mécanique Durée : 2 Heures.

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1 Minisère de l Enseigneen Supérieur e de la Recherche Scienifique ECOE PRÉPRTOIRE EN SCIENCES ET TECHNIQUES DE TEMCEN DÉPRTEMENT DE PHYSIQUE وزارة التعليم العالي و البحث العلمي المدرسة التحضيرية للعلوم والتقنيات بتلمسان. قسم الفيزياء NB : EXMEN IN Module : Vibraions e Ondes écanique Durée : Heures. e sue d eaen conien deu problèes sur ps. Chaque problèe doi êre raié sur des feuilles d eaens séparées Problèe :«ps» Parie : Dans ou le problèe on considère une corde hoogène vibran ransversaleen dans le plan Oy. équaion du ouveen es de la fore y f (, ). Soien T e μ la ension e la asse linéique de la corde à l équilibre, respeciveen. On défini le nobre d onde de cee onde. On appelle y(, ) le déplaceen ransversale d'un orceau de la corde siué en à l'insan. On donne l équaion de propagaion de l onde de d leber sous la fore: y y T En déduire la viesse de propagaion des ondes «Célérié» c. On applique un ébranleen de ype sinusoïdal. Déeriner les soluions de l équaion de propagaion en uilisan la éhode de séparaion des variables. Mainenan la corde de longueur fiée par les deu eréiés es lâchée sans viesse iniiale. Déeriner la fore de la soluion générale. Monrer que les fréquences de vibraion de la corde son des uliples eniers d une fréquence fondaenale f. a corde es eciée par un vibreur du ouveen =. y(, ) a cos à l eréié Vibraions e Ondes Mécaniques Page

2 En uilisan les nouvelles condiions au liies, onrer que la soluion a finale s écri coe sui: y(, ) cos( )sin( ) sin( ) Que se passe--il lorsque nc? n Coen se noe ce phénoène? Parie B : On considère ainenan deu cordes, de êe ension linéique Te de asses linéiques e, e aachées à la oncion «O» en = pour forer une longue corde endue horizonaleen suivan l ae O. Une onde incidene sinusoïdale ransversale de faible apliude i e venan de la gauche (région ) de la fore: yi (, ) i cos( ). la oncion O il y a une onde réfléchie dans la région e une onde ransise vers la région. On défini e respeciveen coe éan les veceurs d ondes dans les régions e : Eprier les deu équaions de coninuié au niveau de la oncion O qui donnen deu relaions relian les apliudes, i, au rappor r. En déduire les coefficiens de réfleion r r e de ransission i pour i l apliude en foncion de e, puis en foncion de e. Coener. Problèe :«ps» Parie : Soi une asse. g, aachée horizonaleen à un ressor de consane de raideur 8. N/ e souise à une force de froeen de ype visqueu de coefficien de froeen. 8 g/s, se déplaçan horizonaleen sur une droie. On applique une force sinusoïdale dans le sens du ouveen de la asse sous la fore suivane : cos7 Ecrire l équaion différenielle de ouveen de la asse. Vibraions e Ondes Mécaniques Page

3 Ecrire l epression de la soluion générale. (Sans préciser les epressions de l apliude e de la phase). a asse oscillera--elle à la résonance? Epliquer. Calculer dans ce cas la valeur de l apliude de la viesse du ouveen de la asse. En déduire la valeur aiale (dans le eps) de la puissance dissipée. igure Parie B : Considérons le sysèe consiue de deu asses e, aachées par deu ressors de raideur e, pouvan se déplacer, sans froeen, sur une droie, (voir la figure.) Donner les epressions des énergies cinéique e poenielle du sysèe. En déduire le agrangien du sysèe Ecrire le sysèe d équaions différenielles régissan le ouveen des asses. Calculer les pulsaions propres du sysèe dans le cas ou :. g E N/. Déeriner dans ce cas les odes propres du ouveen du sysèe e écrire les soluions générales. igure On applique sur la asse une force sinusoïdale de la fore : cos Ecrire le nouveau sysèe d équaions différenielles régissan le ouveen des asses. Vibraions e Ondes Mécaniques Page3

4 Pour quelle valeur de pulsaion eérieure la asse sera iobile dans le régie peranen? (Uiliser les valeurs :. g e N/). Ecrire l epression de l ipédance d enrée : Z e Donner le schéa élecrique analogue au sysèe écanique éudié. igure 3 BONNE CHNCE Vibraions e Ondes Mécaniques Page4

5 Minisère de l Enseigneen Supérieur e de la Recherche Scienifique ECOE PRÉPRTOIRE EN SCIENCES ET TECHNIQUES DE TEMCEN DÉPRTEMENT DE PHYSIQUE وزارة التعليم العالي و البحث العلمي المدرسة التحضيرية للعلوم والتقنيات بتلمسان. قسم الفيزياء CORRECTION DE EXMEN IN Module : Vibraions e Ondes écanique PROBEME : PTS PRTIE - équaion de propagaion au dérivées parielles s écri : y T y la célérié de l onde es égale : c y c T y -es soluions de l équaion de propagaion de l onde libre : En uilisan la éhode des séparaions des variables y ( )T( ) On obien : c ( ) ( ) T ( ) T ( ) D où la soluion s écri coe sui : ( ) cos sin c c T ( ) T cos T sin a corde es ainenan fiée : les condiions au liies nous donnen : y(, ) ( ) T ( ) y ) y( ) ( ) sin ( ( n) ( ) c n a soluion s écri sous la fore : Vibraions e Ondes Mécaniques Page5

6 ( ) sin ( n ) es longueurs d ondes associées au odes propres son : ( n) ( ) c n n a figure ci-dessus, illusre les différens ypes des odes propres : Modes propres es condiions iniiales nous donnen : T ( ) T donc T ( ) T cosn D où, la soluion finale s écri : y ( n) T (, ) sin cosn avec T n es fréquences propres des vibraions de la corde : ( n) n n T n n avec c En régie forcé la soluion de l équaion : y(, ) ( ) T ( ) cos( )[ T cos T En appliquan les nouvelles condiions au liies : y( ) a cos a T cos avec y( ) T ( )cos( ) On dédui : a cos cos( ) D où sin ] T T Vibraions e Ondes Mécaniques Page6

7 a cos n cos( ) cos[( ) ] a cos n vec : a cos n On replace dans la soluion ; e on obien le résula suivan : a y(, ) ( ) T ( ) cos( )cos cos cos( n ) cos D ou : a y(, ) cos sin( n ) sin( K n ) lors la soluion finale s écri coe sui : On a : a y(, ) cos sin( ( )) sin( K) pour sin( K) sin( K) sin n K n inaleen on obien les pulsaions quanifiées : K ( n) n n c nc n nc Pour n y(, ) Ce phénoène es appelé la résonance PRTIE B es deu équaions de coninuié : En appliquan les deu équaions de coninuiés : On obien alors : yi(, ) yr (, ) y (, ) yi(, ) yr (, ) y (, ) Vibraions e Ondes Mécaniques Page7

8 ai ar a a i ar a es coefficiens de réfleion e de ransission son défini : près calcul, On obien : ar R ai a T a i R T R T Coenaires : R e R T PROBEME : PTS équaion différenielle du ouveen pplicaion nuérique : Ou encore cos cos 7 a soluion générale es la soe d une soluion sans second ebre e une soluion pariculière : SSSM p Pour la soluion sans second ebre, on a : e faceur d aorisseen.8. 4s Vibraions e Ondes Mécaniques Page8

9 a pulsaion propre : vec la pseudo pulsaion : 8.. a 9 rad. s Donc rad s a soluion sans second ebre s écri donc : 4 Ce cos8. SSSM 6 a soluion pariculière s écri sous la fore cos a soluion générale s écri donc : 4 Ce cos8.6 cos p a pulsaion de résonance du sysèe es donnée par : r rad s lors que la pulsaion de la force eérieure es aussi égale a cee valeur ; donc effeciveen le sysèe oscillera a la résonance en déplaceen. Dans le régie peranen, la soluion de l équaion différenielle s écri sous la fore : p cos lors que la viesse s écri : d p v d apliude de la viesse es donnée par V vec N, sin - - 7rad.s, 9 4 rad.s, - 8.N. e - 4s Ce qui donne 7 V 7.3.s a puissance insananée de dissipaion pour une pulsaion eérieure es donnée par : - P V cos Vibraions e Ondes Mécaniques Page9

10 a valeur aiale P es égale a V car cos a une valeur aiale de. Donc la valeur aiale que peu prendre cee grandeur dans le eps es égale a : -.3Joule.s.3.8. P énergie cinéique du sysèe s écri : T énergie poenielle s écri : U e agrangien du sysèe s écri : es équaions différenielles de ouveen s écriven : d d d d Dans un ode de vibraion les deu asses oscillen a la êe pulsaion avec des apliudes e phases différene, on se propose les soluions suivanes (en noaion coplees) e e vec e e e En replaçan les soluions suivanes dans le sysèe d équaions différenielles ci-dessus on rouve : Ce sysee d équaions ade une soluion non riviale si seuleen si son déerinan es nul: Vibraions e Ondes Mécaniques Page

11 Ce qui donne 4 En replaçan par les valeurs nuériques, on rouve : 4. 3 En faisan le changeen de variable On se rerouve avec l équaion e discriinan s écri es soluions son données par : Ce qui donne la preière pulsaion : E Ce qui donne la seconde pulsaion :.Z z 3Z rad. s rad. s 3 Pour le preier ode, on replace dans l équaion. 5 On rouve le rappor des apliudes dans le ode : es asses oscillen dans ce ode en phase ais avec des apliudes différenes. 3.6 Pour le second ode, on replace dans l équaion. On rouve le rappor des apliudes dans le ode : Vibraions e Ondes Mécaniques Page

12 es asses oscillen dans ce ode en opposiion de phase avec des apliudes différenes. es soluions générales s écriven donc : e e e e Ou encore e e e e.6.6 En noaion réelle, les soluions son données par : cos.6 cos.6 cos cos ou les consanes,, e son définies par les condiions iniiales. es équaions différenielles de ouveen s écriven : cos d d d d Dans le régie peranen, on se propose des soluions sinusoïdales (de la êe fore que le second ebre de l équaion différenielle : e e En replaçan ces soluions proposées dans le sysèe d équaions différenielles on obien Ce qui donne 4 4 Ce résula onre que la asse resera iobile pour une valeur de pulsaion eérieure égale a Vibraions e Ondes Mécaniques Page

13 ipédance d enrée s obien de la anière suivane : Pour une soluion sinusoïdale (en noaion coplee), on a,, e équaion ci dessus devien Ou encore En replaçan la deuièe équaion dans la preière on rouve : ipédance d enrée es donnée par : Z e e sysèe élecrique analogue s obien en replaçan les grandeurs physiques du sysèe écanique par leurs analogues élecriques : Ce qui devien : Vibraions e Ondes Mécaniques Page3

14 q C q C q U q C q C C q e schéa élecrique correspondan es donne par : Vibraions e Ondes Mécaniques Page4