Chapitre 6 - Probabilités

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1 Chapitre 6 - Probabilités I Modélisation d une expérience aléatoire TD : Probabilité d overbooking Pour s assurer un taux de remplissage convenable, les compagnies aériennes réservent régulièrement davantage de places que n en comporte l avion. Il faut cependant bien évaluer le risque de surréservation (overbooking) car les passagers ayant réservé et ne pouvant embarquer doivent être dédommagés. Une compagnie a constaté qu une personne réservant une place d avion a une chance sur 10 de ne pas se présenter à l embarquement. Elle dispose d un avion de 50 places et elle vend 53 billets. On veut évaluer la probabilité que plus de 50 passagers se présentent. La copie d écran correspond à la simulation de avions. 1. La graphique indique l évolution, sur avions simulés, de la fréquence des cas d overbooking depuis la première simulation. (a) La fréquence affichée après 100 simulations est 0,11. Combien d avions, parmi les 100 premiers simulés, ont connu un overbooking? (b) La fréquence affichée après simulations est 0,093. Combien d avions, parmi les premiers simulés, ont connu un overbooking? 2. (a) Décrire et expliquer l aspect du graphique. (b) A combien, environ, évaluez-vous la probabilité d overbooking? -1-

2 I.1 Définition On lance un dé cubique et on note le numéro de la face supérieure. Cette expérience est une expérience aléatoire dont les issues (ou résultats possibles) sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. L ensemble des issues est Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. (Ω se lit "omega") Définition 1 Définir un modèle de probabilité pour une expérience aléatoire consiste : à préciser l ensemble des issues possibles : Ω = {x 1 ; x 2 ; x 3 ;..., x n } ; à attribuerà chacune des issues x i un nombre p i, positif ou nul, appelé probabilité de x i, de sorte que l on ait : p 1 + p 2 + p p n = 1. I.2 Choix d un modèle Il y a deux façons de déterminer les probabilités p i associées aux issues x i. Par l observation statistique des fréquences Lorsque que l on répète n fois, de façon indépendante, une expérience aléatoire, la fréquence f issue à tendance à se stabiliser, lorsque n devient grand, autour d une valeur p. On prend alors cette valeur p comme probabilité de l issue. Exemple Si on lance un dé "truqué" : on réalise une étude statistique (en lançant le dé un grand nombre de fois) puis on choisit une distribution de probabilité en accord avec les fréquence observées. Ce peut être par exemple : Par le choix de l équiprobabilité Probabilité 0,125 0,125 0,125 0,125 0,2 0,3 Dans une situation d équiprobabilité, les n issues de l expérience aléatoire ont la même probabilité de se produire. La probabilité d une issue est 1 n. Le choix de ce modèle peut être influencé par certains indices figurant dans la description de l expérience : "On tire au hasard", "Les dés sont supposés équilibrés", "Les boules sont indiscernables au toucher", etc. Exemple Si on lance un dé cubique supposé bien équilibré : on attribue à chaque issue la même probabilité : Probabilité

3 II Probabilité d un évènement TD : Lancer un dé icosaédrique Un dé possède 20 faces numérotées de 1 à 6 (5 faces n 1, 5 faces n 2, 4 faces n 3, 3 faces n 4, 2 faces n 5 et 1 face n 6). On lance le dé, supposé équilibré, et on note le numéro de la face sur laquelle il se stabilise. 1. Distribution de probabilité (a) Préciser l ensemble Ω des issues possibles de cette expérience aléatoire. (b) Compléter le tableau ci-dessous. Probabilité Ces issues sont-elles équiprobables? 2. Notation ensembliste et probabilité d un événement On considère les événements : A "Un numéro pair sort" ; B "Un numéro supérieur à 3 sort" et C "Le 6 sort". Exemple : (a) Écrire l ensemble des issues qui réalisent l événement A. Cette écriture est appelée "écriture nsembliste de A". (b) Donner les écritures ensemblistes des événements B et C. (c) Calculer les probabilités des événements A, B et C. On lance un dé cubique et l on considère l évènement A : "Obtenir au moins 5". Les issues favorables à A (qui réalisent A) sont 5 et 6 ; on note A = {5; 6}. Pour un dé truqué, si p(5) = 0, 2 et p(6) = 0, 3, alors : p(a) = 0, 2 + 0, 3 = 0, 5. Pour un dé équilibré, p(5) = p(6) = 1 6, alors p(a) = = 2 6 = 1 3. Définition 2 Un événement A est un sous-ensemble de Ω (ensemble des issues). sa probabilité p(a) est la somme des probabilités des issues favorables de A. Remarque Pour tout évènement A, 0 p(a) 1 et p(ω) = 1 (Ω est dit certain). Quand on lance un dé cubique, l événement B "Obtenir 7" n a aucune issue favorable, il est impossible et p(b) = 0. Propriété Dans une situation d équiprobabilité,la probabilité d un événement A est p(a) = nombre d issues favorables à A nombre d issues possibles -3-

4 III Opérations sur les événements TD : Opérer sur les événements On a modélisé le lancer du dé icosaédrique du TD du II avec la distribution de probabilité suivante : Probabilité 0,25 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 On considère les événements : A "Un numéro pair sort" ; B "Un numéro supérieur à 3 sort". 1. Ecrire les événements A et B sous forme d ensembles. 2. On lance le dé et l événement A n est pas réalisé. Quel événement est alors réalisé? Quelle était sa probabilité? 3. (a) Écrire l ensemble des issues de l expérience qui réalisent à la fois A et B. On note A B cet événement A et B. Calculer p(a B). (b) Écrire l ensemble des issues qui réalisent A ou B (A seul, B seul ou les deux!). On note A B cet événement A ou B. Calculer p(a B). (c) Comparer p(a B) + p( B) et p(a) + p(b). Comment l expliquer? Définition 3 Si A et B sont deux évènements : A, événement contraire de A, est l ensemble des issues qui ne réalisent pas A ; A B est l ensemble des issues qui réalisent A et B (les deux à la fois) ; A B est l ensemble des issues qui réalisent A ou B (au moins l un des deux). Exemple : Au lancer d un dé cubique : A "Obtenir un résultat supérieur à 4" A = {5; 6} A "Ne pas obtenir un résultat supérieur à 4" A = {1; 2; 3; 4} B "Obtenir un résultat pair" B = {2; 4; 6} A et B "Obtenir un résultat pair et supérieur à 4" A B = {6} A ou B "Obtenir un résultat pair ou supérieur à 4" A B = {2; 4; 5; 6} Propriété Soit A et B deux événements : p(a) = 1 p(a) p(a B) + p(a B) = p(a) + p(b) Démonstration Soit Ω l ensemble des issues d une expérience aléatoire. A et B sont deux événements. On désigne par A l ensemble des issues x 1,..., x p de A qui ne sont pas dans B et par B l ensemble des issues z 1,..., z p de B qui ne sont pas dans A. On note y 1,..., y p les issues qui réalisent A B. -4-

5 2 nde Chapitre 6 - Probabilités Expliquer pourquoi : p(a) = p(x 1 ) + + p(x p ) + p(y 1 ) + + p(y p ). 2. Écrire de même p(b), p(a B) et p(a B). 3. Comparer les sommes : p(a B) + p(a B) et p(a) + p(b). Conclure. IV Arbres de probabilité TD : La hantise du répondeur Chaque soir Léo appelle Julie une fois sur son portable. Hélas, il tombe souvent sur son répondeur! Léo estime que cela se produit avec une chance sur cinq lors d un appel en semaine (du lundi au vendredi) et trois chances sur quatre le week-end (samedi ou dimanche). On cherche la probabilité qu un soir pris au hasard dans l année, Léo soit mis en relation avec ce maudit répondeur. 1. Illustration par un arbre On désigne par S l événement "L appel a lieu un soir de semaine" et par R l événement "Léo tombe sur le répondeur de Julie". (a) Quelle alternative illustre l amorce de l arbre? Déterminer p(s) et p(s). Recopier le schéma et inscrire ces deux valeurs le long des branches. Ë Ë (b) On prolonge le schéma à partir de S avec les deux éventualités qui s offrent à Léo : R ou R. Recopier et compléter avec les probabilités attendues. ¾ Ë Ë Ê Ê (c) Achever l arbre et vérifier qu il résume bien, à lui seul, tout l énoncé. 2. Une approche par les fréquences On a simulé à l aide d un tableur appels. En déduire, à 10 2 près, les fréquences des événements S R, S R et R. 3. Retour à l arbre et règles de fonctionnement (a) Il existe, sur l arbre, quatre chemins menant du départ aux extrémités de l arbre. i. Repasser d une autre couleur le chemin qui correspond à l événement S R. ii. A partir des probabilités lues sur ce chemin, trouver une méthode de calcul de p(s R) qui soit en accord avec l expérimentation (partie 2). -5-

6 iii. Compléter la règle 1 : Règle 1 : La probabilité de l événement correspondant à un chemin est obtenue en les probabilités portées sur ces branches. (b) Dans l arbre, un second chemin conduit à R. i. Quel événement représente-t-il? Quelle est sa probabilité? ii. Comment peut-on, à partir des deux chemins conduisant à R, calculer p(r)? iii. Compléter la règle 2 : Règle 2 : La probabilité de l événement correspondant à plusieurs chemins est obtenue en les "probabilités de ces chemins". -6-