PARTIE I PAR Simon Richard [ ]

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1 PARTIE I PAR Smon Rchad [ ] 1.1. Inoducon 1.. Hsoue 1.3. e fomalsme agangen comme base de la héoe de jauge 1.4. a jauge dans le fomalsme hamlonen e les gandeus physues véables 1.5. nvaance de jauge dans la héoe de Maxwell 1.1. Inoducon Ce aval es un suvol des dfféenes héoes de jauge dans le conexe des pogès scenfues mpoans dans le domane de la physue des pacules. De la physue classue au modèle sandad nous veons ue ce pncpe d d nvaance de jauge es à la base de noe compéhenson dynamue de la naue. a pussance de cee appoche pemea même dans le fuu de dce ce ue deva êe une héoe physue ce voulan complèe e goueuse. es mulples héoes de codes en son d alleus un exemple élouen ue ces héoes epésenen l aven de la physue ou non. Pou me fae mons absa voc le conenu de ce aval u se veu je le appelle ès généalse. Dans la pemèe pae du aval en plus d un cous hsoue l sea fa menon des dfféenes héoes de jauges classues. De la mécanue classue dans son fomalsme hamlonen à l élecomagnésme nous veons ue l nvaance de jauge éa déjà un pncpe pésen à l néeu de la physue du 19eme sècle. Cee pemèe noducon nous pemea d êe famle avec une nouvelle héoe de jauge la mécanue uanue d avan la héoe de champs uanue. Dans la seconde pae du aval nous abodeons le aval de Weyl su la elavé généale e sa vson géoméue des héoes de jauge. Ces dans cee pae ue nous

2 abodeons auss l élecodynamue uanue e l unfcaon élecofable les deux pemèe héoe decemen nspé de l nvaance de jauge. a osème pae concenea l sospn e la héoe de Yang-Mlls la oue pemèe héoe de jauge à s néesse à l neacon foe. nalemen la uaème pae aea de la chomodynamue uanue héoe u complèe le modèle sandad. Il es ben d ajoue ue les dfféene héoe de codes peuven elle auss êe consdée comme des héoes de jauge mas elle seon déjà aé dans un aval ndépendan pa M. Nguyen Dang e M. Gngas 1.. Hsoue a jauge es une éféence de mesue pemean d éalonne l échelle u va sev à mesue une uané. De fa le eme ven des ablees de jauge ulsées comme éalons de longueu dans les aeles d usnage. En physue ces héoes concenen l usage sysémaue de ceanes ansfomaons de symée e l nvaance de la dynamue sous ces ansfomaons. Ce pe hsoue fea le pon ene les nombeuses héoes u seon abodé dans ce aval. Ben ue non nclus dans un conexe hsoue l fau menonné ue le fomalsme lagangen e hamlonen pa exenson pésene le cade pafa pou l élaboaon de héoes de jauges. Pa alleus ces fomalsmes éan anéeu à la découvee fomelle de la symée de jauge nous abodeons decemen l élecomagnésme selon Maxwell. a pemèe pesonne à mee decemen en évdence la symée de jauge fu James Clek Maxwell pa l enemse de sa héoe élecomagnéue. Comme nous le veons un peu plus bas la symée des éuaons de Maxwell peme effecvemen un chox de jauge pa l enemse des poenels scalae e veceu ne modfan pas la physue des éuaons. Pa cone l mpoance de cee symée demeue nexploée jusu à la fomulaon complèe de la elavé généale. En 1919 Hemann Weyl dans un essa pou unfe l élecomagnésme e la elavé généale découve ue l nvaance d échelle ou de jauge deven locale los du passage de la elavé esene à la elavé généale. e caacèe géoméue de ce ésula sea pa la sue lagemen éudé. Apès la mse en place de la mécanue uanue Weyl avec l ade de ladm ock e de z ondon avallea à l élaboaon d un nouveau ype de jauge u ls applueon à cee nouvelle mécanue. e passage d une jauge de ype faceu d échelle à une jauge complexe de ype changemen de phase pemea d explue les effes du champ élecomagnéue su la foncon d onde d une pacule chagé. Cee pemèe héoe de jauge a popemen palé sea mse de l avan pa Wolfgang Paul l un des ponnes de la mécanue uanue. De 1935 à 1955 envon la echeche scenfue se oune ves l explcaon uanue des phénomènes classues. élecodynamue n es pas épagnée e le poblème es ésolu pa eynman Schwnge e Tomonaga ndépendammen. élecodynamue uanue peme de fae un pas en avan nsauan la héoe de champ uanue comme l une des pees d assses de la physue des pacules. e peme essa vsan à ésoude le poblème de l neacon foe ce podu dans les années 50. Chen Nng Yang e Robe Mlls nodusen une jauge non

3 abélenne pou explue l neacon ene nucléons. Ben ue ès fucueuse cee héoe s avéa ncomplèe en ce u concene la masse des bosons d neacon masse u do êe nul pou avo nvaance de jauge. Cee héoe eu ou de même des conséuences posve pusu elle pems d nége des jauge macelle endan compe de phénomène jusu alos nexplué comme la lbeé asympoue. Elle alla auss ouv la voe à l unfcaon élecofable. a le mécansme de Hggs u alla ésoude le poblème de la masse Wenbeg e Salam empoèen le px Nobel de 1979 pou leu découvee. nalemen encoe plus écemmen Goss Wlczek e Polze empoa en 004 le Nobel pou leu conbuon la chomodynamue uanue. Denèe gande héoe de jauge ulsan une symée SU3 cee héoe epésene le dene gand moceau du modèle sandad e fomalsme agangen comme base de la héoe de jauge e fomalsme agangen à la base de la mécanue analyue peme une smplfcaon mpoane des conceps appaenan à la héoe de jauge. Cee appoche nous pemea d aende des ésulas généaux u nous conduons ensue su la pse du fomalsme hamlonen e de l élecomagnésme. Pemèemen on défn le agangen comme la dfféence ene l énege cnéue e l énege poenelle d un sysème en coodonnées généalsées. & T e agangen peme de défn Sα l acon su des ajecoes paan d un pon P 1 au emps 1 ves un pon P au emps. En appluan le pncpe de monde acon on peu chos lauelle des ajecoes possbles es physuemen accepable. Mahémauemen l acon se fomule ans : E l acon la monde es donné pa ds α dα S α 1 α α & d 0 pou d une ajecoe α donné ue l on noe auss S 0 oc manenan où neven la ansfomaon de jauge u neven va la dévée d une foncon abae appluée au lagangen ognal pou en fae un nouveau lagangen. d d S on applue le pncpe de monde acon on vo ue

4 d d d d S 1 1 & S Mas pusue ue oue les ajecoes envsagés on le même pon de dépa e d avé especvemen au emps 1 e S S 0 1 Ce u lasse la physue nchangée pusue c es S u se au chox de la ajecoe. On vo donc u ajoue une valeu au agangen chox de la jauge ne change pas la physue. C es ce ue l on nomme l nvaance de jauge. S cee jauge es denue en ou pon de l espace on pale d nvaance globale mas s cee jauge dépend de l espace cee nvaance es locale. nvaance locale éan beaucoup plus escve elle podu ou de même des changemens au agangen u pouon s nepée pa la sue comme des neacons. Pou le ese de l exposé à mons d avs conae nous paleons d nvaance de jauge locale. Regadons à nouveau ce u appoe une ansfomaon de jauge : d d T & Mas pusue le poenel ne dépend pas des vesses mas unuemen de la poson on peu cée un nouveau poenel T & C es le dene eme u fa ue es dfféen de. Ce dene eme es nommé neacon de jauge. Cependan s on fa une seconde ansfomaon de jauge su à l ade de la foncon G G T & On vo ue es de la même fome ue sachan ue G Ce u peme de consae ue le agangen es nvaan de jauge losue accompagne d une neacon de jauge. Donc s l on veu éce le agangen le plus généale possble :

5 & T & & A e champ vecoel éa pécédemmen epésené pa le gaden de la foncon. Pa cone dans le cas généale A n es pas un gaden. oc ce u ave los d une ansfomaon de jauge pou ce agangen généalsé & A On vo ue le agangen demeue denue losue l on applue les ansfomaons suvanes à l ade de la foncon généace. A A C es exacemen ce gene de ansfomaon ue l on eouvea losue nous egadeons l élecomagnésme. Ce u peme d émee un pncpe deceu : es seule neacon possble son des neacon de jauge pusue la naue elle u obsevée es nvaane de jauge. Ce axome sea à la base des héoes physue modene a jauge dans le fomalsme hamlonen e les gandeus physues véables asons manenan un pas de plus ves la gande héoe de jauge classue : l élecomagnésme. En ulsan le fomalsme hamlonen nous obendons des nfomaons péceuses su la sgnfcaon physue de ceanes vaables. a foce de oenz applué à une seule pacule chagé de chage coespond à la elaon suvane : f [ E v B ] Où E e B epésenen les champs élecue e magnéue s appluan su la pacule. Ces deux champs peuven êe consu pa deux poenels l un scalae e l aue veceu noé e A. Nous evendons amplemen plus ad su ces deux poenels. mpoan pou la pésene dscusson es de savo ue pluseus couples de poenels peuven donne leu aux mêmes champs élecue e magnéue. a elaon elan champs e poenels n es donc pas bunvoue. a ansfomaon généan ces poenels es une ansfomaon de jauge.

6 a foce de oenz éan donné on peu applué la célèbe éuaon de Newon : d m d f a dynamue du poblème ne dépend donc ue des champs E e B.Ce u sgnfe ue la poson e la vesse ne dépenden pas de la jauge chose. Pa cone s on ulse le fomalsme hamlonen on do passe pa les poenels e A. Pou fae bef l hamlonen de ce poblème à une pacule es le suvan : [ p A ] 1 H p m Où p le momen conjugué es défn pa la elaon suvane povenan du agangen p mv A Ce u sgnfe ue la uané de mouvemen es : π p A mv On vo ou de sue ue même s e π ne dépenden pas de la jauge comme nous l a moné l éuaon de Newon p en dépend à cause de A. C es-à-de u un même champ élecue e magnéue poua êe consu à pa de deux poenels dfféens A e A. Ce u sgnfe ue les valeus des vaables dynamues décvan une ajecoe change selon la jauge chose. Ce ésula es évden losue l on egade decemen les éuaons d Hamlon : d ph p d d p H p d Où H dépend decemen de A e. Cee dépendance de la jauge amène donc une neogaon su les uanés véablemen physue. Pusue le fomalsme agangen nous ndue ue la naue es nvaane de jauge l fau ue les uanés ayan un sens physue le so égalemen. On peu donc fomule le pncpe suvan : -es uanés démonan une nvaance de jauge locale son de véable gandeu physue. Pa exemple la poson ou la uané de mouvemen le lagangen généalsé ec.. -es uanés ne démonan pas cee nvaance de jauge n on pas de sens physue éel e peuven êe consdéé comme des nsumens sevan au calcul de gandeus physue éel. Dans le cas de l élecodynamue d une pacule p en sea un bon exemple. Comme on peu le consae cee noon se appoche beaucoup de celle d obsevable en mécanue uanue.

7 1.5. nvaance de jauge dans la héoe de Maxwell nvaance de jauge globale éa un phénomène depus longemps connu en élecosaue. Pusue le champ élecue peu êe évalué à l ade de la dévée d un poenel scalae le chox d un compage absolu du poenel es nule. On peu donc y ajoue n mpoe uelle foncon ndépendane de l espace. Mas comme menonné un peu plus hau la pemèe gande héoe à pésene une nvaance de jauge locale es la héoe élecomagnéue de Maxwell fnalsée ves Cee efomulaon de Maxwell egoupan en uae éuaons l ensemble de la scence ayan aa au magnésme e à l éleccé es une véable éusse. oc ces uae éuaons dans le vde : E ρ B E B 0 E B j a pemèe es la lo de Gauss la deuxème la lo de aaday su l nducon. a osème epésene l absence de monopole magnéue dans la naue e la uaème es la lo d ampèe modfée pa le couan de déplacemen. Cee modfcaon es d alleus appoée pa Maxwell pou ue cee éuaon so cohéene avec l éuaon de connué ue voc : ρ j 0 S le eme en E es absen de la uaème éuaon l éuaon de connué deven : ρ B 0 ρ 0 Pusue la dvegence d un oaonnel es oujous égale à 0. Ce u n es manfesemen pas va dans la plus pa des suaons. Cee modfcaon mplue ue la chage es consevée localemen. Ces 5 éuaons epésenen l ensemble de l élecomagnésme classue. Comme menonné dans la pae pécédene l es possble de consue les champs magnéue e élecue à l ade de deux poenels. Cee nouvelle défnon ne modfe en aucun pon les éuaons de Maxwell cé pécédemmen.

8 B A A E nvaance de jauge poven du fa u l es possble comme dans le cas du lagangen de ouve une foncon généace u pemea de modfe localemen e A. Comme dans la pemèe pae nous nommeons cee foncon. Cee ansfomaon de jauge es la suvane : A A De oue évdence ces nouveaux poenels lasseon les champs élecue e magnéue nchangé. e ou es de savo u une modfcaon locale d un des poenels do êe compensé pa la modfcaon locale de l aue poenel. Ce gene d appoche seva noammen à la consucon des héoes de jauge modene. Sue à la dscusson pécédene concenan le agangen on vo ue la ansfomaon de jauge es ou à fa smlae. es poenels e A son donc des uanés sans sgnfcaon dynamue mas pluô des nemédaes de calcul. En effe l nvaance de jauge élecomagnéue n ava pas pau fondamenalemen ule à l époue de Maxwell. e seul avanage ue l on n y voya éa le fa ue l on pusse ajuse les poenels de façons à facle le calcul pou cean poblème e fa ue l nvaance de jauge so mplcemen à l néeu des éuaons de Maxwell es un fa emauable. De fa l sea possble de econsue complèemen les éuaons de Maxwell en spulan unuemen ue l élecomagnésme do êe ndépendane de la jauge ulsé pou consue e A. Pou emne nous allons nodue c un fomalsme ensoel u nous sea ule pou les 3 denèes paes. Pou commence on peu défn un poenel généalsé en noaon ensoel : a ansfomaon de jauge deven alos : A A A Où la dévé covaane es défn comme éan A Ce u peme de ééce les éuaons de Maxwell sous la fome ensoelle suvane : ν ν T j où T epésene un enseu de champs e j un veceu uad-couan.

9 j ν A ρ j ν ν Encoe une fos pusue n es pas modfe apès la ansfomaon de jauge on peu de ue les éuaons de Maxwell son nvaanes de jauge évdemmen. ν A 1.6. Concluson de la pemèe pae Dans cee pemèe pae l nous a éé possble de consae un pncpe mpoan. es los dynamues de la naue semblen ndépendanes de la jauge chose même s celle-c es locale. Que se so en mécanue classue où en élecomagnésme nous avons pu consae ue cee nvaance de jauge locale peme d émee ceane hypohèse su la sgnfcaon éelle de ceanes uanés. nalemen gâce à ce pe ou de able classue l sea plus asé de compende ce u a poussé les héocens modenes à fonde une gande pae de la physue des pacules su ce pncpe d nvaance de jauge.