Comparaisons de proportions

Transcription

1 Comparaisons de proportions Pr. Nicolas MEYER Laboratoire de Biostatistique et Informatique Médicale Fac. de Médecine de Strasbourg Janvier 2011

2 Plan 1 Comparaison d une proportion à une référence 2 Comparaisons de deux proportions

3 Plan 1 Comparaison d une proportion à une référence 2 Comparaisons de deux proportions

4 Comparaison d une proportion à une référence Comparaison d une proportion observée et d une proportion théorique proportion observée p proportion théorique π Contexte : savoir si dans une population P, une proportion diffère ou non d une valeur de référence Exemple 1 savoir si la fréquence d une maladie dans un pays diffère de celle d une valeur de référence Exemple 2 comparer la fréquence d un phénotype avec les fréquences attendues sous la loi de Mendel.

5 Exemple de comparaison proportion observée/ théorique soit un couple d allèle A dominant et a recessif. ces allèles expliquent-ils les phénotypes A et a? On s attend à avoir 75 et 25 % de A et a respectivement Sur un échantillon de 200 sujets, on observe 65% de A. La répartition suit-elle une loi de Mendel?

6 Une proportion observée et une proportion théorique Utilisation d un test reposant sur une approximation par la loi normale z = p π π (1 π) n où p est la proportion observée et π la proportion théorique ou de référence

7 Une proportion observée et une proportion théorique Utilisation d un test reposant sur une approximation par la loi normale z = p π N (0; 1) π (1 π) n où p est la proportion observée et π la proportion théorique ou de référence

8 Une proportion observée et une proportion théorique Utilisation d un test reposant sur une approximation par la loi normale z = p π N (0; 1) π (1 π) n où p est la proportion observée et π la proportion théorique ou de référence conditions d applications du test : pour une valeur π donnée, les effectifs n doivent être suffisamment grands et tels que nπ 5 et n (1 π) 5 poser H 0 : p = π et H 1 : p π (bil.), choisir un seuil de rejet de H 0 (par exemple α = 0.05) puis calcul de la statistique de test

9 Exemple sur la loi de Mendel les conditions de validité sont ici vérifiées : 200 0,25 = 50 donc utilisation de la loi normale et du test z le test : z obs = = 3,27 donc z obs > 1,96 d où l on rejette l H 0 d égalité de la proportion dans la population d intérêt et de la proportion théorique. notion d adéquation à une valeur test du χ 2, vu plus tard Rem : si H 0 n avait pas été rejetée, la théorie de Mendel n en aurait pas été prouvée pour autant, suivant le concept fréquentiste de test statistique

10 Plan 1 Comparaison d une proportion à une référence 2 Comparaisons de deux proportions

11 Test de comparaison de deux proportions : Contexte Comparaison de deux groupes : très souvent basée sur des taux de succès ou d échec ex. : succès de deux chimiothérapies, de deux antibiothérapies, % d animaux présentant une anomalie, etc. l absence de différence de taux de succès π A = π B et donc p A p B nulle en moyenne Soit p c = n Ap A +n B p B la proportion commune sous H n A +n B 0 et q c = 1 p c

12 Test de comparaison de deux proportions : Contexte Comparaison de deux groupes : très souvent basée sur des taux de succès ou d échec ex. : succès de deux chimiothérapies, de deux antibiothérapies, % d animaux présentant une anomalie, etc. l absence de différence de taux de succès π A = π B et donc p A p B nulle en moyenne Soit p c = n Ap A +n B p B la proportion commune sous H n A +n B 0 et q c = 1 p c On peut montrer que : z = p A p B pc q c n A + p cq c n B

13 Test de comparaison de deux proportions : Contexte Comparaison de deux groupes : très souvent basée sur des taux de succès ou d échec ex. : succès de deux chimiothérapies, de deux antibiothérapies, % d animaux présentant une anomalie, etc. l absence de différence de taux de succès π A = π B et donc p A p B nulle en moyenne Soit p c = n Ap A +n B p B la proportion commune sous H n A +n B 0 et q c = 1 p c On peut montrer que : z = p A p B N (0 ; 1) + p cq c n B pc q c n A

14 Commentaire On a vu que : p c = n Ap A +n B p B n A +n B pour tester l écart entre deux proportions, on utilise une variance de la différence avec la proportion commune p c en raison de l H 0 : pas de différence entre les proportions p A et p B sont alors deux estimations d une même proportion π la meilleure estimation possible de la variance s obtient sur l ensemble des deux groupes donc avec p c = n Ap A +n B p B n A +n B Conditions de validité du test z de comparaison de deux proportions : n A p A 5, n A q A 5, n B p B 5, n B q B 5 Par ailleurs, lien avec le test du χ 2 voir suite du cours.

15 Exemple Soit deux traitements anti-vhc : deux groupes A et B, de taille n A = n B = 50 on définit un critère de jugement d efficacité on pose H 0 : π A = π B et H 1 : π A π B, en bilatéral à la fin de l essai on observe : p A = 0,52 et p B = 0,38 on calcule la variance de la différence sous H 0 : p c = (50 0, ,38)/(100) = 0,45 le test : (0,52 0,38)/ ( (2 1/50)) = 1,41 z < 1,96 : on ne rejette donc pas H 0 dans l exemple : 50 0,38 = 19, donc test valide