Tests usuels sur échantillons appariés. Pierre Neuvial, Evry, M1 SGO, automne 2014

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1 Démarche Statistique 1 Tests usuels sur échantillons appariés Pierre Neuvial, Evry, M1 SGO, automne 2014

2 Echantillons appariés Définition Deux séries d'observations sur les mêmes individus, mais dans des conditions différentes n ( X 1, Y 1 ), ( X 2, Y 2 ), ( X n, Y n ) ( X i, Y i ) des variables indépendantes, identiquement distribuées. On note ( μ 1, μ 2 ) (X, Y). couples de variables quantitatives, telles que les sont Question: la moyenne des deux populations est-elle identique? Exemples la moyenne de Efficacité de deux traitements laser pour la rétinopathie diabétique: un traitement par oeil; mesure de l'acuité visuelle un certain temps après traitement Effet secondaire d'un médicament contre le rhume: on se demande si le médicament n'aurait pas pour effet d'augmenter la tension artérielle. On mesure la tension de chaque patient; le patient prend le médicament; après un certain temps, on reprend la tension du patient 2/21

3 Plan 1. Test de Student 2. Test du signe 3. Test de Wilcoxon 3/21

4 Notations On écrira que des variables sont i.i.d. (pour indépendantes, et identiquement distribuées) si elles sont indépendantes et suivent toutes la même loi de probabilité On utilisera des lettres majuscules pour désigner les variables aléatoires et des lettres minuscules pour désigner leurs réalisations (qui sont des valeurs numériques) Exemple: - Xˉ = n i=1 X i désigne la moyenne empirique de l'échantillon, - x 1 = 2 x 2 = 0 xˉ Pour un échantillon donné, si les réalisations de ces variables sont,, x 3 = 1, alors la valeur de la moyenne empirique de l'échantillon est = 1 X 1 X n 4/21

5 Notations (suite) On notera P( (0, 1) x) qu'une variable aléatoire de loi la probabilité dépasse la valeur, c'est-à-dire l'aire sous la courbe de densité à droite de. x En R, on a P( (0, 1) x) = 1-pnorm(x) x (0, 1) Exemple: loi normale On utilisera de même les notations: - P( (0, 1) x) = - P( (0, 1) x) = 1-pnorm(x) 2*(1-pnorm(x)) On utilisera également cette notation pour d'autres lois (en particulier la loi de k Student à degrés de liberté, notée ). t k Exemple: loi de Student Cette notation n'est pas ambigüe car il s'agit de quantités intrinsèques à la loi de probabilité 5/21

6 1. Test de Student

7 Données appariées: méthode des couples Principe: travailler sur les différences entre observations D i = Y i X i i On note pour tout. On suppose que ( μ 2 μ 1, σ 2 ). D 1, D 2, D n sont indépendantes, identiquement distribuées de loi H 0 : μ 1 = μ 2 H 1 : μ 1 μ 2 H 1 : μ 1 < μ 2 Pour tester contre (ou ), on peut utiliser le test de comparaison à la valeur de référence 0. Dˉ = n i=1 D i n S 2 1 = ( D n 1 i Dˉ ) 2 i=1 n On présente ici le cas où σ est inconnu car c'est le plus réaliste. On utilse un test de Student. 7/21

8 Test de Student sur données appariées Les différences D 1, D n sont supposées i.i.d. de loi (, ) μ 1 μ 2 σ, et sont inconnus T = Dˉ Statistique de test: S/ n H 0 : μ 1 = μ 2 T n 1 Sous, suit une loi de Student à degrés de liberté Test bilatéral: H 0 : μ 2 = μ 1 contre : Test de niveau α: rejeter de H 0 si t u, où est le quantile d'ordre de la loi de Student à degrés de liberté Exemple: si et, alors H 1 μ 2 μ 1 u 1 α/2 n 1 α = 0.05 n = 20 u = p-value du test: p = P H0 ( T t ) μ 2 μ 1 σ 2 8/21

9 Test de Student sur données appariées Les différences D 1, D n sont supposées i.i.d. de loi (, ) μ 1 μ 2 σ, et sont inconnus T = Dˉ Statistique de test: S/ n μ 1 μ 2 σ 2 Sous H 0 : μ 1 = μ 2, T suit une loi de Student à n 1 degrés de liberté: t n 1 Test unilatéral à gauche H 0 μ 2 μ 1 contre : < : = H 1 μ 1 μ 2 α H 0 t u Test de niveau : rejet de si, u α t n 1 où est le quantile d'ordre de la loi Si α = 0.05, alors u = p-value du test: p = P H0 (T t) Test unilatéral à droite H 0 μ 2 μ 1 contre : > : = H 1 μ 1 μ 2 α H 0 t u Test de niveau : rejet de si, u 1 α t n 1 où est le quantile d'ordre de Si α = 0.05, alors u = p-value du test: p = P H0 (T t) 9/21

10 Exemple: étude de l'effet d'un somnifère Nombre d'heures de sommeil gagnées par 10 patients après la prise d'un somnifère SOMNIFÈRE 1 SOMNIFÈRE 2 DIFFÉRENCE ('1'-'2') Cushny, A. R. and Peebles, A. R. (1905) The action of optical isomers: II hyoscines. The Journal of Physiology 32, Student (1908) The probable error of the mean. Biometrika, 6, /21

11 Test de Student sur données appariées Mise en place du test H 0 μ 2 = μ 1 H 1 μ 1 μ 2 " Test de : " " contre : " Niveau choisi: α = 0.05 T = Dˉ Statistique de test: H 0 T t(n 1) pour Sous, suit une loi de Student, connue S/ n H 0 Forme du test: rejet de T u Seuil de rejet: u = n = 10 Réalisation du test Données: -1.2, -2.4, -1.3, -1.3, 0, -1, -1.8, -0.8, -4.6, -1.4 Statistique de test: p-value: Conclusion Au vu de cette expérience, au niveau 0.05, on rejette l'hypothèse selon laquelle les deux somnifères ont la même efficacité 11/21

12 Test de Student sur données appariées Statistique de test Décision d <- x-y S <- sd(d) n <- length(d) (stat <- mean(d)/s*sqrt(n)) ifelse(abs(stat)>=u, "rejet", "non rejet") ## [1] "rejet" ## [1] Calcul du quantile Calcul de la p-valeur (p <- 2*(1-pt(abs(stat), df=n-1))) alpha < (u <- qt(1-alpha/2, df=n-1)) ## [1] ## [1] /21

13 Test de Student sur données appariées Pilote automatique t.test(x, y, paired=true) ## ## Paired t-test ## ## data: x and y ## t = , df = 9, p-value = ## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 ## 95 percent confidence interval: ## ## sample estimates: ## mean of the differences ## /21

14 2. Test du signe

15 Test du signe Motivation Le test de Student n'est applicable que quand les D i sont indépendantes et de loi normale. Le test du signe ne fait pas d'hypothèse de normalité (mais fait l'hypothèse d'indépendance!) Idée: tester la symétrie de la distribution de par rapport à 0 Mise en oeuvre Compter le nombre T d'individus dont le D i est positif D Propriété Sous l'hypothèse de symétrie de la loi de est nulle), la loi de T est Bin(n, 1/2) D (c'est-à-dire sous l'hypothèse que la médiane de D 15/21

16 3. Test des rangs signés de Wilcoxon

17 Test de Wilcoxon Motivation Le test de Student n'est applicable que quand les D i sont indépendantes et de loi normale. Le test de Wilcoxon ne fait pas d'hypothèse de normalité (mais fait l'hypothèse d'indépendance!) Il suppose simplement qu'ordonner les a un sens (variables ordinales) Idée: tester la symétrie de la distribution de par rapport à 0 Mise en oeuvre R i D i s i Calculer les rangs des valeurs absolues des différences et le signe de la différence D D i Calculer la somme des rangs des individus dont le D i est positif: T = { Di>0} R i Propriété Sous l'hypothèse de symétrie de la loi de est nulle), la loi de ces variables aléatoires ne dépend que de D (c'est-à-dire sous l'hypothèse que la médiane de n D 17/21

18 Exemple: somnifères Mise en place du test H 0 μ 1 = μ 2 H 1 μ 1 μ 2 " Test de : " " contre : " Niveau choisi: α = 0.05 Statistique de test: T = { Di>0} H 0 T (n) Sous, suit une loi de Wilcoxon, connue Forme: rejet de H 0 T u g ou T u d Seuils de rejet: u g = 6, = 39 u d R i Réalisation du test Données: -1.2, -2.4, -1.3, -1.3, -1, -1.8, -0.8, -4.6, -1.4 Statistique de test: 0 p-value: Conclusion Au vu de cette expérience, au niveau 0.05, on rejette l'hypothèse selon laquelle les deux somnifères ont la même efficacité 18/21

19 Test de Wilcoxon sur données appariées Statistique de test Décision d <- x-y; d <- d[d!= 0] n <- length(d) r <- rank(abs(d)) (stat <- sum(r[d > 0])) ifelse(stat>=u[1] stat<=u[2], "rejet", "non rejet") ## [1] "rejet" ## [1] 0 Calcul des quantiles Calcul de la p-valeur NB: la loi de la statistique sous symétrique p H 0 n'est pas calcul de la -valeur adapté alpha < (u <- qsignrank(c(alpha/2, 1-alpha/2), n)) pg <- psignrank(stat, n) (p <-2*min(pg, 1-pg)) ## [1] 6 39 ## [1] /21

20 Test de Wilcoxon sur données appariées Pilote automatique? suppresswarnings(wilcox.test(x, y, paired=true)) ## ## Wilcoxon signed rank test with continuity correction ## ## data: x and y ## V = 0, p-value = ## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0 Noter les "Warning" à cause de la présence de 0 et d'ex-aequo (ties) et le "with continuity correction" Utiliser plutôt la fonction wilcox.exact du package exactranktests 20/21

21 Test de Wilcoxon sur données appariées Pilote automatique: test exact Approximation gaussienne library(exactranktests) wilcox.exact(x, y, paired=true) library(exactranktests) wilcox.exact(x, y, paired=true, exact=false) ## ## Exact Wilcoxon signed rank test ## ## data: x and y ## V = 0, p-value = ## alternative hypothesis: true mu is not equal to 0 ## ## Asymptotic Wilcoxon signed rank test ## ## data: x and y ## V = 0, p-value = ## alternative hypothesis: true mu is not equal to 0 Ce test utilise la loi exacte de la statistique de test: c'est celui qu'il faut utiliser! Ce test utilise une approximation de la loi de la statistique de test par une loi normale, qui n'est valable que pour des échantillons de taille suffisante (ce n'est pas le cas ici car n = 9 ) 21/21

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