DS 6 DE RATTRAPAGE 18 AVRIL 2016

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1 Durée : 2h DS 6 DE RATTRAPAGE 18 AVRIL 2016 Avec Calculatrice La notation tiendra compte de la présentation, ainsi que de la précision de la rédaction et de l argumentation. Aucun prêt n est autorisé entre les élèves. Rappel : tous les résultats seront à justifier sauf avis contraire Exercice 1-3 points - ( Pour chacune des questions, une seule réponse parmi les trois est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante puis justifier cette réponse. Q1 - La suite (u n ) a pour terme général u n = 2n + 1, alors u n+1 = a) 2n + 2 b) 2n + 3 c) 2n + 4 Q2 - La suite (u n ) vérifie la relation de récurrence u n+1 = u n ² et u 0 = 4, alors u 2 = a) 36 b) 256 c) 1296 Q3 - La suite (u n ) a pour terme général u n = 5 2 n, alors a) décroissante b) croissante c) ni croissante, ni décroissante Exercice 2-3 points - On sait qu'il y a des années à coccinelles et d'autres sans! On se propose d'étudier une population de coccinelles. Un mathématicien belge, Pierre-François Verhulst a démontré qu'une relation mathématique décrivait cette alternance. On a dans un jardin 300 coccinelles. Notons u 0 la population initiale, en milliers, de coccinelles et u n la population, en milliers, de coccinelles au bout de n années. On a : { u 0 = 0,3 u n+1 = 2,8 u n (1 u n ) On a représenté en annexe la fonction g définie par g(x) = 2, 8x(1 x) et la droite D d équation y = x. 1) Représenter sur la figure en annexe les quatre premiers termes de la suite (à placer en abscisse). Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de cette suite? b) Formuler une conjecture sur l'évolution de la population des coccinelles. Exercice 3-6 points - 1. Soit la suite (u n ) dont on a calculé les premiers termes à l'aide de la feuille de calcul en annexe : a) Lire les valeurs u 0 et u 1. b) En B3, on a tapé la formule =B2+2*A2+3. En déduire : une formule de récurrence reliant u n et u n 1 pour tout entier n > 1 ; une formule de récurrence reliant u n+1 et u n pour tout entier naturel n. c) Compléter le tableau ci-contre à l'aide de votre calculatrice. 2. On pose v n = n² + 2n + 1, pour tout entier naturel n. a) Quelle formule faut-il taper en C2? b) Montrer que v n+1 = v n + 2n + 3. c) Déduire que les suites (u n ) et (v n ) sont égales.

2 Exercice 4-5 points - Soit la fonction f définie sur [ 1 ; 1,5] par f(x) = 2x 3 3x 2 2. On note C f la courbe représentative de. 1. Calculer f ( x) 2. Etudier le signe de f (x) puis dresser le tableau de variation de f. 3. Quelle est le signe de f(x) sur [ 1 ; 1,5]? Exercice 5-7 points - On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x2 4x + 7 x On note f la dérivée de la fonction f. 1. Montrer que f (x) = 4x2 8x 12 (x² + 3) Étudier le signe de f (x) sur R 3. Donner le tableau des variations de f sur R 4. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d'abscisse 1. Représenter la tangente T sur le graphique en annexe. Exercice 6-5 points - Une entreprise fabrique des composants électroniques. Un contrôle de qualité a établi que la probabilité qu un composant soit défectueux à la sortie de la chaîne de production est égale à 0, 05. L entreprise propose à la vente des lots de 20 composants. On note X la variable aléatoire égale au nombre de composants défectueux dans un lot. 1. Montrer que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Déterminer la probabilité pour qu un lot contienne ne contienne aucun composant défectueux. 3. Que signifie p(x = 3)? Calculer ensuite p(x = 3). 4. Déterminer la probabilité pour qu un lot contienne strictement moins de 2 de composants défectueux. 5. Calculer E(X). Interpréter ce résultat.

3 ANNEXE : DS 6 RATTRAPAGE 18 AVRIL 2016 Durée : 2h Avec Calculatrice NOM : Prénom : La notation tiendra compte de la présentation, ainsi que de la précision de la rédaction et de l argumentation. Aucun prêt n est autorisé entre les élèves. Bilan Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 Ex 6 / 30 / 3 / 3 / 6 / 5 / 7 / 5 Exercice 2 Exercice 3

4 Exercice 5

5 CORRECTION DS 6 14 AVRIL 2016 Exercice 1-4 points - ( Pour chacune des questions, une seule réponse parmi les trois est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante puis justifier cette réponse. Chaque réponse exacte et justifiée rapportera 1 point. Une réponse fausse non justifiée enlève 0,5 point. Q1 - La suite (u n ) a pour terme général u n = 2n + 1, alors u n+1 = a) 2n + 2 b) 2n + 3 c) 2n + 4 On sait que u n = 2n + 1 Alors u n+1 = 2(n + 1) + 1 = 2n = 2n + 3 Réponse : b) Q2 - La suite (u n ) vérifie la relation de récurrence u n+1 = u n ² et u 0 = 4, alors u 2 = a) 36 b) 256 c) 1296 On sait que u n+1 = u n ² Alors u 1 = u 2 0 = 4 2 = 16 u 2 = u 2 1 = 16 2 = 256 Réponse : b) Q3 - La suite (u n ) a pour terme général u n = 5 2 n, alors a) décroissante b) croissante c) ni croissante, ni décroissante On sait que la suite de terme général v n = 2 n est croissante Comme 5 < 0 Alors u n = 5 2 n Donc la suite (u n ) est décroissante Réponse : a) Exercice 2-3 points - (2) On sait qu'il y a des années à coccinelles et d'autres sans! On se propose d'étudier une population de coccinelles. Un mathématicien belge, Pierre-François Verhulst a démontré qu'une relation mathématique décrivait cette alternance. On a dans un jardin 300 coccinelles. Notons u 0 la population initiale, en milliers, de coccinelles et u n la population, en milliers, de coccinelles au bout de n années. On a : { u 0 = 0, 3 u n+1 = 2, 8 u n (1 u n ) On a représenté ci-dessous la fonction g définie par g(x) = 2, 8x(1 x) et la droite D d équation y = x. a) Représenter sur cette figure les quatre premiers termes de la suite (à placer en abscisse). Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de cette suite? b) Formuler une conjecture sur l'évolution de la population des coccinelles. La population tend à se stabiliser avec le temps aux alentours de 640 individus.

6 Exercice 3-6 points - 1. Soit la suite (u n ) dont on a calculé les premiers termes à l'aide de la feuille de calcul ci-contre : a) Lire les valeurs u 0 et u 1. u 0 = 1 et u 1 = 4. b) En B3, on a tapé la formule =B2+2*A2+3. En déduire : une formule de récurrence reliant u n et u n 1 pour tout entier n > 1 ; u n = u n 1 + 2(n 1) + 3 une formule de récurrence reliant u n+1 et u n pour tout entier naturel n. u n+1 = u n + 2n + 3 c) Compléter le tableau ci-contre à l'aide du mode suite de votre calculatrice. 2. On pose v n = n² + 2n + 1, pour tout entier naturel n. a) Quelle formule faut-il taper en C2? En C2, il faut saisir =A2^2+2*A2+1 b) Montrer que v n+1 = v n + 2n + 3. v n+1 = (n + 1)² + 2(n + 1) + 1 = n² + 2n n = v n + 2n + 3. c) Déduire que les suites (u n ) et (v n ) sont égales. Les suites (u n ) et (v n ) : - ont le même premier terme : u 0 = 1 et v 0 = 1, - vérifient la même relation de récurrence : u n+1 = u n + 2n + 3 et v n+1 = v n + 2n + 3, Donc u n = v n pour tout entier naturel n.

7 Exercice 4-5 points - Soit la fonction f définie sur [ 1 ; 1, 5] par f(x) = 2x 3 3x 2 2. On note C f la courbe représentative de. 1. Calculer f ( x) On a f(x) = 2x 3 3x 2 2 Comme f est dérivable comme somme de fonctions dérivables D où f(x) = 2 3x 2 3 2x = 6x 2 6x = 6x(x 1) 2. Etudier le signe de f (x) puis dresser le tableau de variation de f. Signe de f (x) Tableau de variation de f 3. Quelle est le signe de f(x) sur [ 1 ; 1, 5]? La fonction f admet comme maximum 2 sur [ 1 ; 1,5] Donc sur [ 1 ; 1,5], f(x) < 0 Exercice 5-7 points - On considère la fonction f définie sur R par On note f la dérivée de la fonction f. 1. Montrer que f (x) = 4x2 8x 12 (x² + 3) 2 f(x) = x2 4x + 7 x On a f(x) = x2 4x+7 x 2 +3 Comme f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables D où f = u avec u(x) = x 2 4x + 7 u (x) = 2x 4 v v(x) = x v (x) = 2x Alors f = u v v u v 2 f (x) = (2x 4) (x2 + 3) 2x(x 2 4x + 7) (x 2 + 3) 2 f (x) = 2x3 + 6x 4x 2 12 (2x 3 8x x) (x 2 + 3) 2 f (x) = 2x3 4x 2 + 6x 12 2x 3 + 8x 2 14x (x 2 + 3) 2 Donc f (x) = 4x2 8x 12 (x 2 +3) 2.

8 2. Étudier le signe de f (x) sur R On a f (x) = 4x2 8x 12 (x 2 +3) 2 Comme pour tout réel x, (x 2 + 3)² > 0. Donc le signe de f (x) est le même que 4x 2 8x 12 On calcule le discriminant du trinôme est Δ = b 2 4ac = ( 8) ( 12) = 256 Comme Δ > 0 donc le polynôme a deux racines : Alors x 1 = b 2a x 2 = b+ 2a = ( 8) = ( 8) = = = 8 8 = 1 = 24 8 = 3 Δ > 0 et a < 0 3. Donner le tableau des variations de f sur R 4. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d'abscisse 1. Représenter la tangente T sur le graphique ci-dessous. La tangente T en C f en 1 a la forme T : y = f (1)( x 1) + f (1) On calcule f(1) = = 1 f (1) = (1 2 +3) 2 = = = 1 D où T : y = 1( x 1) + 1 y = x Donc T : y = x + 2

9 Exercice 6-5 points - Une entreprise fabrique des composants électroniques. Un contrôle de qualité a établi que la probabilité qu un composant soit défectueux à la sortie de la chaîne de production est égale à 0, 05. L entreprise propose à la vente des lots de 20 composants. On note X la variable aléatoire égale au nombre de composants défectueux dans un lot. 1. Montrer que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. Pour faire un lot, on répète n = 20 fois l expérience aléatoire consistant à tirer au hasard un composant électronique dans la production. Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli pour laquelle le succès est de tirer un composant défectueux avec la probabilité p = 0, 05. Ses répétitions sont identiques et indépendantes entre elles. On en déduit que la variable aléatoire X, comptant le nombre de succès sur ces 20 répétitions, suit la loi binomiale (20; 0, 05). 2. Déterminer la probabilité pour qu un lot contienne ne contienne aucun composant défectueux. L événement ne contenir aucun composant défectueux est l événement X = 0 ; sa probabilité est : p(x = 0) = ( 20 0 ) 0, 050 0, = 0, , 3584 La probabilité qu il n y ait aucun composant défectueux dans un lot est environ de 0, Que signifie p(x = 3)? Calculer ensuite p(x = 3). p(x = 3) correspond à la probabilité que 3 composants sur les 20 soient défectueux. p(x = 3) = ( 20 3 ) 0, 053 0, , Déterminer la probabilité pour qu un lot contienne strictement moins de 2 de composants défectueux. La probabilité qu il y ait strictement moins de 2 d objets défectueux est donc de : p(x < 2) = p(x = 0) + p(x = 1) = p(x 1) 0,73 La probabilité qu il y ait strictement moins de 2 de composants défectueux est donc d environ 0, Calculer E(X). Interpréter ce résultat. E(X) = 20 0, 05 = 1 En moyenne, il y aura 1 objet défectueux.