Fractions rationnelles

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1 Fractos ratoelles 1. Gééraltés 1.1. Rappels K R ou C U polyôme s écrt sous la forme : pour u ombre f de k et P(X) K [X] k k avec a k 0 sauf k 0 P( X ) a. X 1.. Défto d ue fracto ratoelle O appelle fracto ratoelle à ue détermée X sur K et o ote A( X ), le quotet de deu polyômes avec A ( X ) K [ X ] et B ( X ) ) K [ X ] \ { 0 } O ote K ( X ) l esemble des fractos ratoelles à ue détermée sur K. Eemple : F(X) K ( X ) F( X ) X X X X + 5X est ue fracto ratoelle 1.. Opératos sur K( X ) O peut défr sur K( X ) les opératos suvates : P X ( ) R( X ) + Q( X ) S( X ) P( X ). S( X ) + R( X ). Q( X ) Q( X ). S( X ) ( ) R( X ) Q( X ) S( X ) P ( X ). R ( X ) Q( X ). S( X ) P X. Races et pôles d ue fracto ratoelle.1. Fracto rréductble O dt qu ue fracto ratoelle P( X ) Q( X ) Il este toujours u représetat rréductble d ue fracto ratoelle (l sufft de dvser P ( X ) et Q ( X) par u PGCD). est rréductble s P ( X ) et Q ( X ) sot premers etre eu. Eemple : X + 5X + X + 5 F( X ) 4 X + 5X ( + 5).( + 1) + 1 X X X X ( X + 5) X Cours Fractos ratoelles 1 / 1 P01 Aleth Chevalley

2 .. Défto d ue race Sot F( X ) P( X ) rréductble. Q( X ) O dt que α K est ue race d ordre h N de F ( X ) s α est race d ordre h de P ( X ).. Défto d u pôle Sot F( X ) P( X ) Q( X ) rréductble. O dt que α K est u pôle d ordre h N de F ( X ) s α est race d ordre h de Q ( X ) Eemple : a) Trouver les races et les pôles de F ( X ) 4 X X X X X + X + X Pôle X - Doc le polyôme P ( X ) s écrt P ( X ) ( X + 1 ).( X + X + 1 ) et Q ( X ) s écrt Q ( X ) ( X + 1 ).( X + ) Forme rréductble : F( X ) X + X + 1 X + Races de P ( X ) : < 0 deu races ( -1 + ) / et ( -1 - ) / deu races d ordre 1 das C ( pas de race das R) et u pôle d ordre 1 qu vaut - Cours Fractos ratoelles / 1 P01 Aleth Chevalley

3 b) Trouver les races et les pôles de F ( X ) Races de P ( X ) : 1 race évdete 4 X X X X X + 8X + 16 or X 4 X + ( X 1 ).( X ) doc P ( X ) ( X 1 ). ( X ) et Q ( X ) ( X + 4 ) forme rréductble : 1 est race d ordre, est race d ordre 1 et 4 est pôle d ordre. Cours Fractos ratoelles / 1 P01 Aleth Chevalley

4 . Décomposto d ue fracto ratoelle.1. Pôles réels smples Sot F ( X ) A( X ) ue fracto ratoelle de R ( X ), avec deg ( A ) < deg ( B) et B(X) e comportat que des élémets de la forme (X λ ) races réelles smples, alors F ( X ) se décompose de faço uque das R ( X ) comme ue somme d élémets du type : dot les déomateurs dvset B ( X ). F ( X ) ( )( ) ( ) a ( X λ ) avec a, λ R A( X ) A( X ) a1 a a X λ X λ... X λ X λ X λ X λ 1 1 C est la décomposto e élémets smples. Ue maère smple de calculer les par (X λ ) pus de dre X a est de multpler les deu membres de la fracto a. λ ce qu doe par eemple Eemple : Décomposez e élémets smples la fracto suvate : Pôles smples : 1 ; 1 et o écrt B() ( 1).(+1).(-) Doc DES ( + 1) a b c + ( 1).( + 1)( ) ( 1) Pour trouver a, o multple par ( 1) F ( ). ( - 1) ( + 1).( 1) a.( 1) b.( 1) c.( 1) + ( 1).( + 1).( ) O smplfe et o remplace par 1 qu est la race de 1 Pour trouver b, o multple par ( + 1) F ( ). ( + 1) ( + 1).( + 1) a.( + 1) b.( + 1) c.( + 1) + ( 1).( + 1).( ) ( + 1) ((1) 1+ 1) 1 ( + 1).( ) (1 + 1).(1 ) a O smplfe et o remplace par -1 qu est la race de + 1 Pour trouver c, o multple par ( - ) ( + 1) (( 1) ) 6 1 ( 1).( ) ( 1 1).( 1 ) 6 b F ( ). ( ) ( + 1).( ) a.( ) b.( ) c.( ) + ( 1).( + 1).( ) ( + 1) (() + 1) 6 O smplfe et o remplace par qu est la race de c ( + 1).( 1) ( + 1).( 1) 1 1 F( X ) Cours Fractos ratoelles 4 / 1 P01 Aleth Chevalley

5 .. Pôles réels d ordre ou plus (pôles doubles ou multples) Sot F ( X ) A( X ) ue fracto ratoelle de R ( X ), avec deg ( A ) < deg ( B) et B(X) comportat des élémets de la forme (X λ) races réelles multples, alors F ( X ) se décompose de faço uque das R ( X ) : F ( X ) A( X ) A( X ) a1 a a X X λ ( X λ) ( X λ) ( λ ) avec a, λ R et N* O calcule d abord a e multplat les deu membres de la fracto par (X λ) pus de dre X λ ce qu doe Pour les autres termes, o multple la fracto par X pus o fat tedre X vers plus l f. a Eemple : Décomposez e élémets smples la fracto suvate : Pôles doubles : 1 et o écrt B() (+1).(-) Doc DES 9 a b c d F( X ) + + ( + 1).( ) + 1 ( + 1) ( ) Pour trouver b, o multple par ( + 1) ( 9 ).( + 1) a.( + 1) b.( + 1) c.( + 1) d.( + 1) + + ( + 1).( ) + 1 ( + 1) ( ) F ( ). ( +1) O smplfe et o remplace par - 1 qu est la race de ( 1) 9( 1) ( 1) 9 ( ) ( 1 ) 9 De même pour d, o multple par ( - ) ( 9 ).( ) a.( ) b.( ) c.( ) d.( ) + + ( + 1).( ) + 1 ( + 1) ( ) F ( ). ( -) O smplfe et o remplace par qu est la race de 9 () 9() () 18 ( + 1) ( + 1) 9 Pour trouve a et c, o multple F() par F ( ). d b ( 9 ). a b c d + + ( + 1).( ) + 1 ( + 1) ( ) et o fat tedre vers + ce qu est équvalet à 4 ( 9 ). a b c d lm lm lm a + c ( + 1).( ) Doc a+c Il ous maque ue équato pour coaître a et c ; o chost ue valeur partculère smple qu est pas u pôle de F pour calculer F F(0) 0 a 1 c c a ( ) a-c// ce qu est équvalet à a-c d où a c doc c 1 et a 1 1 F( X ) ( + 1) ( ) Cours Fractos ratoelles 5 / 1 P01 Aleth Chevalley

6 .. Pôles complees d ordre 1 (races complees) Sot F ( X ) A( X ) ue fracto ratoelle de R ( X ), avec deg ( A ) < deg ( B) et B(X) comportat des élémets de la forme (X²+ λ X + µ) avec u dscrmat égatf (races complees), alors F ( X ) se décompose de faço uque das R ( X ) : F ( X ) A( X ) A( X ) a1 X + b1 ak X + b... + X X... X X X X X X avec ak, bk, λ k, µ k R ( + λ 1 + µ 1) ( + λ k + µ k ) ( + λ 1 + µ 1) ( + λ k + µ k ) k Pour calculer les coeffcets, o utlse e gééral, la méthode d detfcato. Cas partculer : races complees très smples e : ² + 1 admet races et (-). O utlse la même méthode qu avec les races réelles. + 1 Eemple 1: Décomposez e élémets smples la fracto suvate : + Pôles complees : et (- ) o écrt B() ( +1).(-) Doc DES + 1 a b + c + + ( 1).( ) 1 Pour trouver a, o multple par ( ) F().( - ) O smplfe et o remplace par qu est la race de Pour trouver b et c, o multple par ( ²+1) F().( ²+1) O smplfe et o remplace par qu est la race de ²+1 ( + 1) ( + 1).( + ) ( ) ( ).( + ) ( + 1).( ) + 1 Doc ( + 1).( ) a.( ) ( b + c).( ) ( + 1).( ) ( ) ( + 1) (. + 1) 5 1 a ( + 1) 5 ( + 1).( + 1) 1.( + 1) ( b + c).( + 1) ( + 1).( ) ( ) ( + 1) b+c b -1 et c 0 Eemple : Décomposez e élémets smples la fracto suvate : Pôles complees : et (- ) o écrt B() ( +1).(²++1) Doc DES + a + b c + d ( + 1).( + + 1) Pour trouver a et b, o multple par ( ²+1) F().(²+1) ( + ).( + 1) ( a + b).( + 1) ( c + d).( + 1) ( + 1).( + + 1) ( + 1) ( + + 1) O smplfe et o remplace par qu est la race de ²+1 ( ( ) + ) ( + 1). ( + 1). ( + + 1) ( ) + 1 a+b a -1 et b 1 Cours Fractos ratoelles 6 / 1 P01 Aleth Chevalley

7 Pour trouve c et d, l este méthodes : 1 ) méthode O multple F() par et o fat tedre vers + ce qu équvaut à : F( ). ( + ) ( + 1) ( c + d) ( + 1).( + + 1) ( + ). lm lm ( + 1).( + + 1) + ( c + d). c lm lm c + ( + + 1) + ( + 1). lm lm 1 + ( + 1) + quad ted vers l f c doc c 1 Il ous maque ue équato pour coaître d; o chost ue valeur partculère smple qu est pas u pôle de F pour calculer F c 0 F(0) 0 1 d 0 + d où d ( + 1).( + + 1) ) méthode O detfe e mettat au même déomateur : ( 1).( 1) ( ).( 1) c + d + ( + 1).( + + 1) ( + 1).( + + 1) ( 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 ( + 1).( + + 1) + c d c + + d O résout le système : 1+ c 0 d 1 c d 0 c 1 d ( + 1).( + + 1) Pôles complees d ordre ou plus (races complees multples) Sot F ( X ) A( X ) ue fracto ratoelle de R ( X ), avec deg ( A ) < deg ( B) et B(X) comportat des élémets de la forme (X²+ λ X + µ) avec u dscrmat égatf (races complees), alors F ( X ) se décompose de faço uque das R ( X ) : F ( X ) A( X ) A( X ) a X + b a X + b X X avec a, b, λ, µ R et N* a X + b ( X + λ X + µ ) ( + λ + µ ) ( X + λ X + µ ) ( X + λ X + µ ) Pour calculer les coeffcets, o utlse la méthode d detfcato. Cours Fractos ratoelles 7 / 1 P01 Aleth Chevalley

8 Eemple : Décomposez e élémets smples la fracto suvate : + 1 a + b c + d ( + 1) 1 ) méthode Pour trouver c et d, o multple par ( ²+1)² ( + 1).( + 1) ( a + b).( + 1) ( c + d).( + 1).( + 1) ( + 1) + 1 ( + 1) pus o smplfe et o remplace par qu est la race de ² c+d d où c 0 et d 1 Pour trouver a et b, o multple F() par et o fat tedre vers + F().() ( + 1) ( a + b) 1. ( + 1) + 1 ( + 1) et o fat tedre vers + ce qu équvaut à : 4 ( + 1). lm lm + 4 ( + 1) +. c lm lm ( + 1) + ( a + b). a lm lm a + ( + 1) + quad ted vers l f a + 0 doc a Il ous maque ue équato pour coaître b; o chost ue valeur partculère smple pour calculer F c 0 F(0) 1 b 1 d où b ( + 1) ) méthode 4 O detfe e mettat au même déomateur : + 1 ( a + b).( + 1) + c + d ( + 1) ( + 1) a a b 0 b 0 a + c c 0 b + d 1 d 1 a + b + ( a + c) + b + d ( + 1) ( + 1) 4 Cours Fractos ratoelles 8 / 1 P01 Aleth Chevalley

9 .5. Décomposto d ue fracto ratoelle das R (X) Gééralsato : Ue fracto ratoelle peut comporter des pôles réels et des pôles complees, smples ou multples. Théorème de décomposto uque das R ( X ) : Sot F ( X ) A( X ) ue fracto ratoelle de R ( X ), avec deg ( A ) < deg ( B), alors F ( X ) se décompose de faço uque das R ( X ) comme somme d élémets du type : a ( X λ) avec λ,a R et N* (élémets smples de premère espèce) ax + b ( X + α X + β ) ou avec λ, α, β, a et b R et N* (élémets smples de deuème espèce) dot les déomateurs dvset B ( X ). Eemple 1 : Doer sur so esemble de défto ue prmtve de la fracto ratoelle : F( X ) X + X + 1 X + X + X + 1 Cherchos les pôles de F ( X ) das C : 1 est ue valeur évdete B ( X ) ( X + 1 ).( X + 1 ) ( X + 1 ).( X + ).( X ) O décompose F ( X ) e élémets smples das R ( X ) : O cherche d abord a : ( 1) 1 1 (( 1) + 1) + a a1 X + X + 1 a bx + c ( X + 1).( X + 1) X + 1 X + 1 F( X ) 1 ) méthode Pour trouver c et d, o multple par ( ²+1) ( ).( 1) F X X (X + X + 1).( X + 1) 1.( X + 1) ( bx + c).( X + 1) ( + 1).( + 1) + 1 ( + 1) + X X X X pus o smplfe et o remplace par qu est la race de ²+1 Cours Fractos ratoelles 9 / 1 P01 Aleth Chevalley

10 ( + + 1) ( 1).( 1) ( + 1) ( + 1).( 1) b+c d où b 1 et c 0 ) méthode Pus o detfe pour trouver b et c : 1.( X + 1) + ( bx + c).( X + 1) (1 + b). X + ( b + c). X + 1+ c F( X ) ( X + 1).( X + 1) ( X + 1).( X + 1) 1 + b 1 + b b + c 1 b c 1 c 0 X 1 F( X ) + X + 1 X + 1 Itégrato Eemple : Décomposer das R la fracto ratoelle suvate F ( X ) X X + 7X + 9 X ( + 1).( ) a b c + + X + X + X 1 ( 1) Pour trouver c, o multple par ( X - ) et o remplace X par qu est la race de X - F(X).(X ) c 9 Pour trouver b, o multple par ( X + 1 ) et o remplace X par -1 qu est la race de X + 1 F(X).(X + 1)² b Pour trouver a, o multple par X et o fat tedre X vers + F(X).X - 1 a + c d où a 1 F( X ) + X + X + X 1 ( 1) 4. Méthode complète de décomposto A Sot F ( X ) ( X ) ue fracto ratoelle de C ( X ) ou R( X ) Forme rréductble Chercher s la fracto est rréductble : o Calculer les pôles de F ( c'est-à-dre les races de B) o Vérfer s les pôles de F sot des races de A Cours Fractos ratoelles 10 / 1 P01 Aleth Chevalley

11 4.. Dvso eucldee de A par B s deg (A) deg (B) S le degré du polyôme A est supéreur au degré du polyôme B, alors o effectue la dvso eucldee de A par B : A ( X ) Q ( X ). B ( X ) + R ( X ) Doc F ( X ) Q ( X ) + R( X ) Esute, o décompose la fracto ratoelle avec deg ( B ) > deg ( R ) ou R ( X ) 0 R( X ) Eemple 1 : Décomposer das R la fracto ratoelle suvate F ( X ) X X X ( X 1) + e élémets smples (sur R ou sur C ). Forme rréductble : calculos les pôles de F(X) pôles smples 1 et -1 A(1) 0 et A(-1) 0 doc la fracto est rréductble. deg (A) > deg (B) : o dvse A par B et o trouve A(X) B(X).Q(X) + R(X) avec Q(X) X+1 et R(X) - X + X X F( X ) X + 1+ X F1 ( X ) ( X 1).( X + 1) ( X 1).( X + 1) DES de la fracto F 1 (X) a b F1 ( X ) ( X 1).( X + 1) X 1 X + 1 Pour trouver a, o multple par (X - 1) et o remplace X par 1 qu est la race de X - 1 F 1( (X).(X 1) 1 a Pour trouver b, o multple par (X + 1 ) et o remplace X par -1 qu est la race de X b 1 1 F ( X ) ( X 1).( X + 1) X 1 X F( X ) X X 1 X + 1 F 1 (X).(X + 1) Doc 1 Et Eemple : F ( X ) X + X + X + ( + 1).( 1) X 4 X X -1 Pôle d ordre et 1 pôle smple X 4X X a b c d F( X ) + + ( X 1).( X + 1) X 1 X + 1 ( X + 1) ( X + 1) O calcule d abord a : F( X).(X 1) a Pus o detfe : X + 4X + X + a b c d F( X ) + + ( X 1).( X + 1) X 1 X + 1 ( X + 1) ( X + 1) Cours Fractos ratoelles 11 / 1 P01 Aleth Chevalley

12 F( X ) ( X + 1) + b( X 1).( X + 1) + c( X 1).( X + 1) + d( X 1) ( X 1).( X + 1) F( X ) (1 ) ( ) ( ) 1 + b X + + b + c X + b + d X + b c d ( X 1).( X + 1) 1 + b 1 + b + c 4 b + d 1 1 b c d 5. Récaptulatf b 0 c 1 d c + d 1 F ( X ) ( X + 1) ( X + 1) X 1 Cours Fractos ratoelles 1 / 1 P01 Aleth Chevalley

13 Fractos Ratoelles Décomposto e Elémets smples (DES) F() A( ) B( ) - calcul pôles de F - factorser B (poly d 1 et poly d avec < 0) ou F rréductble? o A( 0)0 Smplfer par ( 0) o d A d B? ou Dvso eucldee de A par B A B. Q + R F() Q() + R( ) B( ) DES de R( ) B( ) (R s appelle A) DES A( ) a b c + d e + f Eemple : B( ) ( ) ( ) + λ + µ ( + λ + µ ) 0 0 FIN Cours Fractos ratoelles 1 / 1 P01 Aleth Chevalley