ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I

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1 CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS D ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES OPTION SCIENTIFIQUE MATHEMATIQUES I Aée 5 La présetatio, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets etrerot pour ue part importate das l appréciatio des copies. Les cadidats sot ivités à ecadrer das la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils e doivet faire usage d aucu documet : l utilisatio de toute calculatrice et de tout matériel électroique est iterdite. Seule l utilisatio d ue règle graduée est autorisée. O rappelle que pour tout réel x strictemet positif, l itégrale + R t x e t dt = + R e (x ) l t e t dt est covergete; la foctio + R (x) = t x est dé ie sur R +, et associe à tout réel x strictemet positif, le réel strictemet positif e t dt; pour tout réel x strictemet positif, (x + ) = x (x). Pour tout etier aturel k o ul, et pour toute foctio f dé ie sur R +, k fois dérivable, o ote f (k) la dérivée k-ième de la foctio f. Les dérivées première et secode sot égalemet otées f et f. Das les parties II et III du problème, exp désige la foctio expoetielle. Les parties III et IV sot idépedates. Le problème a pour objet la mise e évidece de certaies propriétés de la foctio. /6

2 Partie I : Ue expressio de (x). Soit u etier supérieur ou égal à. (a) Pour tout réel u tel que 6 u <, motrer que l( u) 6 u. E déduire, pour tout réel t de t l itervalle [; ], l iégalité : 6 e t. (b) tudier les variatios de la foctio ' dé ie sur [; p [ qui, à tout réel t de [; p [ associe : '(t) = l t t l t Établir, pour tout réel t de [; p ], l iégalité : t e t 6 t (c) Justi er, pour tout réel t de [; ], les iégalités : e t t e t 6 t 6 e t E déduire que, pour tout réel x strictemet positif : (x) = lim!+ Z t t x dt. (a) Pour tout réel x strictemet positif et pour tout etier aturel o ul, motrer que les itégrales R y x dy et R O pose alors B (x) = y x ( y) dy sot covergetes. R y x dy et pour tout supérieur ou égal à, B (x) = (b) A l aide d ue itégratio par parties, motrer, pour tout de N, l égalité : B (x) = E déduire, pour tout de N, la formule :! x(x + ) : : : (x + ) R y x ( y) dy. B (x) = (x) ( + ) (x + + ) (c) Motrer que, pour tout réel x strictemet positif : (x) = lim!+ x! x(x + ) : : : (x + ) E déduire que, pour tout réel x strictemet positif, (x + ) +. (d) Pour tout de N, o pose = +!+ x (. Motrer que!+ r )!, lorsque ted vers lorsque ted vers +. /6

3 Partie II : Dérivabilité de la foctio et coséqueces. (a) Motrer que, pour tout etier aturel k o ul, et pour tout réel x strictemet positif, l itégrale + R t x (l t) k e t dt est absolumet covergete. O ote g k (x) la valeur de cette itégrale. (b) Soit [a; b] u segmet de R +. Soit x et x deux élémets disticts de ]a; b[. Établir l iégalité : (c) Motrer l iégalité suivate : ( (x) (x ) (x x )g (x )) 6 (x x ) Z + (l t)! sup t e t dt [a;b] Z + (l t)! sup t e t dt 6 [a;b] Z Z (l t) t e t dt + E déduire que la foctio est dérivable e x et que (x ) = g (x ). + (l t) t b e t dt (d) Etablir que la foctio est dérivable sur R + et que = g. O motrerait de même que la foctio est deux fois dérivable sur R +, et que = g. Ce résultat est admis das toute la suite du problème.. Pour tout de N, o pose = l + P (a) Etablir, pour tout etier supérieur ou égal à, la double iégalité suivate : k= k. X k= k < l < X k E déduire que, pour tout etier aturel o ul, o a < 6. (b) Motrer que la suite ( ) N k= est décroissate et covergete. O ote sa limite. 3. (a) Pour tout réel x strictemet positif, et pour tout etier strictemet positif, motrer l égalité : (b) O pose v (x) = Y k= Q k= ote `(x) sa limite. Motrer la relatio : h + x x i x(x + )(x + ) : : : (x + ) exp = exp( x k k ) x! h + x x i exp. Motrer que la suite ((v (x)) k k N est covergete. O `(x) = exp( x) x (x) 4. (a) Soit x u réel strictemet positif xé. Motrer que la série de terme gééral x l + x ; >, est covergete. (b) Justi er, pour tout réel x strictemet positif, l égalité : l (`(x)) = X h x = E déduire, pour tout réel x strictemet positif, la relatio : l ( (x)) = x l x + l + x i X h x = l + x i 3/6

4 5. Soit la foctio dé ie sur R d + par (x) = [l ( (x))]. dx Établir, pour tout réel x strictemet positif l égalité : (x + ) = (x) + x. Détermier u équivalet simple de (x) lorsque x ted vers +. Justi er, pour tout etier supérieur ou égal à, la formule : X () = () + k 6. Pour tout etier supérieur ou égal à, o cosidère la foctio U dé ie sur R + par : U (x) = l + x x O désige par A(x) la somme de la série de terme gééral U (x). (a) Motrer que A est deux fois dérivable sur R +. E particulier, exprimer, pour tout réel x strictemet positif, A (x) et A (x) e foctio de (x); (x) et (x). (b) Soit x u réel strictemet positif xé. Motrer que, pour tout etier k supérieur ou égal à, la série de terme gééral U (k) (x) est absolumet covergete. Das toute la suite du problème, o admet les deux résultats suivats : pour tout réel x strictemet positif o a A (x) = k= X U(x) et A (x) = = (c) Calculer () e foctio de. E déduire la valeur de X = U (x) lim l ().!+ 7. O veut établir das cette questio que pour tout réel y strictemet positif, o a (y) > y. Soit x u réel strictemet positif xé. O cosidère la foctio G dé ie sur R + qui, à tout réel t strictemet positif, associe G(t) = (t + x). (a) Motrer que sur R + +, G est positive, strictemet décroissate, et que l itégrale R G(t)dt est covergete. (b) E déduire la double iégalité : < + R P G(t)dt < G(k). (c) Etablir l iégalité : (x) > x + + x. Coclure. Partie III : Estimatio des paramètres d ue loi (; r) k= O cosidère ue variable aléatoire X, qui suit ue loi (; r), les deux paramètres icous et r état des réels strictemet positifs. Ue desité f de X est doée par : 8 < x f(x) = (r) r xr exp si x > : si x 6 Soit p u etier supérieur ou égal à. O cosidère u p-échatillo i.i.d. (X ; X ; :::; X p ) de la loi de X : les variables aléatoires X ; :::; X p sot mutuellemet idépedates et de même loi que X. O désige par x ; :::; x p, u p-échatillo de réalisatios des variables aléatoires X ; :::; X p, respectivemet; les réels x ; :::; x p sot xés, strictemet positifs et o tous égaux. 4/6

5 Soit L la foctio (appelée foctio de vraisemblace) dé ie sur R + R + à valeurs das R + qui, à tout couple (; r) de réels strictemet positifs, associe : O pose F (; r) = l (L(; r)). L(; r) = py f(x i ) i=. Motrer que la recherche du maximum de L sur R + R + sur ce même esemble. est équivalete à la recherche du maximum de F. (a) Etablir l existece sur R + R + des dérivées partielles d ordre et de la foctio F. Les calculer. (b) Motrer que les évetuels poits critiques ( ; r ) véri et le système (S) d équatios suivat 8 >< x = x () (S) >: l r (r) (r) = l x px l x i () p das lequel x = p 3. O pose K p = l x p pp x i. i= pp l x i. i= (a) Justi er, pour tout réel x > et di éret de, l iégalité : l x < x. E déduire que K p >. (b) Soit h la foctio dé ie sur R + par : i= h(y) = l y (y) (y) K p Étudier les variatios de h et dresser so tableau de variatios. (c) Motrer que l équatio () admet sur R + ue uique solutio r. E déduire que le système d équatios (S) admet ue uique solutio ( ; r ). 4. Ecrire la hessiee r F de F au poit ( ; r ). E déduire qu au poit ( ; r ), la foctio L admet u maximum local. O peut démotrer qu e ce poit, o obtiet e fait u maximum global de L. O dit que le couple ( ; r ) est ue estimatio du couple icou (; r) obteue par la méthode du maximum de vraisemblace. Partie IV : Estimateur sas biais de l écart-type d ue loi ormale cetrée Soit X ue variable aléatoire qui suit ue loi ormale cetrée et d écart-type ; le paramètre réel icou, est strictemet positif.. Motrer que la variable aléatoire T = X suit ue loi de paramètre =. E déduire la valeur de (=).. Pour etier aturel o ul, o cosidère u -échatillo (X ; X ; :::; X ) i.i.d. (idépedat, idetiquemet distribué) de la loi de X. P (a) O désige par S la variable aléatoire S = Xi. Quelle est la loi de probabilité de S? (b) E déduire que la variable aléatoire Y dé ie par Y = i= P Xi est u estimateur sas biais de. i= 5/6

6 3. (a) Motrer que l espérace de p Y, otée E( p Y ), véri e : E( p Y ) <. (b) Doer l expressio de E( p Y ) e foctio de et. (c) Motrer que la variable aléatoire c dé ie par c = p X i= X i! = où a été dé i das la questio I..d, est u estimateur sas biais du paramètre. 4. (a) Calculer la variace V (c ) de l estimateur c e foctio de et. (b) La suite (c ) N d estimateurs de coverge-t-elle e probabilité vers? 6/6

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