GEOMETRIE ELEMENTAIRE

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1 GEOMETRIE ELEMENTAIRE Mohamed HOUIMDI FIGURE 1 Droite d Euler

2 0 M.HOUIMDI Page 2 sur 78

3 Table des matières 1 Espaces affines Définition et propriètés élémentaires Règles de calcul Proprièté du parallélogramme Sous-espaces affines Définition et exemples Sous-espace affine engendré par un ensemble de points Intersection de deux sous-espaces affines Parallélisme de deux sous-espace affines Barycentre Fonction vectorielle de Leibnitz Définition et prooprièté du barycentre Espaces affines de dimension finie Repère affine - Coordonnées barycentriques Repère cartésien - Coordonnées cartésiennes Représentation paramétrique d un sous-espace affine Représentation cartésienne d un sous-espace affine exercices Applications affines Propriètés caractéristiques d une application affine Définition et propriètés élémentaires Représentation analytique d une application affine Composée de deux applications affines - Groupe affine Points fixes d une application affine Exemples d applications affines Translation Homothétie Projection affine Symétrie affine Exercices Espace affine euclidiens Notions de base Repère orthonormé Sous-espaces affines orthogonaux Hyperplan médiateur Perpendiculaire commune et distance de deux droites de E

4 0 M.HOUIMDI Distance de deux droites de E Projection orthogonale Définition et exemples Distance d un point à un sous-espace affine Distance d un point à une droite affine de E Distance d un point à un plan affine affine de E Symétrie orthogonale Isométries affines Définition et propriètés de base Isométrie du plan affine euclidien Isométries de l espace affine de dimension Exercices Page 4 sur 78

5 Chapitre1 Espaces affines 1.1 Définition et propriètés élémentaires Définition 1 Soient E un R-espace vectoriel et E un ensemble quelconque, non vide. On dit que E est un espace affine attaché à E (ou de direction E), s il existe une application vérifiant les propriètés suivantes : i) Pour tout A E, l application E E E (A,B) AB E E M AM est bijective. ii) Relation de Chasles : A E, B E, C E, BC = BA + AC Un espace affine E est dit de dimension finie, si sa direction est de dimension finie. Dans ce cas, la dimension de E est égale à celle de sa direction. Remarque 1 Si E est un espace affine de direction E, alors les éléments de E sont appelés des points et sont désignés par des lettres majuscules A,B,C,D,M,N,P,... Tandis que les éléments de E sont appelés des vecteurs et sont désignés par des lettres minuscules surmontées d une flêche i, j, k, u, v, w,... Exemples 1 1. Si dim(e) = 1, on dit que E est une droite affine. 2. Si dim(e) = 2, on dit que E est un plan affine. 3. Tout R-espace vectoriel E, peut-être considéré, canoniquement, comme un espace affine attaché à lui même, lorsqu on considère l application suivante : E E E (a,b) ab = b a qui vérifie les conditions de la définition. C est pour cela que les éléments d un R-espace vectoriel sont considérés, selon les situations, comme des points ou comme des vecteurs. 5

6 1 M.HOUIMDI Règles de calcul Soit E un espace affine attaché à l espace vectoriel E, alors a) b) c) d) M E, N E, AM = AN = M = N A E, B E, AB = 0 A = B A E, B E, BA = AB A E, B E, C E, BC = AC AB e) Pour tout point A E et pour tout vecteur u E, il existe un unique point M E, tel que AM = u f) Si A et B sont deux points de E, alors il exite un unique vecteur u E, tel que AB = u. a) D après la première proprièté de la définition, l application E E M AM est bijective. Donc cette apploication est injective, par suite, on a le résultat. b) ( =) D aprè la relation de Chasles, pour tout A E, on a AA + AA = AA donc AA = 0. (= ) AB = 0 = AB = AA = B = A c) Pour tout A E, on a AA = 0, donc d après la relation de Chasles, pour tout B E, on a AB + BA = 0, par suite, BA = AB. d) Pour A, B et C éléments de E, on a, d après Chasles, BC = BA + AC = AB + AC e) Lorsque on fixe un point A, l aplication E E M AM est bijective. Donc pour tout u E, il existe un unique M E, tel que AM = u. Page 6 sur 78

7 1 M.HOUIMDI Proprièté du parallélogramme Proposition 1 Soient A, B, C et D quatre points d un espace affine E. Alors les propriètés suivantes sont équivalentes, i) AB = CD. ii) AC = BD. iii) AB + AC = AD. Si quatre points A, B, C et D vérifient l une des trois propriètés équivalentes, précédentes, on dit que A, B, C et D forment un parallélogramme. i) ii) i) iii) AB = CD AC + CB = CB + BD AC = BD AB = CD AB = AD AC AB + AC = AD 1.2 Sous-espaces affines Définition et exemples Définition 2 Soit E un espace affine attaché à E. On dit qu une partie non vide F de E est un sous-espace affine de E, s il existe un point A F et il existe un sous-espace vectoriel F de E, tels que M E, M F AM F Dans ce cas, on dit que F est le sous-espace affine de E passant par le point A et de direction le sous-espace vectoriel F. Exemples 2 1. Pour tout point A E, le singleton A} est un sous-espace affine de E. C est le sous-espace affine de E passant par A et de direction F = 0 }. 2. Soit E un R-espace vectoriel, alors pour tout sous-espace affine F de E, il existe un point a E et il existe un sous-espace vectoriel F de E, tels que, F = a + F Donc, en particulier, tout sous-espace vectoriel de E peut-être considéré comme un sous-espace affine de E, tandis que la réciproque n est pas toujours vraie. En effet, si F est un sous-espace affine de E, alors, par définition, il existe a F et il existe un sous-espace vectoriel de E, lel que Donc F = a + F. x E, x F x a F x a + F Page 7 sur 78

8 1 M.HOUIMDI 3. Soit F un sous-espace affine de E passant par A et de direction F. i) Si dim(f) = 1 avec F = Vect( u ), on dit que F est la droite affine de E passant par A et de vecteur directeur u. On la note D(A, u ), donc pour M F on aura M D(A, u ) ( AM, u ) est lié α R : AM = α u ii) Si dim(f) = 2 avec F = Vect( u, v }), on dit que F est le plan affine passant par A et de vcteurs directeurs u et v. On le note P(A, u, v ), donc pour M F on aura M P(A, u, v ) ( AM, u, v ) est lié (α,β) R 2 : AM = α u + β v iii) Si F est un hyperplan de E, on dit que F est un hyperplan affine de E. Remarque 2 Soit F un sous-espace affine de E passant par A et de direction F. Alors pour tout point B F, on a M E, M F BM F Sous-espace affine engendré par un ensemble de points Définition 3 Soient E un espace affine attaché à E, A une partie non vide de E et A A. On appelle sousespace affine engendré par A, qu on note A f f (A), le sous-espace affine de E passant par le point A et de direction F = Vect( AB : B A}). Remarque 3 A f f (A) est le plus petit sous-espace affine de E contenant A. C est à dire, si F est un sous-espace affine de E qui contient A, alors F contient A f f (A). En effet, Fixons un point A A et désignons par F la direction de F. Soit M A f f (A), alors, par définition, il existe (A 1,A 2,...,A m ) A m et il existe (α 1,α 2,...,α m ) R m, tels que AM = m i=1 α i AAi Or, pour tout i 1,2,...,m}, A i F et A F, donc, pour tout i 1,2,...,m}, AA i F, donc AM F, par suite, M F. Définition 4 Trois points A, B et C d un espace affine E sont dits non alignés, si le système ( AB, AC) est lible. Remarque 4 Si A, B et C sont trois points non alignés, alors les systèmes ( AB, AC), ( BA, BC) et ( CA, CB) sont libres. (à vérifier) Exemples 3 Soit E un espace affine de direction E. 1. Pour tout point A E, on a A f f (A}) = A}. Page 8 sur 78

9 1 M.HOUIMDI 2. Si A et B sont deux points distincts de E, alors A f f (A,B}) est le sous-espace affine de E passant par A et de direction Vect( AB). A f f (A,B}) est donc la droite passant par A et de vecteur directeur AB. Dans ce cas, A f f (A,B}) s appelle la droite passant par les points distincts A et B, on la note (AB), donc on aura M E, M (AB) ( AM, AB) est lié α R : AM = α AB 3. Si A, B et C sont trois points non alignés de E, alors A f f (A,B,C}) est le sous-espace affine de E passant par A et de direction Vec( AB, AC}). Puisque le système ( AB, AC) est libre, alors A f f (A,B,C}) est le plan affine passant par A de vecteurs directeurs AB et AC. dans ce cas, A f f (A,B,C}) s ppelle le plan affine passant par les trois points non alignés A, B et C, on la note (ABC), donc on aura M E, M (ABC) ( AM, AB, AC) est lié (α,β) R 2 : AM = α AB + β AC Intersection de deux sous-espaces affines Proposition 2 Soient E un espace affine de direction E, F et G deux sous-espaces affines de E de directions respectives F et G. Alors l intersection de F et G, s il n est pas vide, est un sous-espace affine de E de direction F G. Supposons que F G /0 et soit A F G, alors on a M F G M F et M G AM F et AM G AM F G Donc F G est un sous-espace affine de direction F G. Exemples 4 Soit E un espace affine de dimension 3 et de direction E. 1. Si D et D sont deux droites affines de E, alors l une des propriètés suivantes est vérifiée i) D D = /0. ii) D D est réduite à un seul point. iii) D = D. 2. Si P et P sont deux plans affines de E, alors l une des propriètés suivantes est vérifiée i) P P = /0. ii) P P est une droite affine de E. iii) P = P. 3. Si D est une droite affine de E et P un plan affine de E, alors l une des propriètés suivantes est vérifiée i) D P = /0. ii) D P est réduite à un seul point de E. Page 9 sur 78

10 1 M.HOUIMDI iii) D P. Proposition 3 i) Soient E un espace affine quelconque, F et G deux sous-espaces affines de E de directions respectives F et G. Alors F G /0 (A,B) F G : AB F + G ii) Soient E un espace affine de dimension 3, D une droite affine de E de vecteur directeur u et P un plan affine de E de vecteurs directeurs v et w. Alors D P est réduite à un seul point, si et seulement si, le système ( u, v, w ) est libre. i) (= ) Supposons que F G /0 et soit Ω F G, alors A F, B G AΩ F et BΩ G donc AΩ BΩ F + G avec AΩ BΩ = AB, donc AB F + G. ( =) Supposons qu il existe (A,B) F G, tel que AB F + G, donc il existe ( u, v ) F G, tel que AB = u + v. Soit M le point de F défini par AM = u et N le point de G défini par BN = v, alors on a AM = u = AB + BM = u = BM = v = BM = BN Donc M F G, par suite F G /0. = M = N ii) (= ) Supposons que D P est réduite à un seul point A de E, puis supposons, par absurde, que ( u, v, w ) est lié. Puisque A D, alors il existe un point B D, tel que AB = u, donc ( AB, v, w ) est lié et puisque A P, alors B P, par suite, B D P. Ce qui est absurde, car A B. ( =) Supposons que ( u, v, w ) est libre. Puisque dim(e) = 3, où E est la direction de E, alors ( u, v, w ) est une base de E, donc E = Vect( u ) +Vect( v, w }). Donc AB Vect( u ) +Vect( v, w }), par suite, d après i), D P /0. Supposons que D P contient plus qu un point et soient A et B deux points distincts de D P, donc on aura AB = a u avec a 0 AB = b v + c w donc a u b v c w = 0, avec a 0, par suite, ( u, v, w ) est lié, ce qui est absurde, donc D P est réduite à un seul point. Remarque 5 Soient E un espace affine quelconque, F et G deux sous-espaces affines de E de directions respectives F et G. 1. Si E = F + G, alors F G /0. 2. Si E = F G, alors F G est réduit à un seul point. Page 10 sur 78

11 1 M.HOUIMDI Parallélisme de deux sous-espace affines Définition 5 Soient E un espace affine de direction E, F et G deux sous-espaces affines de directions respectives F et G. On dit que F et G sont parallèles, si F G ou G F. Dans le cas où F = G, on dit que F et G sont strictement parallèles. Si F et G sont parallèles, on note F G. Exemples 5 E un espace affine de direction E 1. Soient D = D(A, u ) et D = D(B, v ) deux droites affines de E, alors D D ( u, v ) est lié 2. P = P(A, v, w ) et P = P(B, v, w ) deux plans affines de E, alors P P ( v, v, w ) et ( w, v, w ) sont liés Définition 6 Soit E un espace affine, on dit que deux droites D et D de E sont coplanaires, s il existe un plan P de E qui contient les droites D et D. Exemples 6 1. Deux droites parallèles sont toujours coplanaires. 2. Deux droites dont l intersection n est pas vide, sont toujours coplanaires. FIGURE 1.1 Droites coplanaires FIGURE 1.2 Droites non coplanaires Page 11 sur 78

12 1 M.HOUIMDI Théorème 1 Soient E un espace affine de dimension 3, D = D(A, u ) et D = D(B, v ) deux droites affines de E. On suppose que D et D ne sont pas prallèles, alors, l une des deux propriètés suivantes est vérifiée, i) Si ( AB, u, v ) est lié, alors D et D sont coplanaires et dans ce cas, D D est réduit à un seul point. ii) Si ( AB, u, v ) est libre, alors D et D sont non coplanaires et dans ce cas, D D = /0. D a pour direction F = Vect( u ) et D a pour direction G = Vect( v ), donc, d après la proposition 3, on a D D /0 AB F + G i) Si ( AB, u, v ) est lié, alors AB F + G, donc D D /0. ii) Si ( AB, u, v ) est libre, donc AB / F + G, et puisqiue A et B sont arbitraires, alors D D = / Barycentre Fonction vectorielle de Leibnitz Définition 7 Soit E un espace affine de direction E. i) On appelle point pondéré de E, tout couple (A,α), où A E et α R. Dans ce cas, α s apelle le poids ou la masse de A. ii) Si (A 1,α 1 ),(A 2,α 2 ),...,(A m,α m ) sont des points pondérés de E, alors α = la masse totale des points pondérés (A 1,α 1 ),(A 2,α 2 ),...,(A m,α m ). m i=1 α i s appelle Proposition 4 Soient E un espace affine de direction E et (A 1,α 1 ),(A 2,α 2 ),...,(A m,α m ) des points pondérés de E. On considère l application suivante, appelée fonction vectorielle de Leibnitz, définie par, Alors, i) Si ii) Si m i=1 m i=1 α i = 0, ϕ est constante. α i 0, ϕ est bijective. ϕ : E E M ϕ(m) = m i=1 α i MAi Page 12 sur 78

13 1 M.HOUIMDI i) Soint M et N deux points quelconques de E, alors on a Donc si m i=1 ϕ(m) ϕ(n) = = = m i=1 m α imai i=1 ( m ) i i=1α α i = 0, alors ϕ est constante. m i=1 α i ( MA i NAi ) MN α i NAi (d après la relation de chasles) ii) D après la relation précédente, si ϕ(m) = ϕ(n), alors MN = 0, donc M = N, par suite ϕ est injective. Soit u E. Montrons qu il existe M E, tel que ϕ(m) = u. Pour cela fixons un point A E, alors d après la relation de Chasles, on a Donc, ϕ(m) = m i=1 α i ( AA i AM) = m i=1 M E : ϕ(m) = u M E : α i AAi m i=1 Donc si on pose m 1 w = α ( α iaai u ) i=1 alors M est l unique point de E, tel que AM = w. ( m i=1α i ) AM ( m ) α iaai i AM = i=1α u M E : AM = 1 m α ( α iaai u ) i=1 Remarque 6 D près la proposition précédente, si (A 1,α 1 ),(A 2,α 2 ),...,(A m,α m ) sont des points pondérés de E, tel que m i=1 α i 0, alors pour tout vecteur v E, il existe un unique point M E, tel que m i=1 α i MAi = v Définition et prooprièté du barycentre Définition 8 Soient (A 1,α 1 ),(A 2,α 2 ),...,(A m,α m ) des points pondérés d un espace affine E de direction E, tels que, m α i 0 i=1 On appelle barycentre des points (A 1 α 1 ),(A 2,α 2 ),...,(A m,α m ), l unique point G de E défini par m i=1 α i GAi = 0 Page 13 sur 78

14 1 M.HOUIMDI Remarque 7 1. Soit G le barycentre des points pondérés (A 1,α 1 ),(A 2,α 2 ),...,(A m,α m ), alors pour tout point A E, on a AG = 1 α m i=1 α i AAi où α = 2. Si α 1 = α 2 = = α m = 1, on dit que G est l isobarycentre des points A 1,A 2,...,A m,. Dans ce cas, on a AG = 1 m m AA i i=1 3. Pour tout λ R, les points pondérés (A 1,α 1 ),(A 2,α 2 ),...,(A m,α m ) et (A 1,λα 1 ),(A 2,λα 2 ),...,(A m,λα m ) ont même barycentre. Donc, si on prend λ = 1 m m α i = 1. i=1 Exemples 7 soit E un espace affine de direction E. α i, on peut toujours supposer que 1. Soient A et B deux points distincts de E, l ensemble des barycentres des points pondérés (A, α) et (B,β), avec α 0 et β 0, s appelle le segment joignant les points A et B et se note [A,B]. Donc on aura, m i=1 α i i=1 M [A,B] (α,β) R 2 + : α + β 0 et α MA + β MB = 0 Puisque pour tout λ R, les points (A,α) et (B,β) ont même barycentre que les points (A,λα) et (B,λβ), alors en cosidérant λ = 1, on peut supposer que α + β = 1. Ainsi, on aura α + β M [A,B] (α,β) R 2 + : α + β = 1 et α MA + β MB = 0 α [0,1] : (1 α) MA + α MB = 0 α [0,1] : AM = α AB En particulier, le milieu I du segment [A,B] est caractérisé par, I est milieu de [A,B] IA + IB = 0 O E, OI = 1 2 ( OA + OB) AI = 1 AB 2 2. Soient A, B et C trois points non alignés de E, alors A, B et C forment ce qu on appelle un triangle qui sera noté ABC, les segments [A,B], [A,C] et [B,C] sont appelés les cotés de ce triangle. L isobarycentre G des points A, B et C s appelle le centre de gravité du triagle ABC, il est défini par GA + GB + GC = 0 Si donc G est le barycentre du triangle ABC, alor on a AG = 1 3 ( AB + AC), BG = 1 3 ( BA + BC), et CG = 1 3 ( CA + CB) Page 14 sur 78

15 1 M.HOUIMDI Définition 9 On appelle médiane issue de A d un triangle ABC, la droite (AI) passant par le point A et le point I milieu de [B,C]. Remarque 8 Un triangle possède trois médianes, (AI), (BJ) et (CK), où I, J et K sont respectivement les milieux de [B,C], [A,C] et [A,B]. FIGURE 1.3 Médianes d un triangle Théorème 2 Les trois médianes d un triangle ABC se coupent au centre de gravité G de ce triagle et on a AG = 2 2 AI, BG = BJ et CG = 2 CK où I, J et K sont respectivement les milieux de [B,C], [A,C] et [A,B]. I, J et K sont respectivement les milieux de [B,C], [A,C] et [A,B], donc on a AI = 1 2 ( AB + AC), BJ = 1 2 ( BA + BC) et CK = 1 2 ( CA + CB) On en déduit, donc, que AG = 1 3 ( AB + AC) = 2 3 AI Donc G (AI). Et de la même manière, on montre que BG = 2 GJ et CG = 2 CK 3 3 Donc G (AI) (BJ) (CK). Page 15 sur 78

16 1 M.HOUIMDI 1.4 Espaces affines de dimension finie Repère affine - Coordonnées barycentriques Repère affine Définition 10 Soient E un espace affine de direction E, A 0,A 1,...,A m des points de E. On dit que le système (A 0,A 1,...,A m ) est affinement libre, si le système ( A 0 A 1, A 0 A 2,..., A 0 A m ) est libre. Exemples 8 1. Si A et B sont deux points distincts de E, alors (A,B) est un système affinement libre. 2. Si A, B et C sont trois points non alignés, alors le système (A,B,C) est affinement libre. 3. Si quatre points A, B, C et D sont affinement libres, on dit qu ils forment un thétreidre.. FIGURE 1.4 Un thétreidre Définition 11 Soit E un espace affine de direction E, un repère affine de E est un système (A 0,A 1,...,A n ) de points de E, tels que i) E = A f f (A 0,A 1,...,A m }) ii) (A 0,A 1,...,A m ) est affinement libre. Exemples 9 1. Si A et B sont deux points distincts, alors (A,B) est un repère affine de la droite affine (AB) passant par A et B. 2. Si A, B et C sont trois points non alignés, alors (A,B,C) est une repère affine du plan (ABC) passant par A, B et C. Théorème 3 Soit E un espace affine de direction E et de dimension finie = n. Alors E possède au moins un repère affine. Page 16 sur 78

17 1 M.HOUIMDI Soit (e 1,e 2,...,e n ) une base de E. Fixons un point A 0 E, alors pour tout i 1,2,...,n}, il existe un unique point A i E, lel que A 0 A i = e i. Il est facile de vérifier que E = A f f (A 0,A 1,...,A n }) et que (A 0,A 1,...,A n ) est affinement libre. Coordonnées barycentriques Théorème 4 Soient E un espace affine de dimension finie = n et (A 0,A 1,...,A n ) un repère affine de E. Alors pour tout point M E, il existe un unique (α 0,α 1,...,α n ) R n+1, tel que α 0 +α 1 + +α n = 1 et tel que n i=0 α i MAi = 0 Dans ce cas, α 0,α 1,...,α n s appelle les coordonnées barycentriques du point M dans le repère affine (A 0,A 1,...,A n ). Remarque 9 Si (A 0,A 1,...,A n ) est un repère affine de E, alors pour tout point M E, il existe un unique (α 0,α 1,...,α n ) R n+1, tel que α 0 +α 1 + +α n = 1 et tel que M soit barycentre des points pondérés (A 0,α 0 ),(A 1,α 1 ),...,(A n,α n ). (A 0,A 1,...,A n ) est affinement libre, donc, par définition, ( A 0 A 1, A 0 A 2,..., A 0 A n ) est libre dans E, or dim(e) = n, donc ( A 0 A 1, A 0 A 2,..., A 0 A m ) est une base de E. Soit M E, alors il existe un unique (β 1,β 2,...,β n ) R n, tel que, A 0 M = n i=1 A 0 M = n i=1 β i A0 A i = A 0 M = = MA 0 + = ( 1 β i A0 A i n i=1 n i=1 n i=1 β i ( MA i MA 0 ) β imai ) β i MA 0 + Posons α 0 = 1 n i=1 β i et i 1,2,...,n}, α i = β i, alors on aura, n i=0 α i = 1 et n i=0 α i MAi = 0 n i=1 n i=1 β i MA0 = 0 β i MAi = 0 d où l existence de α 0,α 1,...,α n. Pour l unicité, on suppose qu il existe λ 0,λ 1,...,λ n vérifiant la même chose que α 0,α 1,...,α n, alors on aura A 0 M = n i=1 Donc i 1,2,...,n}, α i = λ i et puisque alors on obtient α 0 = λ 0. α i A0 A i et A 0 M = n i=0 α i = n i=0 λ i = 1 Page 17 sur 78 n i=1 λ i A0 A i

18 1 M.HOUIMDI Quelques applications des coordonnées barycentriques Proposition 5 Soit E un plan affine de direction E, muni d un repère affine (A,B,C). Soient M, N et P trois points de E, de coordonnées barycentriques respectivement (α,β,γ), (α,β,γ ) et (α,β,γ ) dans le repère (A,B,C). Alors M, N et P sont alignés, si et seulement si, α α α β β β γ γ γ = 0 Puisque α + β + γ = α + β + γ = α + β + γ = 1, alors on a α α α β β β γ γ γ = β β β γ γ γ = β β β β β γ γ γ γ γ = β β γ γ D autre part, on a β β γ γ AM = β AB + γ AC, AN = β AB + γ AC et AP = β AB + γ AC Donc MN = (β β) AB + (γ γ) AC et MP = (β β) AB + (γ γ) AC On sait que M, N et P sont alignés, si et seulement si, ( MN, MP) est lié. Puisque ( AB, AC) est une base de E, alors d où le résultat. ( MN, MP) est lié det( MN, MP) = 0 β β β β γ γ γ γ = 0 Théorème 5 (de Ménélaüs) Soient E un plan affine, ABC un triangle, P, Q et R trois points de E, tels que P (AB), Q (BC) et R (AC) avevc P / A,B}, Q / B,C} et R / A,C}. On suppose que PA = α PB, QB = β QC et RC = γ RA. Alors P, Q et R sont alignés, si et seulement si, αβγ = 1. Page 18 sur 78

19 1 M.HOUIMDI E est un plan affine et A, B, C non alignés, donc (A,B,C) est un repère affine de E. P a pour coordonnées byrycenrtiques ( 1 α 1, 1 α α,0), Q a pour coordonnées byrycenrtiques (0, 1 1 β, β 1 β ) et R a pour coordonnées byrycenrtiques ( γ 1 γ,0, 1 1 γ ). Donc d après la proposition précédente, P, Q, R sont alignés 1 0 γ α β 1 = 0 1 γαβ = 0 αβγ = Repère cartésien - Coordonnées cartésiennes Définition 12 Soit E un espace affine de direction E et de dimension fine = n. Un repère cartésien de E est un système (O, e 1, e 2,..., e n ), où O est un point quelconque de E et ( e 1, e 2,..., e n ) une base quelconque de E. Remarque 10 Si (A 0,A 1,A 2,...,A n ) est un repère affine de E, alors (A 0, A 0 A 1, A 0 A 2,..., A 0 A n ) est un repère cartésien de E. Exemples Si A et B sont deux points distincts de E, alors (A, AB) est un repère affine de la droite affine passant par A et B. 2. Si A, B et C sont trois points non alignés de E, alors (A, AB, AC) est un repère cartésien du plan affine passant par A, B et C. Définition 13 Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d un repère cartésien (O, e 1, e 2,..., e n ). Donc pour tout point M E, il existe un unique (x 1,x 2,...,x n ) R n, tel que, OM = n i=1 Dans ce cas, x 1,x 2,...,x n s appellent les coordonnées cartésiennes du point M par rapport au repère cartésien (O, e 1, e 2,..., e n ). x i ei Représentation paramétrique d un sous-espace affine Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d un repère cartésien (O, e 1, e 2,..., e n ). Soit F un sous-espace affine de E, passant par le point A de coordonnées (a 1,a 2,...,a n ), de direction F avec dim(f) = p. Soit ( v 1, v 2,..., v p ) une base de F, alors on a j 1,2,..., p}, v j = Page 19 sur 78 n i=1 α i j ei

20 1 M.HOUIMDI Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x 1,x 2,...,x n ), alors, M F AM F (λ 1,λ 2,...,λ p ) R p : AM = (λ 1,λ 2,...,λ p ) R p : AM = (λ 1,λ 2,...,λ p ) R p : OM = n i=1 p λ j v j j=1 n p i=1( j=1 λ j α i j ) ei ( p j=1λ j α i j ) ei + OA On obtient, donc, le système suivant, appelé représentation paramétrique de F, M F (λ 1,λ 2,...,λ p ) R p : x 1 = x 2 =. p j=1 λ j α 1 j + a 1 p λ j α 2 j + a 2 j=1. p x n = λ j α n j + a n j=1 Exemples 11 Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d un repère cartésien (O, e 1, e 2,..., e n ). 1. Représentation paramétrique d une droitre affine Soit D = D(A, u ) une droite affine passant par A de coordonnées (a 1,a 2,...,a n ) et de vecteur directeur u, tel que n u = α i ei i=1 Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x 1,x 2,...,x n ), alors d après ce qui précéde, on a x 1 = λα 1 + a 1 x 2 = λα 2 + a 2 M D λ R :. x n = λα n + a n 2. Représentation paramétrique d un plan affine Soit P = P(A, u, v ) un plan affine de E, passant par A de coordonnées (a 1,a 2,...,a n ) et de vecteurs directeurs u et v, tels que n u = α i ei et v = i=1 Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x 1,x 2,...,x n ), alors d après ce qui précéde, Page 20 sur 78 n i=1 β i ei

21 1 M.HOUIMDI on a M D (λ 1,λ 2 ) R 2 : x 1 = λ 1 α 1 + λ 2 β 1 + a 1 x 2 = λ 1 α 2 + λ 2 β 2 + a 2. x n = λ 1 α n + λ 2 β n + a n Représentation cartésienne d un sous-espace affine Théorème 6 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie = n et F un sous-espace vectoriel de E de dimension = p. Alors, il existe n p formes linéaires, linéairement indépendants, ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ n p, lelles que x E, x F i 1,2,...,n p}, ϕ i (x) = 0 Soit F l orthogonal de F dans E, puisque dim(f) = p, alors dim(f ) = n p. Soit (ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ n p ) une base de F, alors on a x E, x F = i 1,2,...,n p}, ϕ i (x) = 0. Réciproquement, supposons que i 1,2,...,n p}, ϕ i (x) = 0 et supposons, par absurde, que x / F. Soit G un supplémentaire de Vect(x) + F dans E et soit H = F + G, alors E = Vect(x) H et F H. Soit ϕ la forme linéaire sur E définie par y E, y = αx + z = ϕ(y) = α où z H Alors on aura ϕ(x) = 1 et y F, ϕ(y) = 0, par suite ϕ F. Or (ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ n p ) est une base de F et i 1,2,...,n p}, ϕ i (x) = 0, donc ϕ(x) = 0, ce qui est absurde. Soient E un espace affine de dimension finie = n, muni d un repère cartésien (O, e 1, e 2,..., e n ), et F un sous-espace affine de E de dimension = p. Soit F la direction de F et soit A un point quelconque de F de coordonnées (a 1,a 2,...,a n ). D après le théorème précédent, il existe n p formes linéaires, linéairement indépendants, ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ n p, telles que u E, u F i 1,2,...,n p}, ϕ i ( u ) = 0 Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x 1,x 2,...,x n ). Donc si on pose i 1,2,...,n p}, j 1,2,...,n}, α i j = ϕ i ( e j ) i 1,2,...,n p}, β i = ϕ i ( OA) Alors, on aura M F AM F i 1,2,...,n p}, ϕ i ( AM) = 0 i 1,2,...,n p}, ϕ i ( OM) = ϕ( OA) i 1,2,...,n p}, ϕ i ( i 1,2,...,n p}, n j=1 x j e j ) = β i n α i j x j = β i j=1 Page 21 sur 78

22 1 M.HOUIMDI Ainsi, on obtient le système suivant de rang n p, appelé représentation cartésienne de F, α 11 x 1 + α 12 x α 1n x n = β 1 α 21 x 2 + α 22 x α 2n x n = β 2 M F. α n 1,1 x 1 + α n p,2 x α n p,n x n = β n p Remarque Tout sous-espace affine de dimension p, possède une représentation cartésienne sous forme d un système de rang n p et de n p équations. 2. Soit F u n hyperplan affine de E, donc dim(f ) = n 1, par suite, F possède une représentation cartésienne sous forme d une seul equation, Exemples Cas d un plan affine M F α 1 x 1 + α 2 x α n x n = β Soit E un plan affine muni d un repère cartésien (O, i, j ). Les sous-espaces affines non triviaux de E sont les droites affine de E. Soit D une droite affine de E, alors D est un hyperplan affine de E, donc D poss `de une représentation cartésienne, sous la forme M D ax + by + c = 0 avec (a,b) (0,0) où x et y sont les coordonnées de M dans le repère (O, i, j ). Dans ce cas, on vérifie que D est la droite de vecteur directeur u = b i + a j. a) Soit maintenant D la droite affine de E, passant par le point A de coordonnées (x 0,y 0 ) et de vecteur directeur u = α i + β j. soit M un point quelconque de E de coordonnées (x,y), alors léquation cartésien de D est déterminée par M D ( AM, u ) est lié det( AM, u ) = 0 x x 0 α y y 0 β = 0 β(x x 0 ) α(y y 0 ) = 0 b) Soient A un point de coordonnées (a,b) et B un point de coordonnées c,d), avec A B. Soit (AB) la droite passant par les points A et B, alors léquation cartésien de (AB) est déterminée par 2. Cas d un espace affine de dimension 3 M (AB) ( AM, AB) est lié det( AM, AB) = 0 x a c a y b d b = 0 (d b)(x a) (c a)(y b) = 0 Soit E un espace affine de dimension 3, muni d un repère cartésien (O, i, j, k ). Les sousespaces affines non triviaux de E sont ou bien des droites affines ou bien des plans affines. Page 22 sur 78

23 1 M.HOUIMDI a) Soit P un plan affine de E, puisque dim(e) = 3, alors P est un hyperplan affine de E, donc P possède une représentation cartésienne sous la forme d une seule équation, M P ax + by + cz + d = 0 avec (a,b,c) (0,0,0) où (x,y,z) sont les coordonnées de M dans le repère (O, i, j, k ). Dans ce cas, u = b i + a j et v = c i + a k sont deux vecteurs directeurs de P. Puisque (a,b,c) (0,0,0), alors on peut supposer, par exemple, que a 0 et dans ce cas, en posant y = λ et z = µ, on obtient une représentation paramétrique de P, définie par x = b a λ c a µ d y = λ z = µ b) Soit D une droite affine de E, puisque dim(e) = 3, alors D possède une représentation cartésienne sous forme d un système de deux équations, 1.5 exercices M D ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 D aprè ce qui précède, ce système est de rang deux, donc on doit avoir a b a b 0 ou a c a c 0 ou b c b c 0 Exercice 1 Soit F = f R R : x R, f (x + 1) = f (x) + 1}. Montrer que F est un sous-espace affine de R R dont on déterminera un point et la direction. Exercice 2 Soient E un R-espace vectoriel, x 0 E et F = u L(E) : u(x 0 ) = x 0 }. Montrer que F est un sous-espace affine de L(E) dont on déterminera un point et la direction. Exercice 3 Soient A, B, C et D quatre points deux à deux distincts d un plan affine E. On suppose que (AD) est parallèle à (BC), (AD) (CD) = E} et (AC) (BD) = F}. Soient I et J les milieux de [A,D] et [B,C] respectivement. Montrer que les points E, F, I et J sont alignés. Exercice 4 Soient A, B et C trois points non alignés d un plan affine E. P, Q et R trois points tels que P (AB), Q (AC) et R (BC). On considère les points I, J et K, tels que BPIR, APJQ et CQKR soient des parallélogrammes. montrer que les points I, J et K sont alignés. Exercice 5 (Théorème de Pappus) Soient D et D deux droites d un plan affine, on considère trois points distincts A, B et C de D et trois points distincts A, B et C de D. On suppose que les droites (AB ) et (BA ) et que les droites (BC ) et (CB ) sont parallèles. Montrer que les droites (CA ) et (AC ) sont parallèles. Page 23 sur 78

24 1 M.HOUIMDI Exercice 6 L espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i, j, k ). On considère les pints A, B et C de coordonnées respectives (1,2,3), (2, 1,2) et (0,1, 2). Soient D 1 et D 2 les droites affines définies par x = λ + 3 x = 3µ + 1 D 1 : y = 2λ + 1, λ R, D 2 : y = 2µ, µ R z = λ 1 z = 5µ + 3 Soient P 1, P 2 et P 3 les plans affines définis par x = 2λ + 3µ + 1 P 1 : y = λ + µ 2, (λ,µ) R 2, P 2 : 2x y + 3z 1 = 0, P 3 : x + 2z 4 = 0 z = λ 2µ Donner une équation cartésienne de P Déterminer une représentation paramétrique de P 2 P Donner une équation cartésienne du plan pssant par les points A, B et C. 4. Montrer que D 1 et D 2 sont coplanaires et donner une équation du plan Q contenant D 1 et D Donner une équation cartésienne du plan P passant par le point C et contenant la droite D Donner une représentation paramétrique de la droite passant par A, parallèle à P 2 et coupant D 1. Exercice 7 Soit E un espace affine de dimension 3 muni d un repère cartésien (O, i, j, k ). On considère les points A, B et C de coordonnées respectives (1,2,3), (2, 1,1) et (1,1,1). 1. Montrer que les points A, B et C sont non alignés. 2. Trouver une équation cartésienne du plan P 1 passant par les points A, B et C. 3. Soit D la droite affine de E définie par, 2x + y + z 5 = 0 D : 2x y + z + 3 = 0 a) Trouver une représentation paramétrique de D. b) Vérifier que le point A de coordonnées (2, 2, 3) n appartient pas à D et trouver une représentation paramétrique du plan P 2 contenant la droite D et le point A. c) Montrer que P 1 et P 2 sont parallèles et que P 1 P Soient α et β deux réels, tels que α + β = 1. Pour chaque point M de coordonnées (x,y,z), on considère le point M de coordonnées (x,y,z ) barycentre du système ((A,α),(M,β)). a) Déterminer x, y et z en fonction de α, β, x, y et z. b) On considère l ensemble P des points M lorsque M décrit P 1. Montrer que si β 0, alors P est un plan parallèle à P 1. Dans quel cas a-t-on P = P 1? Que devient l ensemble P, lorsque β = 0? 5. Soit D la droite affine de E définie par, D : x y + z = a x z = 2 Page 24 sur 78

25 1 M.HOUIMDI a) Pour quelles valeurs du réel a, les droites D et D sont coplanaires? b) Dans le cas où D et D sont coplanaires, déterminer une équation cartésienne du plan contenant D et D. Exercice 8 L espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i, j, k ). On considère les droites D 1 et D 2 définies par x 2z = 1 y = z + 2, x + y + z = 1 x 2y + 2z = a Déterminer le réel a pour que D 1 et D 2 soient coplanaires et dans ce cas, déterminer une équation cartésienne du plan les contenant. Exercice 9 L espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i, j, k ). Soient D et D les droites définies par : x = 1 λ x = 2 3µ D : y = 1 + 2λ,λ R, D : y = 1 + µ,µ R z = 3 + λ z = 2µ 1. Montrer que D et D ne sont pas coplanaires. 2. Soit m R et soient M et M les points appartenant respectivement à D et D en prenant λ = µ = m. Montrer que la droite (MM ) reste parallèle à un plan fixe lorsque m varie. Exercice 10 Soit E un espace affine de dimension 3, muni d un repère cartésien (O, i, j, k ). Pour chaque m R, on considère le plan P m d équation, (2m + 1)x 2y + (m + 1)z 3m Montrer que tous les plans P m contiennent une droite dont on déterminera une représentation paramétrique. 2. On considère les droites 1 et 2 définies par : x = 1 2λ 1 : y = 3 + λ,λ R et 2 : z = 1 + 4λ x 2y + 3 = 0 x + 2z = 0 a) Montrer que 1 et 2 sont sécantes et déterminer le point I intersection de 1 et 2. Vérifier que I P 0. b) Ecrire une équation cartésienne du plan Q contenant 1 et 2. c) Soit O l image de O par la symétrie centrale de centre I. Ecrire une équation cartésienne du plan Q passant par O et parallèle à P 0. d) Donner une représentation paramétrique de D = Q Q. 3. a) Existe-t-il un plan P m passant par le point A de coordonnées ( 1 2,0,2). b) Ecrire une équation cartésienne du plan Q passant par le point A et la droite. c) Soient P l ensemble de tous les plans P m et Q celui de tous les plans contenant. P est-t-il égal àq? Page 25 sur 78

26 1 M.HOUIMDI Exercice 11 L espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i, j, k ). A tout couple (a,m) R 2, on associe la droite a et le plan P m définis par : x + 1 = 0 a : y z a = 0 et P m : (m + 1)x (m 1)y + (2m + 3)z + 2 = 0 1. Trouver un point A et un vecteur directeur u de la droite a. 2. Etudier, suivant les valeurs de a et m, la position relative de a et P m. 3. Démontrer que tous les plans P m contiennent une droite fixe D dont on déterminera un point A et un vecteur directeur u. 4. a) Déterminer a pour que a et D soient coplanaires. b) Dans le cas où a et D sont coplanaires, donner une équation cartésienne du plan Q contenant a et D. Exercice 12 Soient A, B et C trois points non alignés, I le barycentre de ((A,2),(C,1)), J celui de ((A,1),(B,2)) et K celui de ((C,1),(B, 4)). a) Montrer que J est le milieu de [I,K]. b) Soient L et M les milieux respectifs de [C,I] et [C,K]. Montrer que IJML est un parallélogramme dont le centre G est le barycentre du triangle ABC. Exercice 13 Dans un plan affine, soient ABC et A B C deux triangles de centre de gravité G et G respectivement. 1. Calculer AB + BC + CA en fontion de G et G. 2. On suppose que les triagles ABC et A B C ont même centre de gravité. Soit M le point du plan, tel que MBA C soit un parallélogramme. Montrer que MB AC est aussi un parallélogramme. 3. Réciproquement, on suppose qu il existe un point M du plan, tel que MBA C et MB AC soient des parallélogrammes. Montrer que les triagles ABC et A B C ont même centre de gravité. Exercice 14 Soient A, B et C trois points non alignés d un plan affine E et M un point quelconque de E. On pose λ A = det( MB, MC), λ B = det( MC, MA), λ C = det( MA, MB) 1. Montrer que λ A + λ B + λ C Montrer que M est le barycentre de (A,λ A ), (B,λ B ) et (C,λ C ). 3. En déduire que si G est le barycentre du triangle ABC, alors det( GB, GC) = det( GC, GA) = det( GA, GB) Exercice 15 Soint P un plan affine muni d un repère affine (A,B,C) et M un point de P de coordonnées barycentriques (α,β,γ). Trouver une condition necessaire et suffisante liant α, β et γ, telle que : a) Le point M appartient à la droite (AB). b) Le point M appartient à la médiane issue de A du triangle ABC. c) Le point M appartient à la parallèle à la droite (BC) mené par le milieu du segment [A,B]. Page 26 sur 78

27 1 M.HOUIMDI Exercice 16 (Théorème de Menelaüs) Soit A, B et C trois points non alignés, P, Q et R trois points, tels que P (BC) \ B,C}, Q (AC) \ A,C} et R (AB) \ A,B} On suppose que PB = α PC, QC = β QA et RA = γ RB. Montrer que les points P, Q et R sont alignés, si et seulement si, αβγ = 1. Exercice 17 (Théorème de Ceva) Soit A, B et C trois points non alignés, P, Q et R trois points, tels que P (BC) \ B,C}, Q (AC) \ A,C} et R (AB) \ A,B} On suppose que PB = α PC, QC = β QA et RA = γ RB. Montrer que les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes, si et seulement si, αβγ = 1. Exercice 18 Soient A, B et C trois points non alignés d un plan affine. Déterminer l ensemble des points ayant mêmes coordonnées dans les repères cartésiens (A, AB, AC) et (B, BA, BC). Exercice 19 L espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i, j, k ). Soient A, B, C et D les points de coordonnées respectives (4, 1,2), (2, 5,4), 5,0, 3) et (1, 5,6). 1. Montrer que les points A, B, C et D sont non coplanaires. 2. On considère les droites et les plans suivants dont les équations par rapport au repère (O, i, j, k ) sont données par i) x + y = 1 = 0. ii) 2x 3y + 4z 1 = 0. x + y + z = 1 iii). 2x y + 4z = 3 3x y z = 1 iv). 4x 3y z = 2 Donner les équations de ces droites et ces plans par rapport au repère (A, AB, AC, AD). Exercice 20 Soient A, B, C et D quatres points non coplanaires de l espace affine de dimension 3. On définit les points K, L, M et N par KA + α KB = 0, LB + β LC = 0, MC + γ MD = 0, ND + λ NA = 0 Caractériser (α,β,γ,λ) pour que les plans (KCD), (LDA), (MAB) et (NBC) aient un point commun. Page 27 sur 78

28 1 M.HOUIMDI Page 28 sur 78

29 Chapitre2 Applications affines 2.1 Propriètés caractéristiques d une application affine Définition et propriètés élémentaires Définition 14 Soit E un espace affine de direction E. On dit qu une application f : E E est une application affine, s il existe un endomorphisme de E, noté f, telle que M E, N E, f (M) f (N) = f ( MN) Dans ce cas, f s appelle l application linéaire associée à f Exemples 13 Soit E un R-espace vectoriel muni de sa structure affine canonique : E E E (a,b) ab = b a Alors toute application affine f de E s écrit sous la forme, x E, f (x) = u(x) + b En effet, si f (x) = u(x) + b, alors on aura, où u L(E) et b E x E, y E, f (x) f (y) = f (y) f (x) = u(y) u(x) = u(y x) = u( xy) Donc f est une application affine. Réciproquement, soit f une application affine, alors il existe une application linéaire u de E, telle que : x E, y E, f (x) f (y) = u(x y), donc pour y = 0 et b = f (0) nous obtenons, x E, f (x) = u(x) + b Proposition 6 Soient E un espace affine de direction E et f : E E une application. Alors f est une application affine, si et seulement si, il existe une application linéaire f de E et il existe un point A E, tel que, M E, f (A) f (M) = f ( AM) 29

30 2 M.HOUIMDI (= ) Trivial. ( =) Soient M et N deux points quelconques de E, alors on a f (M) f (N) = f (A) f (N) f (A) f (M) = f ( AN) f ( AM) = f ( AN AM) = f ( MN) Proposition 7 Soient E un espace affine de direction E, f une application affine de E et F un sous-espace affine de E passant par le point A et de direction F, alors, i) f (F ) est un sous-espace affine de E passant par f (A) et de direction f (F). ii) f 1 (F ), s il n est pas vide, est un sous-espace affine de direction f 1 (F). i) Montrons que M E, M f (F ) f (A)M f (F) Soit M f (F ), alors, il existe P F, tel que M = f (P), donc, f (A)M = f (A) f (P) = f ( AP). Donc f (A)M f (F). Supposons que f (A)M f (F), donc il existe u F, tel que f (A)M = f ( u ). Soit N F, tel que u = AN, donc f (A)M = f (A) f (N), par suite, M = f (N). ii) Supposons que f 1 (F ) /0 et soit A f 1 (F ), alors on a M f 1 (F ) f (M) F f (A) f (M) F f ( AM) F AM f 1 (F) Donc f 1 (F ) est le sous-espace affine passant par A et de direction f 1 (F). Remarque 12 Pour tout point M E, f 1 (M}), s il n est pas vide, est un sous-espace affine de E de direction ker( f ) Représentation analytique d une application affine Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d un repère cartésien (O, e 1, e 2,..., e n ). Soient f une application affine et A = (a i j ) 1 i, j n la matrice de f par rapport à la base ( e 1, e 2,..., e n ). On désigne par (b 1,b 2,...,b n ) les coordonnées de Ω = f (O) et pour chaque point M E de coordonnées (x 1,x 2,...,x n ), on désigne par (x 1,x 2,...,x n) les coordonnées de M = f (M), puisque f ( OM) = f (O) f (M), alors on aura OM = f ( OM) + OΩ, par suite, on obtient le système suivant, appelé représentation analytique de l application affine f : x 1 = a 11x 1 + a 12 x a 1n x n + b 1 x 2 = a 21x 1 + a 22 x a 2n x n + b 2. x n = a n1 x 1 + a n2 x a nn x n + b n Page 30 sur 78

31 2 M.HOUIMDI Remarque 13 D après ce qui précède, si on pose x 1 x 2 X =., X x 2 =. et b = b 2. x n alors, on obtient ce qu on appelle la représentation matricielle de l application affine f, par rapport au repère cartésien (O, e 1, e 2,..., e n ) : x 1 x n X = AX + b b 1 b n Composée de deux applications affines - Groupe affine Proposition 8 Soient E un espace affine, f et g deux applications affines de E. Alors g f est une application affine dont l application linéaire associée est g f. Soient M et N deux points quelconques de E, alors on a (g f )(M)(g f )(N) = g( f (M))g( f (N)) = g ( f (M) f (N)) = g ( f ( MN)) = ( g f )( MN) Donc g f est une application affine et g f = g f. Proposition 9 Soient E un espace affine de direction E et f une application affine de E. Alors, i) f est bijective f est bijective ii) Si f est bijective, alors f 1 est une application affine et on a f 1 = f 1. i) Fixons un point A E. Supposons que f est bijective et soient ϕ et ψ les applications définies par ϕ : E E M AM et ψ : E E M f (A) f (M) alors, par définition, ϕ est bijective et puisque f est bijective, alors ψ est bijective. On voit facilement que ψ f = f ϕ, donc f = ψ f ϕ, par suite f est bijective. Réciproquement, supposons que f est bijective et montrons que f est à la fois injective et surjective. Page 31 sur 78

32 2 M.HOUIMDI ii) Soint M et N deux points de mathcale, tels que f (M) = f (N), a-t-on M = N? Pour cela fixons un point A E, alors on aura, f (M) = f (N) = f (A) f (M) = f (A) f (N) = f ( AM) = f (AN) = AM = AN (car f est bijective) = M = N Soit P un point de E, existe-t-il M E, lel que f (M) = P? Puisque f est bijective, alors il existe v E, tel que f ( v ) = f (A)P. Soit M E, tel que AM = v, donc f ( v ) = f ( AM) = f (A) f (M) = f (A)P, par suite, P = f (M). Remarque 14 Soit E un espace affine. On note GA(E) l ensemble de toutes les bijections affines de E, alors (GA(E), ) est un groupe, appelé groupe affine de E Points fixes d une application affine Définition 15 Soient E un espace affine et f une application affine de E. On dit que A E est un point fixe de f, si f (A) = A. On note Fix( f ) l ensemble de tous les points fixes de f. Remarque 15 Soient E un espace affine de dimension finie = n et f une application affine de E. On muni E d un repère cartésien (O, e 1, e 2,..., e n ), où O est un point fixe de f. Alors la représentation matricielle de f par rapport à ce repère s écrit sous la forme : X = AX Donc, dans ce cas, f se comporte comme une application linéaire. Proposition 10 Soient E un espace affine et f une application affine de E. Alors Fix( f ), s il n est pas vide, est un sous-espace affine de E de direction ker( f Id E ). Supposons que Fix( f ) /0 et fixons un point A Fix( f ), alors on a, M Fix( f ) f (M) = M A f (M) = AM f (A) f (M) = AM f ( AM) = AM AM ker( f Id E ) Donc Fix( f ) est le sous-espace affine de E passant par A et de direction ker( f Id E ). Théorème 7 Soient E un espace affine de dimension finie = n et f une application affine de E. Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes, i) f possède un unique point fixe. ii) 1 n est pas valeur propre de f. Page 32 sur 78

33 2 M.HOUIMDI i) = ii) Si f possède un unique point fixe A, donc le sous-espace affine Fix( f ) est réduit à un seul point, par suite, Fix( f ) est de direction 0 }, donc ker( f Id E ) = 0 }, donc 1 n est pas valeur propre de f. ii) = i) Fixons un point A E. Puisque 1 n est pas valeur propre de f et E de dimension finie, alors Id E f est bijective, par suite, il existe u E, tel que (Id E f )( u ) = A f (A). Soit M E, tel que AM = u. Ainsi, A f (A) = AM f ( AM) = AM f (A) f (M), donc A f (M) = AM, par conséquent, f (M) = M, donc Fix( f ) /0. Soient A et B deux points de Fix( f ), alors on a AB = f (A) f (B) = f ( AB), donc AB = 0, car 1 n est pas valeur propre de f, par suite A = B. 2.2 Exemples d applications affines Translation Définition et propriètés élémentaires Définition 16 Soient E un espace affine de direction E et u un vecteur de E. On appelle translation de vecteur u, l application de E vers E qui à tout point M E, fait correspondre l unique point M de E, tel que On note t u la translation de vecteur u. MM = u Proposition 11 Soit E un espace affine de direction E, alors toute translation de E est une application affine dont l application linéaire associée est l identité de E. Soit f une translation de E de vecteur v et soient M et N deux points quelconques de E, alors, d après la relation de Chasles, on a, f (M) f (N) = f (M)M + MN + N f (N) = v + MN + v = MN = IdE ( MN) Donc f est une application affine et f = Id E. Proposition 12 Soient E un espace affine et f une application affine de E. Alors f est une translation de E, si et seulement si, f = Id E. (= ) D après la proposition précédente. ( =) Supposons que f = Id E, alors on aura, M E, N E, f (M) f (N) = MN Donc, d après la proprièté du prallélogramme, on a M E, N E, M f (M) = N f (N) Fixons A E et soit v = A f (A), alors f est la translation de vecteur v. Page 33 sur 78

34 2 M.HOUIMDI Groupe des translations de E Proposition 13 Soit E un espace affine de direction E. Alors i) t 0 = Id E. ii) u E, v E, t u t v = t v t u = t ( u + v ). iii) Pour tout u E, t u est bijective et on a t 1 u = t u. iv) Soit T l ensemble de toutes les translations de E, alors (T, ) est un groupe commutatif, appelé groupe des translations de E. v) L application (E,+) (T, ) u tu Exercice est un isomorphisme de groupes. Proposition 14 Le groupe T des translations de E est un sous-groupe distingué du groupe affine GE(E) et le groupe quotient de GE(E) par T est isomorphe au groupe linéaire de E. En effet, il suffit de considérer l application GE(E)/T GL(E) ϕ : (GE(E), ) (GL(E), ) f ϕ( f ) = f On a vu que g f = g f, donc ϕ est un homomorphisme de groupes. D après la proposition précédente, f = Id E, si et seulement f est une translation de E, donc ker(ϕ) = f E : ϕ( f ) = Id E } = T Donc T est un sous-groupe distingué et GE(E)/T est isomorphe à ϕ(ge(e)) avec ϕ(ge(e)) = GL(E). Décomposition d une application affine Lemme 1 Soient E un espace affine de direction E, f une application affine de E et v un vecteur de E. Alors f t v = t v f v ker( f Id E ) (= ) On sait que M E, Mt v (M) = v Soit A E, alors on aura At v (A) = f (A)t v ( f (A)) = v, donc, f ( v ) = f ( At v (A)) = f (A) f (t v (A)) = f (A)t v ( f (A)) (car f t v = t v f ) = v Page 34 sur 78

35 2 M.HOUIMDI ( =) M E, f (M)( f t v )(M) = f (M) f (t v (M)) = f ( Mt v (M)) = Mt v (M) (car f ( v ) = v ) = f (M)t v ( f (M)) = f (M)(t v f )(M) Donc f t v = t v f. Théorème 8 Soient E un espace affine de direction E et f une application affine sans points fixes, telle que E = ker( f Id E ) Im( f Id E ) Alors il existe v ker( f Id E ) et il existe une application affine g avec Fix(g) /0, tels que f = t v g = g t v Supposons qu il existe un point A E, tel que A f (A) ker( f Id E ), puis posons v = A f (A) et g = t v f, alors on aura i) f = t v g = g t v. ii) Ag(A) = A t v ( f (A)) = A f (A) + f (A)t v ( f (A)) = A f (A) v = 0, donc g(a) = A. Donc il suffit de montrer qu il existe un point A E, tel que A f (A) ker( f Id E ). Pour cela, fixons un point B E, puisque E = ker( f Id E ) Im( f Id E ), alors il existe v ker( f Id E ) et il existe u E, tels que B f (B) = v + (Id E f )( u ) Soit A E, tel que BA = u, alors on aura B f (B) = v + BA f (B) f (A), donc A f (A) = v. Remarque M Fix(g) M f (M) ker( f Id E ). 2. v = A f (A), pour n importe quel point A Fix(g) Homothétie Définition 17 Soient E un espace affine de direction E, Ω un point de E et k un nombre réel. On appelle homothétie de centre Ω et de rapport k, l application h : E E qui à tout point M de E fait correspondre le point M de E défini par ΩM = k ΩM Remarque 17 Soit h une homothétie de E de centre Ω et de rapport k. Page 35 sur 78

36 2 M.HOUIMDI 1. Ω, M et h(m) sont toujours alignés. FIGURE 2.1 Une homothétie de rapport 3 et une autre de rapport 2 2. Si k = 0, alors M E, h(m) = Ω, donc, dans ce cas, h est constante. 3. Si k = 1, alors M E, h(m) = M, donc, dans ce cas, h = Id E. Proposition 15 Soient E un espace affine de direction E et h une homothétie de E de centre Ω et de rapport k. Alors h est une application affine dont l application linéaire associée est h = kid E. Soient M et N deux points quelconques de E, alors on a, h(m)h(n) = Ωh(N) Ωh(M) = k ΩN k ΩM = k MN = kide ( MN) Donc h est une application affine et h = kid E. Remarque 18 Soit h est une homothétie de centre Ω et de rapport k, avec k Alors Ω est l unique point fixe de h. 2. Si k = 1, on dit que h est une symétrie centrale de centre Ω. FIGURE 2.2 Symétrie de centre Ω Proposition 16 Soient E un espace affine et f une application affine de E. Alors f est une homothétie, si et seulement si, il existe un réel k 1, tel que f = kid E. Page 36 sur 78