Notions mathématiques de base

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1 Notions mathématiques de base UE4 PACES C. Bulot

2 Objectif Rappels de notions mathématiques de base Outils mathématiques nécessaires dans le cursus biomédical (biophysique, chimie ) Notamment cette année en UE1 et UE3 2

3 Plan 1. Fonctions numériques 2. Fonction Logarithme 3. Fonction eponentielle 4. Intégration 3

4 Notations : ensemble des nombres réels : pour tout : il eiste / : tel que 4

5 1. Fonctions numériques 1. Notion de fonction Dépendance entre 2 grandeurs Relation telle que la connaissance de l une permet de calculer l autre : y = f() (y en fonction de la variable ) 5

6 Eemples : Concentration sanguine d un médicament dans le sang en fonction du temps Taille d'un garçon en fonction de son âge 6

7 2. Définition mathématique Soit E un sous-ensemble de Une fonction numérique d une variable réelle est une application : f : E y=f() antécédent de f() f() image (unique) de par f 7

8 Certaines relations entre 2 variables sont régies par des lois simples et décrites par des fonctions mathématiques connues 8

9 Ensemble de définition de f D f : ensemble de tous les éléments de ayant une image par f Eemples : f : ² D f = f : D f = + 1 f : D f = * 9

10 3. Courbe représentative d une fonction Permet de visualiser la variation de y en fonction de Soit un repère orthogonal (O,Oy) du plan (choi des aes, des échelles, de l'origine) Courbe représentative de f, C f : Ensemble des points M du plan de coordonnées (;f()) pour D f 10

11 y=f() est l équation cartésienne de C f f() 0 M C f : abscisse y=f() : ordonnée 11

12 4. Sens de variation d une fonction Soit f une fonction numérique définie sur E; I intervalle de E si 1, 2 I, 1 < 2 f( 1 ) < f( 2 ) f est strictement croissante sur I (variation dans le même sens) f( 1 ) > f( 2 ) décroissante sur I (variation en sens inverse) 12

13 Une fonction croissante (ou décroissante) sur I est dite monotone sur I 13

14 Eemple : Fonction affine f : a+b C f est une droite d'équation y=a+b a pente, b ordonnée à l'origine (valeur de y quand =0) Croissante sur si a > 0, décroissante si a <0 Si a = 0, y = cte = b : droite horizontale Si b=0, y = a, la droite passe par l'origine 1 ère bissectrice : y= 14

15 15 5. Parité - périodicité Définitions Si, f(-) = f() alors f est paire Si, f(-) = - f() alors f est impaire Si, f(+t) = f() alors f est périodique de période t Propriétés de C f Si f est paire, C f est symétrique par rapport à (Oy) Si f est impaire, C f est symétrique par rapport à O

16 6. Fonctions bornées f est majorée (resp. minorée) sur I s il eiste M tel que I, f() M (resp. M) Une fonction bornée est une fonction majorée et minorée 16

17 7. Fonctions composées Composée de 2 fonctions f et g : C est la fonction gof définie par : D f / f() D g D gof gof : y = f() z = g(y) gof() = g(f()) (très souvent gof fog) 17

18 Eemple si f et g sont deu fonctions définies sur, par : f() = 3 1 et g() = alors gof() = g(f() = g(3-1) = -2 (3-1) + 4 = = D'où : gof() = -6+6 Attention : fog() =

19 8. Limite d une fonction Rappels 1 lim lim lim lim

20 f et g deu fonctions définies sur I l et l finies Si l Si f()g() (ou f()>g()) sur I alors l l 20 ' ) )( lim ( 0 l l g f ' ) ( et lim ) ( lim 0 0 l g l f '. ) )(. lim ( 0 l l g f ' ) ( lim 0 l l g f

21 Indéterminations : 0 0 () (-) Peuvent être levées dans certains cas Eemple : 0( ) sin lim

22 9. Continuité Définition Si Soit f fonction définie sur I et soit 0 [a;b] lim f ( ) l et si f( 0 ) eiste et =l, 0 on dit que f est continue en 0 Si f est continue en tout point de [a;b], f est continue sur [a;b] 22

23 La courbe est d un seul tenant y prend toutes les valeurs intermédiaires entre f(a) et f(b) 23 Fonction continue Fonction non continue

24 10.Fonction réciproque Soit f une fonction : f : E y=f() Question : connaissant y peut-on trouver tel que f() = y? On veut : - que eiste - qu il soit unique 24

25 Pas le cas Pas le cas C est le cas 25

26 Définition Soit f définie, continue, strictement croissante sur [a;b] (resp.décr.). Alors il eiste une fonction définie, continue, strictement croissante (resp. décr.) sur [f(a);f(b)] : la fonction réciproque (ou inverse) de f : f -1 : [f(a);f(b)] [a;b] y = f -1 (y) 26

27 t.q. [a;b] f -1 (f())= y [f(a);f(b)] f (f -1 (y))=y Les courbes de f et f -1 sont symétriques par rapport à la droite y= 27

28 Eemple : Fonction réciproque de f : + ² + (f continue, strictement croissante sur + ) -1 f ( ) 28

29 11.Eemple de fonctions : fonctions trigonométriques fonction sinus notée sin, définie sur, périodique de période 2 et impaire sin(+2) = sin ; sin(-) = - sin Bornée par -1 et 1 29

30 Fonction cosinus, notée cos, définie sur, périodique de période 2 et paire cos(+2) = cos Bornée par -1 et 1 cos(-) = cos On a sin² + cos² = 1 30

31 Fonction tangente, notée tan, définie par sin tan cos périodique de période et impaire, (2k 1) 2, k Z 31

32 12.Dérivation Tau d accroissement de f correspondant à l accroissement : f Notion de dérivée : f ( 2 ) f ( 1 ) valeur définie quand 0? f df d

33 33 Définition Soit f une fonction définie sur I et 0 I f ( ) f ( f est dérivable en 0 si lim 0) 0 eiste. 0 0 Cette limite est la dérivée de f en 0 notée f ( 0 ) Si f est dérivable 0 I on dit que f est dérivable sur I f': I f () est la fonction dérivée de f Autre notation : f ' df d

34 Dérivées usuelles (k) = 0, k constante () = 1 ( n ) = n n-1, n* ' 1 1 ² 1 ( )' 2 (sin) = cos (cos) = - sin 1 n ' n n1 34

35 Si f est dérivable en 0, f est continue en 0 (Réciproque fausse) Propriétés f, g, u fonctions (f+g) =f +g (af) =af a (fg) =f g+fg (u a ) =au a-1.u a 35

36 36 Propriétés (suite) g - fg g² Eemple tan = sin cos f g ' f ' = sin cos sincos cos² cos² + sin² cos² 1 = cos² 17/09/2014 UE4 PACES = C. Bulot tan² '

37 Eemple : Soit f fonction dérivable au point 0 et g fonction dérivable au point y 0 =f( 0 ) Alors gof est dérivable en 0 et ' ' ( ) f ( )g'(f( )) gof cos 1 = 1 cos 1 = 1 2 sin 1 37 = 1 ² sin 1

38 Utilisation dans l étude des fonctions Sur un intervalle I, f > 0 f strictement croissante f < 0 f strictement décroissante f = 0 f constante 38

39 f ( 0 ) est la pente de la tangente à la courbe en 0 39

40 Si f s annule en 0 en changeant de signe, alors f( 0 ) est un etremum local 40

41 Contre eemple : f() = 3 f (0) = 0 et f(0) n est pas un etremum (f () =3²0 ) 3 y 41

42 Applications concrètes Cinématique Application à la vitesse «espace parcouru pendant l unité de temps» v Origine : le mobile Direction : la trajectoire Sens : le sens du mouvement Intensité : d / dt 42

43 43 Applications concrètes (suite) Calculs d incertitudes Soit f une fonction à 3 variables, y, z Connaissant les incertitudes absolues, y, z sur les mesures, y, z, on calcule l'incertitude sur f(,y,z) : f f f f y z y z f Où : dérivée partielle de f en fonction de

44 13. Primitive Définition Soit une fonction f définie sur un intervalle I Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I telle que F () = f() I df( ) d f ( ) 44

45 Si f admet une primitive F sur I, alors f admet une infinité de primitives sur I et toute autre primitive de f sur I est définie par : On note G() = F() + c où c constante arbitraire réelle f ( ) d F( ) c Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I 45

46 Propriétés Soient a et b 2 réels Soient f et g 2 fonctions admettant des primitives sur I Alors ( i ) af ( ) d a f ( ) d ( ii) ( f g)( ) d f ( ) d g( ) d 46

47 Primitives usuelles Par eemple : 47 c a ad, -1 a a a a c d 1 1 c d 1 ² 1 c d 2 1 c d 3 3 2

48 sin d cos c cos d sin c 1 cos ² d tan c (1 tan² ) d? 1 d 48

49 2. Fonction logarithme 1. Logarithme népérien La primitive de 1/ égale à 0 pour =1 est appelée logarithme népérien : Ln C est une fonction définie > 0 Ln 49

50 2. Propriétés Ln est continue, dérivable sur +* (Ln) = 1/ > 0, donc Ln est croissante Ln - quand 0 Ln + quand + Ln1 = 0 Ln < 0 pour 0 < < 1 et Ln > 0 pour > 1 50

51 Le nombre e ou nombre d Euler : C est le nombre tel que Lne=1 (e=2,71828 ) Quelques valeurs Ln2 = 0,69 Ln3 = 1,1 Ln5 = 1,61 Ln7 = 1,95 51

52 Propriétés (suite) Ln(a.b) = Ln(a) + Ln(b) a, b > 0 Intérêt : on remplace un produit par une somme Ln(a/b) = Ln(a) - Ln(b) a, b > 0 Ln(1/a) = - Ln(a) a > 0 (cologarithme de a) Ln( a ) = a.ln a, > 0 n 1 2 Ln Ln Pour >

53 Eemples Ln10 = Ln(25) = Ln2 + Ln5 = 0,69 + 1,61 2,30 Ln20 = Ln(45) = Ln2² + Ln5 = 2Ln2 + Ln5 = 20,69 + 1,61 2,99 Ln8,1 = Ln( ) = Ln3 4 + Ln10-1 = 4Ln3 Ln10 = 41,1 2,30 2,10 53

54 Eemples (suite) Lne 3 = 3Lne = 31 = 3 Lne -1 = - Lne = - 1 Ln 1 16 = Ln(2-4 ) = - 4Ln(2) = -40,69-2,76 Ln 8 9 = Ln( ) = 3Ln(2) - 2Ln3 = 30,69-21,1-0,13 54

55 Eemples (suite) Comparer (sans calcul) : Ln5 et Ln2 + Ln3 Ln2 + Ln3 = Ln(23) = Ln6 Ln est croissante donc : Ln5 < Ln2 + Ln3 55

56 Propriétés (suite) La fonction puissance croit plus vite que la fonction logarithme y= lim Ln = 0 Si u est une fonction dérivable et ne s annule pas sur E u'() E, Ln u() ' u() u'() d Ln u() C u() 56

57 Application : électrochimie Réactifs produits Au cours d'une réaction chimique, l'enthalpie libre de chaque substance i (réactifs ou produits) peut s'eprimer par la relation : G = G 0 + RT.Lna i avec G = enthalpie libre standard R = Cste des gaz parfaits T = Température absolue Ln =Logarithme népérien a i = activité de la substance 57

58 3. Logarithmes de base a Soit a +*, > 0 log a Ln() Ln(a) On a log a a = 1 Cas particuliers : a = e log e () Ln() Ln(e) Ln() 58

59 Cas particuliers (suite): log 10 a = 10 Ln Ln10 log ; log 10 = 1 log est le logarithme décimal Ln10 = 2,3 d'où Ln 2,3log Mêmes règles de calcul que pour Ln log10 n = nlog10 = n 59

60 Cas particuliers (suite): a = 10 Quelques valeurs log2 = 0,30 log3 = 0,48 log4 = log2²= 2log2 = 0,60 60

61 4. Applications Simplification des calculs : 1 10 n Les log10 différent de 1 unité : 0 log n log (-3) (-2) (-1) 0 (1) (+ 2) (+ 3) Transforme les fonctions eponentielles en fonctions linéaires Echelle logarithmique : Réduit les échelles pour les grandeurs variant beaucoup 61

62 62 Applications (suite) ph d une solution : ph =-log[h + ] E1 : Concentration en acide chloridrique HCl en (mol.l -1 ) [HCl] = 10-2, log[10-2 ]=-2 E2 : [HCl] = 210-3, ph =-log[hcl] =2 log[210-3 ]=log2-3 ph =-log[hcl] =3-0,3 =2,7

63 3. Fonction eponentielle 1. Eponentielle de base e Ln() : fonction définie, continue, strictement croissante sur ]0;+[ Donc elle admet une fonction réciproque : e fonction définie, continue 63

64 64 2. Propriétés + *, e Ln =, Ln e = lim e lim e 0 e a+b = e a.e b e a-b = e a /e b (e a ) b = e a.b e 0 = 1 e 1 = e (e ) = e

65 2. Propriétés La fonction eponentielle croit plus vite que la fonction puissance lim e = + 65

66 3. Applications Thermodynamique Quand la réaction chimique atteint l'équilibre, une constante d'équilibre K éq est définie qui est caractéristique de la composition à l'équilibre : r G = -RT.Ln K éq K éq =ep[- r G /RT] Où r G : énergie libre standard R : Cste des gaz parfaits T : température absolue 66

67 67 v v Application en pharmacocinétique k d A A dt ordre k : cte de vitesse Réactif d A B B dt Produit La concentration plasmatique d'un médicament décroît avec le temps

68 Application en pharmacocinétique (suite) Ordre = 0 d A dt Loi cinétique d'ordre 0 On intègre k A 0 k A kta 0 68

69 Application en pharmacocinétique (suite) Ordre = 1 d A dt A A d On intègre ka 1 kdt A A 0 A A e kt Ln kt 0 69

70 Application en pharmacocinétique (suite) Ordre = 2 d A dt ka ² On intègre da A 2 A A kdt kt 70

71 Applications en Physique nucléaire Activité d'une source en fonction de l'activité initiale : A(t) = A 0 e -t : constante radioactive (s -1 ) 71

72 Application en physique nucléaire (suite) n Un noyau A bombardé de neutrons 72 dn dt B : flu de neutrons O A O B* O C N : section efficace de réaction N B ( t) B N A A B (1 e N B t B )

73 4. Intégrales Définition [a,b]i Soit une fonction f continue sur un intervalle I F une primitive de f sur I L intégrale (définie) de a à b de f est : b a f ( ) d b a F'( ) d F( ) b a F( b) F( a) (on dit aussi somme de a à b) 73

74 Interprétation géométrique Soit f une fonction continue >0 sur I [a,b]i, (C) sa courbe représentative Soit (A) l aire du domaine délimité par : - (C) - l ae des abscisses - la droite d équation (=a) - la droite d équation (=b) Alors (A) = b a f ( ) d 74

75 Propriétés Interprétation géométrique (suite) Si f()0 sur [a,b] : «aire» positive Si f()0 sur [a,b] : «aire» négative f fonction continue sur [a,b] b d a f ( ) f ( ) d b a a a f ( ) d 0 75

76 Propriétés (suite) a<b<c et f fonction continue sur [a,c] Relation de Chasles c a f ( ) d b a f ( ) d c b f ( ) d 76

77 Propriétés (suite) F fonction continue sur [a,b] f ( ) 0 a, b b a f ( ) d 0 f ( ) g( ) a, b d a b a b f ( ) g( ) d 77

78 Propriétés (suite) Si f est une fonction paire et continue sur [- a a a,a] : Démo a f ( ) d 2 Si f paire, f(-) = f() a a f ( ) d a a 0 f ( ) d f ( ) d f ( ) d 0 a f ( ) d 78

79 Propriétés (suite) Si f est une fonction impaire et continue sur [-a,a] : aa ( ) d Démo Si f impaire, f(-) = -f() f 0 a a f ( ) d 0 a f ( ) d 0 a f ( ) d 0 79

80 Application en pharmacocinétique On administre un médicament pendant un temps donné Aire sous la courbe de la concentration C d'un agent au cours du temps : paramètre eprimant l eposition totale au médicament sur la période A T C(t)dt 0 80

81 Valeur moyenne f fonction continue sur l intervalle [a,b] On appelle valeur moyenne de f sur [a,b] la quantité : b 1 a b a f ( ) d Applications en physique 81

82 Application en thermodynamique Epression du travail d'un Gaz Parfait face à des forces de pression La réaction fournit un travail dw : dw = -(P et.s).dl = - P et.dv S : Surface du piston dl : déplacement du piston P et : Pression etérieure 82 w - V V final init P et.dv

83 Application (suite) Si P et = constante (par eemple P atmosphérique) w - V V final init P et.dv -P et V V final init dv -P et ( V V fin init ) 83

84 Solénoïde Application en magnétostatique i M B 84 N : nb de spires 0 : perméabilité magnétique i : intensité du courant Champ magnétique en M : B a 1 a 2 in sin a 2 1 a 2 0 a da

85 Application en magnétostatique (suite) Solénoïde infini a 1 0 a 2 B 0 2 in 0 in 2 B = 0 in (cos cos a a 1 a a 2 1 cos a 2 ) 85