Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) une suite décroissante de réels telle que

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1 [ édité le 3 ovembre 07 Eocés Calcul asymptotique Comparaiso de suites umériques Eercice [ 08 ] [Correctio] Trouver u équivalet simple au suites u suivates et doer leur limite : Eercice 6 [ 087 ] [Correctio] Soit u ue suite décroissate de réels telle que a Motrer que u coverge vers 0 + u + u + b Doer u équivalet simple de u a u = b u = l + 3 l e c u = Eercice 7 [ 086 ] [Correctio] Soiet u, v, w, t des suites de réels strictemet positifs telles que Eercice [ 0036 ] [Correctio] Trouver u équivalet simple au suites u suivates et doer leur limite : a u = 3 + b u l = 3 l + + c u =!+e +3 Motrer que u v et w t u + w v + t Eercice 3 [ 08 ] [Correctio] Trouver u équivalet simple au suites u suivates : a u = + b u = + c u = l + l Eercice 8 [ 084 ] [Correctio] Pour N, o pose u = 0! +! +! + +! = k! Motrer que u! Eercice 4 [ 0035 ] [Correctio] Trouver u équivalet simple au suites u suivates : a u = si + b u = l si c u = cos Eercice 5 [ 047 ] [Correctio] Détermier u équivalet simple de la suite dot le terme gééral est : a + b l+ l + c + + Eercice 9 [ 085 ] [Correctio] O pose a Justier que b Détermier la limite de S S = k= k + + c O pose u = S Motrer que u coverge d Doer u équivalet simple de S Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

2 [ édité le 3 ovembre 07 Eocés Eercice 0 [ 0030 ] [Correctio] O étudie ici la suite S de terme gééral a lim si c lim + / / S = k= k a Établir que pour tout t >, l + t t et e déduire b Observer que l + t t t + l + S l + et e déduire u équivalet simple de S c Motrer que la suite u = S l est covergete Sa limite est appelée costate d'euler et est usuellemet otée γ Eercice [ 0459 ] [Correctio] Motrer que, au voisiage de +, u = 3 dt + t Calcul de limites de suites umériques Eercice [ 083 ] [Correctio] Détermier la limite des suites u suivates : a u = b u = l si c u = + + b lim si Eercice 4 [ 0474 ] [Correctio] Soiet a et b deu réels strictemet positifs Détermier a + b lim + Eercice 5 [ 0475 ] [Correctio] Détermier lim Calcul de développemets asymptotiques de suites Eercice 6 [ 0459 ] [Correctio] Réaliser u développemet asymptotique de la suite cosidérée à la précisio demadée : a u = l + à la précisio / b u = + à la précisio / c u = + à la précisio / d u = + à la précisio / Eercice 7 [ 0033 ] [Correctio] Développemet asymptotique à trois termes de : u = si k k= Eercice 3 [ 0473 ] [Correctio] Détermier les limites suivates : Eercice 8 [ 0476 ] [Correctio] Former le développemet asymptotique, e +, à la précisio / de u =! k! Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

3 [ édité le 3 ovembre 07 Eocés 3 Eercice 9 [ 0788 ] [Correctio] Doer u développemet asymptotique de o 3 Eercice 0 [ 0509 ] [Correctio] Pour tout N, o pose a = k=! k l + et b = k! k= a Établir que l + pour tout ] ; + [ N k l b Justier que les suites a et b sot adjacetes O ote γ leur limite commue a Justier le développemet k= = l + γ + o k + à la précisio Étude asymptotique de suites de solutios d'ue équatio Eercice [ 089 ] [Correctio] Soit u etier aturel et E l'équatio + l = d'icoue R + a Motrer que l'équatio E possède ue solutio uique otée b Motrer que la suite diverge vers + c Doer u équivalet simple de la suite Eercice [ 0477 ] [Correctio] Soit f : ]0 ; + [ R la foctio déie par f = l + a Motrer que pour tout N, il eiste u uique tel que f = Il s'agit de la costate d'euler, γ = 0577 à 0 3 près b Former le développemet asymptotique de la suite N à la précisio l / Eercice 3 [ 003 ] [Correctio] a Pour tout N, justier que l'équatio possède ue uique solutio R + e = b Détermier la limite de puis u équivalet de c Former u développemet asymptotique à trois termes de quad + Eercice 4 [ 0478 ] [Correctio] Motrer que l'équatio ta = possède ue uique solutio das chaque itervalle I = ] π/ ; π/[ + π avec N Réaliser u développemet asymptotique à quatre termes de Eercice 5 [ 0599 ] [Correctio] Soiet N et l'équatio E : + = 0 a Motrer qu'il eiste ue uique solutio positive de E otée et que lim + = b O pose y = Motrer que, pour assez grad, l y l o posera f y = l y ly c Motrer que ly l puis que = l l + o Eercice 6 [ 0036 ] [Correctio] Motrer que l'équatio + = 0 admet ue uique racie réelle strictemet positive pour O la ote Détermier la limite l de la suite puis u équivalet de l Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

4 [ édité le 3 ovembre 07 Eocés 4 Eercice 7 [ 0037 ] [Correctio] Pour tout etier, o cosidère l'équatio E : = + dot l'icoue est 0 a Motrer l'eistece et l'uicité de solutio de E b Motrer que ted vers c Motrer que admet u développemet limité à tout ordre Doer les trois premiers termes de ce développemet limité Étude asymptotique de suites récurretes Eercice 3 [ 030 ] [Correctio] O cosidère la suite u déie pour par u = Eercice 8 [ 0038 ] [Correctio] Pour, o cosidère le polyôme P = X X + a Motrer que P admet eactemet ue racie réelle etre 0 et, otée b Détermier la limite de lorsque + c Doer u équivalet de puis le deuième terme du développemet asymptotique a Motrer que u diverge vers + b Eprimer u + e foctio de u c Motrer que u puis que u = o d Doer u équivalet simple de u e Détermier lim + u Comparaiso de foctios umériques Eercice 9 [ 003 ] [Correctio] a Soit N Motrer que l'équatio + l = 0 possède ue uique solutio > 0 b Détermier la limite de c O pose u = Justier que u l u puis détermier u équivalet de u Eercice 30 [ 047 ] [Correctio] Soit f = cos / et C le graphe de f a Motrer l'eistece d'ue suite vériat : b est croissate positive ii la tagete à C e, f passe par O c Détermier u développemet asymptotique à termes de Eercice 3 [ 0439 ] [Correctio] O étudie l'équatio ta = d'icoue réelle a Soit N Motrer que cette équatio possède ue uique solutio das l'itervalle I = ] π/ ; π/[ + π b Détermier u équivalet de la suite N aisi déie c Réaliser u développemet asymptotique à trois termes de Eercice 33 [ 08 ] [Correctio] Détermier u équivalet simple au epressios suivates quad + : a b + + c + Eercice 34 [ ] [Correctio] Détermier u équivalet simple au epressios suivates quad + a l+ l b l + l c l + + l Eercice 35 [ 083 ] [Correctio] Détermier u équivalet simple au epressios suivates quad 0 a + b ta si c e + Eercice 36 [ 0033 ] [Correctio] Détermier u équivalet simple au epressios suivates quad 0 Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

5 [ édité le 3 ovembre 07 Eocés 5 a l + si b ll + c l + l a lim + l l b lim + l l c lim + l+ + l Eercice 37 [ ] [Correctio] Détermier u équivalet de lcos quad π/ Eercice 38 [ 046 ] [Correctio] Détermier u équivalet simple des foctios proposées au voisiage de 0 : Eercice 43 [ 046 ] [Correctio] Détermier les limites suivates : a lim 0 si b lim 0 l+ c lim 0 + / e a + cos 3 si b si c arcta arcta Eercice 39 [ 084 ] [Correctio] Soit f : R R ue foctio décroissate telle que a Étudier la limite de f e + b Doer u équivalet de f e + f + f + + Calcul de limites de foctios umériques Eercice 40 [ 08 ] [Correctio] Détermier les limites suivates : a lim + e + l Eercice 4 [ ] [Correctio] Détermier les limites suivates : a lim 0 + b lim + l +cos c lim + e e +e +si l + l l b lim 0 + c lim l+ Eercice 4 [ ] [Correctio] Détermier les limites suivates : Eercice 44 [ 0463 ] [Correctio] Détermier les limites suivates : a lim b / / Eercice 45 [ 0338 ] [Correctio] Détermier Eercice 46 [ 0508 ] [Correctio] lim + lim l l c l l+ l lim a avec a > 0 a a arcta arcta a a Soiet f et g deu foctios réelles déies sur u itervalle dot a est ue etrémité ie ou iie O suppose f et g f l R {± } a a Étudier la limite de f g lorsque ted vers a b Applicatio: Étudier lim + + l l l Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

6 [ édité le 3 ovembre 07 Eocés 6 Calcul de développemets limités Eercice 47 [ 0447 ] [Correctio] Détermier les développemets limités suivats : a DL 3 π/4 de si b DL 4 de l c DL 5 0 de sh ch ch Eercice 48 [ 006 ] [Correctio] Détermier les développemets limités suivats : a DL 3 0 de l + + b DL 3 0 de l + si c DL 3 de cosl Eercice 49 [ ] [Correctio] Détermier les développemets limités suivats : a DL 3 0 de l + e b DL 3 0 de l + si c DL 3 0 de 3 + cos Eercice 5 [ 045 ] [Correctio] Détermier les développemets limités suivats : a DL 3 0 de l+ e b DL 0 de arcta ta c DL de l Eercice 53 [ 0075 ] [Correctio] Détermier les développemets limités suivats : a DL 3 0 de si cos b DL 0 de si ep c DL 3 0 de ch sh ch Eercice 54 [ 003 ] [Correctio] Détermier les développemets limités suivats : a DL 3 0 de l + + b DL 3 0 de 3 + cos c DL 0 de + / d DL 3 0 de l+ e Eercice 50 [ 009 ] [Correctio] Détermier les développemets limités suivats : a DL 3 0 de e + b DL 3 0 de l + + c DL 3 0 de l3e + e Eercice 5 [ 0448 ] [Correctio] Détermier les développemets limités suivats : a DL 0 de + / si b DL 4 0 de l c DL 4 0 de l sh Eercice 55 [ 0449 ] [Correctio] Former le DL 3 de arcta Eercice 56 [ 045 ] [Correctio] Détermier les développemets limités suivats : a DL 0 0 de b DL de l dt +t k k! Eercice 57 [ 0453 ] [Correctio] Eprimer le développemet limité à l'ordre e 0 de factoriels à l'aide de ombres Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

7 [ édité le 3 ovembre 07 Eocés 7 Eercice 58 [ 0454 ] [Correctio] Pour α = / et k N, eprimer αα α k + k! à l'aide de ombres factoriels E déduire ue epressio du DL + 0 de arcsi Eercice 59 [ 0033 ] [Correctio] Eprimer le développemet limité gééral e 0 de arcsi puis du DL +0 de Eercice 60 [ 0455 ] [Correctio] Pour N, détermier le développemet limité à l'ordre + de O pourra commecer par calculer la dérivée de cette foctio Eercice 6 [ 0456 ] [Correctio] Motrer que l'applicatio f : R R déie par f = e admet ue applicatio réciproque déie sur R et former le DL 5 0 de f Eercice 6 [ 059 ] [Correctio] Soiet N, et f l'applicatio de R das R déie par f = si si 0 et f0 = 0 a Motrer que f est dérivable sur R b f admet-elle u développemet limité e 0? si oui à quel ordre maimal? Applicatios à l'étude locale de foctios Eercice 63 [ 0464 ] [Correctio] Soit f : ] ; 0[ ]0 ; + [ R déie par f = l + l + Motrer que f peut être prologée par cotiuité e 0 et que ce prologemet est alors dérivable e 0 Quelle est alors la positio relative de la courbe de f par rapport à sa tagete e ce poit? Eercice 64 [ 0465 ] [Correctio] Soiet a u réel o ul et f la foctio déie au voisiage de 0 par f = l + a + Détermier les évetuelles valeurs de a pour lesquelles f présete u poit d'ieio e 0 Eercice 65 [ 0466 ] [Correctio] Motrer que la foctio f : e peut être prologée e ue foctio de classe C sur R Eercice 66 [ 0470 ] [Correctio] Soit f : R R déie par f = { e / si 0 0 sio Motrer que f est de classe C et que pour tout N, f 0 = 0 C'est ici u eemple de foctio o ulle dot tous les DL 0 sot uls Eercice 67 [ 047 ] [Correctio] Soit f : ]0 ; [ ] ; + [ R l'applicatio déie par f = dt l t a Motrer que f est covee sur ]0 ; [ et ] ; + [ b Motrer que, pour tout > o a : dt t l t dt l t dt t l t E déduire que lim + f = l De même, établir : lim f = l c O prologe f par cotiuité e, e posat f = l Motrer que f aisi prologée est de classe C sur ]0 ; + [ Établir la coveité de f sur ]0 ; + [ Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

8 [ édité le 3 ovembre 07 Eocés 8 Calcul de développemets asymptotiques de foctios Eercice 68 [ 0457 ] [Correctio] Former le développemet asymptotique e 0 de l'epressio cosidérée à la précisio demadée : a l+ à la précisio 5/ b à la précisio l Eercice 69 [ 0458 ] [Correctio] Former le développemet asymptotique e + de l'epressio cosidérée à la précisio demadée : a + à la précisio / 3/ b l + + l à la précisio / c à la précisio / + Eercice 70 [ ] [Correctio] Soit ϕ: ] ; + [ R la foctio déie par ϕs = s l + s pour tout s > a Motrer que ϕ déit par restrictio au itervalles ] ; 0] et [0 ; + [ ue bijectio ϕ : ] ; 0] [0 ; + [ et ue bijectio ϕ + : [0 ; + [ [0 ; + [ b Doer u équivalet de ϕs lorsque s ted vers 0 et e déduire des équivalets des bijectios réciproques ϕ + et ϕ e 0 par valeurs supérieures c Former u développemet asymptotique à trois termes de ϕ + et ϕ e 0 + Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

9 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 9 Correctios Eercice : [éocé] a u = e e 0 b u l 0 c u /3 + Eercice : [éocé] a u b u + c u! 3 + Eercice 3 : [éocé] a b c u = + + = u = + o + + o = u = l + car l + puisque 0 Eercice 4 : [éocé] a u = si + + car + 0 b si 0 doc u l = l c u = si = + o Eercice 5 : [éocé] a b c + 4 l + l l + / = / + + / / = 3/ + + = e l+ + e l et e l+ l + + = doc e l Eercice 6 : [éocé] or l l + + l = + + l + 3 l l 3 + o = l l + o l a u est décroissate doc admet ue limite l R { } Puisque u + u + 0+, o a l + l = 0 doc l = 0 De plus, à partir d'u certai rag : u u + u + > 0 b Par mootoie u + + u u u + u avec u + + u et u + u doc u puis Eercice 7 : [éocé] Supposos u v et w t O a doc u u + w v + t = u v + w t v + t 3 l 3 + o u + w v + t u v + w t = u v t v + w t 0 3 Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

10 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 0 Eercice 8 : [éocé] O a Or et doc 0 Eercice 9 : [éocé] a b doc puis S + u =! +! + k!!! k! k! =!! = 0!! = 0 u =! +! + k! =! + o!! S + = k + k = + k= c u + u = doc u est décroissate d Or u = S + doc u est aussi miorée Par suite u coverge Eercice 0 : [éocé] S = + u = + o a O étudie la foctio t t l + t pour établir la première iégalité O e déduit l t + t t + t b c doc puis l'iégalité voulue et O e déduit S = S = + k= k= l + t t + t k l + = l + k k= /k + /k + l k= S l + k = + l u + u = / + / l + 0 doc u est décroissate De plus u l + l 0 doc u est miorée et par suite covergete Eercice : [éocé] O peut calculer l'itégrale Or pour > 0, doc u = arcta 3 arcta arcta + arcta = π u = arcta arcta 3 = + o Eercice : [éocé] a l car + 0 Par suite u Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

11 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios b u = e l+si, l + si si doc l + si puis u e c u = e + l l+, + l l + = + l l + Or + l = l + = o l ++ = l doc + l l + = l + o l +o l et l 0 doc u Eercice 6 : [éocé] a l + = l + + o b + = o 5/ 5/ c + = o d + = e e + e 4 + o Eercice 3 : [éocé] a si = doc lim si = b si = e l si = e 6 +o doc lim si c + / / = e l e l+/ lim + / / = Eercice 4 : [éocé] O a doc a + b = a/ + b / a + b = e Eercice 5 : [éocé] O a doc = e l a l+ l a+l b + e l b 3 3 = 3e l e l 3 = + e l = + doc l a + l b = 6 e + o/ +o/ l a+l b = e +o ab 3 l l 3 + o 3 3 = e l3 + 3 = e l8/9+o 8 9 Eercice 7 : [éocé] Pour [0 ; ], O a doc avec doc M = o/ 3 Or et doc Eercice 8 : [éocé] O a u =! si u = k k M k= M 0 k= k= k k + = = + k= k 3 6 = 6 k= k 3 4 u = o k! = k!! Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

12 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios Or Doc k!! Eercice 9 : [éocé] O a Or doc! 4!! 3 u = o = o + k! = o k! 3 +!! Eercice 0 : [éocé] 5 k! 5! 4 = o!! 3 k! = o 3 a Cette iégalité fameuse a déjà été justiée das le sujet 4898 b Pour tout, a a = l + + l = + l = l + b b = l + l = + l et + b a = l + l = l Les suites a et b sot doc adjacetes = + l + 0 =/ 0 0 = / Il est ici plus commode d'étudier la mootoie de la suite a e détermiat le sige de a a plutôt que celui de a + a c Lorsqu'ue suite u possède ue limite ie l, o peut écrire u = l + o quad + Puisque la suite b ted vers γ, o peut écrire b = + γ + o Cette égalité se trasforme immédiatemet e celle souhaitée 3 Eercice : [éocé] k= = l + γ + o k + a Le tableau de variatio de f : + l permet d'armer que cette foctio réalise ue bijectio croissate de R + vers R L'équatio E possède alors pour solutio uique = f b Le tableau de variatio de f doe lim + f = + Par suite + c + doe l = o La relatio + l = doe alors + o = et doc Eercice : [éocé] a La foctio f : + l réalise ue bijectio de ]0 ; + [ sur R d'où l'eistece de b Comme +, = f + Par suite l = o et = + l Doc = + o Soit y = O a : Doc y = l = l + o = l + l + o = l + o = l + o Soit z = y + l O a : z = l l + o + l = l l + o Doc = l + l 3 E particulier e e déduit l l + o = l l + o Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

13 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 3 Eercice 3 : [éocé] a Soit f : R R déie par f = + e + f + b f = + = f + doc + car f est croissate Si est majorée par M alors f = fm ce qui est absurde La suite état croissate et o majorée, elle diverge vers + = oe doc e + puis l c Posos y = l = ol O a y + l + e y = doc d'où y 0 et e y = y l e y = + y + oy O a alors y + l + + y + oy = d'où y + oy = l et Par suite O écrit y = l e y + z et y l = l l l + o = l + z + l l + o Eercice 4 : [éocé] Sur I, la foctio f : ta est cotiue, croît strictemet de vers + Cela assure l'eistece et l'uité de O a π + π < < π + π doc π Posos y = π O a ta y = et y ] π ; π [ doc Posos O a et doc y = arcta π z = π y = π arcta = arcta = arcta π + π + o π + π + o = Fialemet π + + o arcta = o 3 = π 4 + o π 3 z = π 4 π 3 3 π3 + o 3 3/ = π + π π π π 3/ + o 3/ 3/ 3/ doc puis Fialemet l + z + z + l l + o = 0 = l l l z l l + o Eercice 5 : [éocé] a O itroduit ϕ = + ϕ = + > 0, ϕ est cotiue strictemet croissate et réalise ue bijective et de [0 ; + [ vers [ ; + [ d'où l'eistece et l'uicité de O a ϕ = doc ]0 ; [ Si + < alors + + < puis < + ce qui est absurde O e déduit que est croissate et état majorée cette suite coverge Posos l sa limite, l ]0 ; ] Si l < alors + = 0 doe à la limite l = 0 ce qui est absurde Il reste l = Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

14 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 4 b f est strictemet décroissate sur ]0 ; [, f y = 0, l f l l > 0 et f l < 0 doc à partir d'u certai rag l y l doc puis et e l u l u l l c l l l y l l doe ly l puis l y = l y doe y l puis y l et alemet = l l + o Eercice 6 : [éocé] Posos f = + L'étude de la foctio f assure l'eistece et l'uicité d'ue solutio R + à l'équatio étudiée De plus, o observe que [0 ; ] Puisque 0 = f + + f +, o peut armer + La suite est croissate et majorée doc coverge vers u réel l Puisque pour tout N, [0 ; ], à la limite l [0 ; ] Si l < alors 0 l 0 et la relatio + = 0 doe à la limite l = ce qui est absurde O coclut que l = Posos u =, O a u = u u doc d'où or l u = l u + l u u l u puis l + l u l l u l l u = ol u Eercice 7 : [éocé] a Il sut d'étudier f : + b f 0 doc De plus f + = + + = + + = + 0 doc + La suite est décroissate et miorée par doc elle coverge vers l Si l > alors l + or = + l + Ce qui est impossible et il reste l = c O a avec = + l = l + g = g = l l + déie sur [ ; + [ La foctio g est de classe C, g > 0 doc g réalise ue bijectio de [ ; + [ vers [0 ; [, de plus puisque g 0 g est aussi de classe C et doc g admet u DL 0 pour tout N et doc = g / admet u développemet limité à tout ordre Formos ses trois premiers termes a = g 0 = gg = doc puis g = a + b + c + o l + b + c + o = l + b + o b + c b + o = l + b + o Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

15 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 5 doc Fialemet Eercice 8 : [éocé] b = l et c = = + l + l l + + l l + o a La foctio P est strictemet décroissate sur [0 ; ] car P = est strictemet égatif sauf pour = La foctio cotiue P réalise doc ue bijectio strictemet décroissate de [0 ; ] vers [P ; P 0] = [ ; ] O e déduit l'eistece et l'uicité de la solutio à l'équatio P = 0 b Puisque [0 ; ], o a + puis P + = P = 0 Aisi P + P + + et doc + car la foctio P + est strictemet décroissate La suite est décroissate et miorée, elle coverge doc vers u réel l [0 ; ] Si l > 0 alors P = + ce qui est absurde O coclut l = 0 c O a = 0 et doc = o Sachat + = 0, o obtiet puis Écrivos esuite = + ε avec ε 0 Puisque =, o a ε = = + ε 0 Nous allos motrer + ε + ce qui permettra de détermier u équivalet de ε puis de coclure Puisque ε 0, pour assez grad, o a + ε et alors ε = + ε O e déduit + ε + Or et par ecadremet l + = ep l 0 + ε O peut coclure ε et alemet = o Eercice 9 : [éocé] a Soit f : + l O a f + d'où l'eistece et l'uicité de avec e plus la propriété ]0 ; [ b O a f + = + + l = l < 0 doc + La suite est croissate et majorée par doc coverge vers l ]0 ; ] Si l < alors 0 = + l l l car 0 l 0 Ceci est impossible Il reste l = Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

16 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 6 c u = l u u 0 doc l u l u puis u l u + l + l u l l u doc l = l u + l l u + ol l u or l l u = ol u doc l l u puis u l u l Eercice 3 : [éocé] a Sur I, la foctio f : ta est cotiue et croît strictemet de vers + Elle réalise doc ue bijectio de I vers R L'équatio f = 0 possède alors ue uique solutio das I b Puisque est u élémet de I, o dispose de l'ecadremet π + π < < π + π Eercice 30 : [éocé] a La foctio f est déie et C sur D = k Z I k avec O e déduit π + I k = ] π + kπ ; π + kπ[ Pour D, la tagete e, f passe par O si, et seulemet si, f = f Après trasformatio, ceci équivaut pour > 0 à l'équatio ta + lcos + = 0 Posos ϕ = ta + lcos + ϕ est déie et de classe C sur D ϕ = + ta + > 0 sur D R + Quad π + kπ, ϕ + Quad ϕ ϕ Ik réalise doc ue bijectio de I k vers R pour k N La suite N avec = ϕ I 0 est solutio b Evidemmet π et doc = π + y Après calculs, o obtiet π + kπ +, π + y cos y + si y = cosy lcos y La foctio t t l t est borée sur ]0 ; ] car prologeable par cotiuité e 0 et doc cos y + si y = cos y lcos y π + y Sachat y < π/, o e déduit y π/4 O coclut = π π 4 + o + 0 c Posos O a et doc y = π ta y = avec y ] π ; π [ y = arcta + O peut aisi déjà écrire le développemet asymptotique à deu termes π = + π + π + o Détermios u équivalet de ce o e étudiat Sachat z = π y = π arcta > 0, arcta + arcta = π o obtiet z = arcta = arcta + π + π + o Fialemet Eercice 3 : [éocé] = π + π + π + o + π Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

17 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 7 a u + b u + = + + u c Motros par récurrece sur que u Pour = : ok Supposos la propriété établie au rag u + = + + u HR Récurrece établie doc u = O = o d u = + o e 0 u = + u + = O u = u u + or u et u + = + o + doc u a Quad +, l + l = l + / l l b Quad +, l + l + l = l + + l Or et doc + l = l + l + + l = l + o l l l + l l c Quad +, l + + l = l + l = + o l l Eercice 33 : [éocé] a Quad +, b Quad +, c Quad +, / /3 = 5/6 + + = + o + + o = + o + = = + o + + o Eercice 35 : [éocé] a Quad 0, b Quad 0, c Quad 0, doc + = + + = ta si = ta cos = ta si 3 e e + = + + o = + o Eercice 34 : [éocé] Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

18 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 8 Eercice 36 : [éocé] a Quad 0, car si 0, or doc l + si si si l + si Eercice 38 : [éocé] Par développemets limités : a + cos 3 si 60 5 b si = si c arcta arcta b Quad 0, l + 0 doc ll + l c Quad 0, l + l = l + + l l + l or l + + l = l et l + l = + o + o = + o doc l + l 3 Eercice 39 : [éocé] a f est décroissate doc possède ue limite l e + Quad +, f l et f + l doc or doc l = 0 b Quad +, o a doc f + f + l f + f + 0 f + + f f f + f Eercice 37 : [éocé] Quad π, posos = π h avec h 0+ π cos = cos h = si h Or doc puis si h h 0 l si h l h π l cos l puis Eercice 40 : [éocé] a Quad +, b Quad +, c Quad +, e + l f f = + l + cos l = l + e e + e e / 0 Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

19 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 9 Eercice 4 : [éocé] a Quad 0 +, b Quad 0 +, et puisque o a doc + si l = + + o l l + = l + ol + 0 l + l l 0 l + l + l l = c Quad, o peut écrire = + h avec h 0, l = l+h h+h h h = Eercice 4 : [éocé] a Quad +, b Quad +, c Quad +, l l Eercice 43 : [éocé] = l l el = e l +ol + l = e l l l l l l l = e +o l l + + l a lim 0 si = 3 b lim 0 l+ = = l + o l l + l l c lim 0 + / e = e Eercice 44 : [éocé] a lim b lim + / / l l+ l = e = 3 64/3 5 5/6 c a a a a l a a si a et arcta arctaa arctaa a = a +a Si a, Si a =, lim a a a arcta arcta a = aa + a l a lim a Eercice 45 : [éocé] Posos = h Quad, o a h 0 + et Eercice 46 : [éocé] a a arcta arcta a = l l = l h l h h l h 0 a Si f est de limite, o motre que l f équivaut à f Par l'écriture epoetielle, f g = ep g l f Cepedat, et doc l f = l + u avec u = f a 0 l f a f puis g l f a g f Par compositio de limites, o coclut f g a el Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

20 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 0 b O observe et + l l = + l l + + l + l l = l + l l Le résultat qui précède doe alors Eercice 47 : [éocé] = l + l + lim + + l l = e l = l l a si = + π 4 4 π 4 π o π 4 3 b l = o 4 c sh ch ch = o 5 Eercice 48 : [éocé] a l = l + l + = o b l + si = o 3 c cosl = o 3 Eercice 49 : [éocé] a l + e = l o 3 b l + si = l o 3 c 3 + cos = 8 + o 3 b l + + = l o 3 c l3e + e = l o 3 Eercice 5 : [éocé] a + / = e e + e 4 + o si b l = o 4 sh c l = o 4 Eercice 5 : [éocé] a l+ e = o 3 b arcta ta = 3 + o c l = + + o Eercice 53 : [éocé] a si cos = o 3 b c si ep = + o ch sh ch = o 3 Eercice 54 : [éocé] a l = o b 3 + cos = 8 + o 3 c + / = e e + e 4 + o d l+ e = o 3 Eercice 50 : [éocé] a e + = e + e + e o 3 Eercice 55 : [éocé] O primitive de DL de + : arcta = π o 3 Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

21 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios Eercice 56 : [éocé] a +t 4 puis b l 999 = t t8 + ot 9 dot 0 dt = +t 4 0 k k! dt +t 4 0 dt +t 4 = t 0 t5 + 4 t9 + ot 0 dt +t 4 = o 0 = le ! + o000 = le + l 000 e 000! + o 000 = 000! o 000 Eercice 57 : [éocé] avec Au al, = k = / 3 k k + o / k k! k 3 k = k = k k! k! k k! = Eercice 58 : [éocé] O a αα α k + k! Doc puis = arcsi = k! k k! k + o = k 3 k k! k! k k! k + o + = k k! k k! k! k k + k! k+ + o + Eercice 59 : [éocé] O a et avec doc = arcsi = c k = k 3 k k! arcsi = Eercice 60 : [éocé] + l = Doc et k c k k + o = k k! k k! k! k k! k + k+ + o + = o + l + = o + Eercice 6 : [éocé] f est de classe C sur R et f = + e > 0 de plus lim + f = +, lim f = Doc f réalise ue bijectio de R vers R et f est de classe C sur R E particulier f admet ue DL 5 0, de plus comme f est impaire, f l'est aussi et le DL 5 0 de f est de la forme : f = a + b 3 + c 5 + o 5 E réalisat u DL 5 0 de f f o obtiet : Or f f =, doc : f f = a + a + b 3 + a + 3b + c5 + o 5 a =, b = et c = 5 Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

22 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios Eercice 6 : [éocé] a f est évidemmet dérivable e tout a R et aussi dérivable e 0 avec f 0 = 0 b f admet pour développemet limité à l'ordre : f = o Si f admet u DL 0 celui-ci serait de la forme f = a + o ce qui etraîe que si/ admet ue limite ie e 0 ce qui est otoiremet fau Eercice 63 : [éocé] O a f = o Par suite f peut être prologée par cotiuité e 0 e posat f0 = De plus ce prologemet est dérivable e 0 et f 0 = 3 L'équatio de la tagete e 0 est y = + 3 et la courbe est localemet e dessous de celle-ci Eercice 66 : [éocé] f est évidemmet de classe C sur R Motros par récurrece que f est de classe C et que f est de la forme : f = P /e / pour 0 avec P R[X] Pour = 0 : ok Supposos la propriété établie au rag 0 f est cotiue, dérivable sur R et pour 0, f + = P e / + 3 P e / = P + e / avec P + R[X] Récurrece établie Pour tout N, f = y=/ P ye y 0 quad 0 + et de même quad 0 Par le théorème du prologemet C das ue versio gééralisée, o obtiet que f est de classe C et f 0 = 0 pour tout N Par suite f est dérivable e 0 et f + 0 = 0 Eercice 64 : [éocé] O a f = a a + a + a + a + 3 a 3 + o 3 Pour que f présete u poit d'ieio e 0, il faut que a + a = 0 ie : a = Iversemet si a =, f = o 3 et par suite f présete u poit d'ieio e 0 Eercice 65 : [éocé] f est déie sur R et se prologe par cotiuité e 0 e posat f0 = f est de classe C sur R et f = e e e = + o + o 0 doc f est dérivable e 0 avec f 0 = / et alemet f est de classe C sur R Eercice 67 : [éocé] a Soit G ue primitive de la foctio t /l t sur ]0 ; [ resp sur ] ; + [ Pour tout ]0 ; [ resp ] ; + [, o a f = G G O e déduit que f est de classe C sur ]0 ; [ resp sur ] ; + [ et O a alors f = l l = l f = l + l Soit g = l + sur R + g est de classe C et g = l Puisque g = 0, la foctio g est positive puis f 0 sur ]0 ; [ resp ] ; + [ b Pour >, D'où t [ ; ], t l t l t t l t dt t l t dt l t dt t l t Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

23 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 3 Comme dt t l t = l, o obtiet puis lim + f = l Pour <, D'où l f l t [ ; ], dt t l t t l t l t t l t dt l t dt t l t O obtiet l f l puis lim f = l c f est cotiue sur ]0 ; + [, de classe C sur ]0 ; [ et ] ; + [ et f + h = h l + h h 0 Par le théorème de prologemet C, o a f de classe C et f = De même, e eploitat f + h = + h l + h h + hl + h h / + hh h 0 o obtiet que f est de classe C et f = / Comme f est positive sur ]0 ; + [, o peut coclure que f est covee sur R + Eercice 68 : [éocé] a l+ = 3/ + 3 5/ + o 5/ b = + l + l + o l Eercice 69 : [éocé] a + = + / = + 8 3/ b l + + l = l + + c = e e + e 4 + o + o + 3 3/ + o Eercice 70 : [éocé] a La foctio ϕ est dérivable sur ] ; + [ avec ϕ s = + s = s + s O e déduit les variatios de ϕ : [Ue gure] pour tout s > La foctio ϕ est cotiue sur [0 ; + [ et strictemet croissate sur cet itervalle car sa dérivée y est positive et e s'aule qu'e 0 La restrictio de ϕ au départ de [0 ; + [ déit ue bijectio dot le domaie de valeurs est détermié par les limites de ϕ e 0 et +, c'est la bijectio ϕ + de [0 ; + [ vers [0 ; + [ De même, ϕ est cotiue sur ] ; 0] et strictemet décroissate, elle déit ue bijectio ϕ de ] ; 0] vers [0 ; + [ b Par développemet limité, ϕs = s 0 s s s + o s = s + o s s 0 s Les bijectios réciproques ϕ + et ϕ sot cotiues et leurs limites aisi que leurs variatios se déduiset des tableau de variatio de ϕ + et ϕ : E particulier, ϕ + peut doc écrire à la fois O e déduit ϕ ϕ + t et ϕ t 0 O motre de même [Ue gure] sot de limites ulles e 0 Par compositio, o ϕ + t et ϕ ϕ + t = t pour tout t 0 ϕ + t t 0 t car ϕ + t 0 ϕ t t 0 t car ϕ t 0 c U équivalet produit le premier terme d'u développemet asymptotique, le terme suivat se déduit d'u équivalet de la diérece Posos αt = ϕ + t t de sorte que ϕ + t = t + αt avec αt = t 0 + o t Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

24 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 4 Détermios u équivalet de αt e ijectat l'écriture précédete das l'égalité ϕ ϕ + t = t, c'est-à-dire ϕ + t l + ϕ + t = t pour tout t 0 Par développemet du logarithme à trois termes, Par des calculs aalogues, o acquiert ϕ t = t 0 + t + 3 t 9 t3/ + o t 3/ [Ue gure] avec o obtiet l + u = u u + 3 u3 + o u 3 u = t + αt u = t + tαt + o tαt u 3 = t 3/ + o t 3/ l + t + αt = t + αt t + tαt + t t3/ + o t 3/ Après simplicatios, l'égalité?? doe alors tαt = t t3/ + o t 3/ O e déduit αt t t O obtiet aisi le développemet asymptotique à deu termes ϕ + t = t + t t + ot O calcule u troisième terme e détermiat u équivalet de βt = αt t/3 = ot O développe pour cela le logarithme à quatre termes e écrivat u = t + 3 t + βt u = t t3/ t + tβt + o tβt u 3 = t 3/ + 4t + o t u 4 = 4t + o t Au terme des calculs, o obtiet βt t t3/ puis ϕ + t = t + t t + 9 t3/ + o t 3/ Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd