Fonctions de référence

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1 Chapitre 2 Fonctions de référence Sommaire I Fonction racine carrée I.1 Définition & propriétés I.2 Tableau de variations & courbe I.3 Comparaison de x, x et x 2 (pour x positif) II Fonction valeur absolue II.1 Valeur absolue d un réel - Distance entre deux réels II.2 Fonction valeur absolue I Fonction racine carrée I.1 Définition & propriétés Définition 2.1. La fonction définie sur R + = [ 0 ; + ] par f : x x est appelée fonction racine carrée. Propriété 2.1. La fonction racine carrée est strictement croissante sur [ 0 ; + ]. Démonstration. Soient x 1 et x 2 appartenant à [ 0 ; + ] avec x 1 < x 2. n a : x 1 x 2 = ( x 1 x 2 ) ( x 1 + x 2 ). Cette différence est négative et le second facteur est positif. Par suite, le premier facteur est négatif, autrement dit : x 1 < x 2. Ainsi, la fonction racine carrée est strictement croissante sur [ 0 ; + ]. I.2 Tableau de variations & courbe D après la propriété précédente, le tableau de variations de la fonction racine carrée est donné par : x Courbe représentative R de la fonction racine carrée : R f 0 ր Tableau de valeurs de la fonction racine carrée : x f(x) 0 1 1, 41 1, , 45 3 Première S 2 1

2 I.3 Comparaison de x, x et x 2 (pour x positif) y = x 2 y = x y = x n a représenté ci-contre les courbes des fonctions de référence x x, x x 2 et x x. n peut constater graphiquement que, selon la position de x par rapport à 1, l ordre des réels x, xet x 2 change.lapropriétésuivante précise et justifie ces constatations Propriété 2.2. Si 0 x 1, alors : x 2 x x. Si x > 1, alors : x < x < x 2. Démonstration. Soit 0 x 1. En multipliant chaque membre par x (positif), on obtient : 0 x 2 x. Puis, par croissance de la fonction racine carrée sur R +, cette dernière inégalité donne : 0 x 2 x, c-à-d 0 x x. Finalement, on a bien : x 2 x x. Soit x > 1. En multipliant chaque membre par x (positif), on obtient : x 2 > x. Toujours par croissance de la fonction racine carrée sur R +, il suit : x 2 > x, c-à-d x > x. Finalement, on a bien : x < x < x 2. II Fonction valeur absolue II.1 Valeur absolue d un réel - Distance entre deux réels Définition 2.2. Soit M un point d abscisse x sur la droite des réels. La valeur absolue de x correspond à la distance de à M. n note x = M = d(; M). Conséquences. Pour tout réel x, la valeur absolue d un nombre est toujours positive x = x si x 0 x = x si x 0 2

3 Exemples 1. 5 = 5 car 5 > 0 et 7 = 7 car 7 < 0 Pour tout réel a, a 2 = a 2 (car a 2 0) et a 2 = a 2 (car a 2 0) Exercice À l aide d un tableau, écrire sans valeur absolue et selon les valeurs de x : f(x) = 3x + 2 ; g(x) = 2x 1 x ; h(x) = x 2 x Écrire un algorithme qui, à partir de la donnée d un réel x, retourne la valeur de g(x). Définition 2.3. La distance entre deux nombres a et b se note d(a; b) et est définie par : d(a; b) = { a b si a b b a si a b La distance entre a et b est donc la différence positive de a et b. Cette distance est la distance, sur un axe gradué, entre les points A(a) et B(b). Exemples 2. La distance de 5 à 1, 5 est d(5; 1, 5) = 5 1, 5 = 3, 5 La distance de 6, 8 à 13, 2 est d(6, 8; 13, 2) = 13, 2 6, 8 = 6, 4 La distance de 4 à 8 est d( 4; 8) = 8 ( 4) = 12 Pour tout x réel, d ( x 2 ; x 2) = x 2 ( x 2) = 2x 2 Soit x ] 0 ; 1 [. D après la propriété 2, on a x 2 < x < x. Par suite, d (x ; x) = x x et d ( x 2 ; x ) = x x 2. Soit x ] 1 ; + [. D après la propriété 2, on a x < x < x 2. Par suite, d (x ; x) = x x et d ( x 2 ; x ) = x 2 x. Soit x R. Exprimer d ( (x 1) 2 ; x 2) sous la forme d une différence. Propriété 2.3. Soient a et b deux réels. La distance entre a et b s exprime à l aide d une valeur absolue : d(a; b) = a b = b a Démonstration. C est immédiat. Cela découle de la définition de la valeur absolue d un réel. En effet, par définition : a b = ß a b si a b 0 (a b) si a b 0 ß a b c-à-d a b = b a si a b si a b Ainsi : a b = d(a; b). D autre part, b a = Ainsi, on a bien : d(a; b) = a b = b a. ß b a si b a 0 (b a) si b a 0 = ß b a si a b a b si a b = a b Première S 2 3

4 Exemples 3. La distance de 5 à 1, 5 est d(5; 1, 5) = 5 1, 5 = 3, 5 = 3, 5 La distance de 6, 8 à 13, 2 est d(6, 8; 13, 2) = 6, 8 13, 2 = 6, 4 = 6, 4 La distance de 4 à 8 est d( 4; 8) = 4 8 = 12 = 12 Exercice 2. Représenter graphiquement : l ensemble des réels x tels que x 1 = 1 2 l ensemble des réels x tels que x + 2 = 1 l ensemble des réels x tels que x 2 < 1 l ensemble des réels x tels que x Propriétés 2.4. x = 0 x = 0 x = x x = y x = y ou x = y Pour tout a R, on a : a 2 = a. Démonstration. x = 0 équivaut à dire que la distance de x à 0 est nulle, c est-à-dire que x = 0. x et x sont les abscisses respectives de deux points A et B symétriques par rapport à l origine. n a donc A = B, c-à-d x = x. x et y sont les abscisses respectives de deux points A et B x = y A = B, les points A et B sont donc soit confondus (c-à-d x = y), soit symétriques (c-à-d x = y). Soit a R. L égalité a 2 = a est clairement vraie si a = 0. Supposons à présent a 0. Par définition de la racine carrée, a 2 est le nombre positif ayant pour carré a 2. Autrement dit, a 2 est la solution positive de l équation d inconnue X : X 2 = a 2. r, on sait que cette équation s écrit aussi X 2 a 2 = 0, c-à-d (X a)(x + a) = 0. Ses deux solutions sont donc a et a. Ainsi, a 2 est le nombre positif parmi les deux opposés a et a. Autrement dit : a a =ß 2 si a 0 a si a 0 c-à-d a 2 = ß a si a 0 a si a 0 Finalement, a 2 = a. Remarque. L égalité a 2 = a peut aussi se prouver de la façon suivante. n a ( a 2) 2 = a 2 et a 2 = a 2. C est donc que les deux nombres a 2 et a ont le même carré. n sait alors que deux tels nombres sont soit égaux soit opposés. r ici, les deux nombres a2 et a sont par définition positifs. Ainsi, on a bien a 2 = a. Exercice Exprimer à l aide d une valeur absolue puis sans valeur absolue l expression r(x) =» (3x 12) Construire dans un r.o.n ( ; ; ) la courbe C r de la fonction r (cf illustrations du cours). 4

5 Remarque. Soit f une fonction définie sur l intervalle [ 3 ; 8 ] et dont la courbe C f dans un r.o.n est représentée ci-dessous. C f n note g la fonction définie par g = f, c-à-d : x [ 3 ; 8 ], g(x) = f(x). Dans un r.o.n, la courbe C g de g s obtient à partir de celle de f. Plus précisément : tant que C f est «au-dessus» de l axe des abscisses, C g coïncide avec C f ; tant que C f est «au-dessous» de l axe des abscisses, C g coïncide avec la symétrique de C f par rapport à l axe des abscisses. Voici la courbe de la fonction f pour l exemple considéré : C g II.2 Fonction valeur absolue Définition 2.4. La fonction valeur absolue est la fonction f définie sur R par f(x) = x. Propriété 2.5. La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur R et strictement croissante sur R +. Démonstration. Cela découle du fait que : si x R, alors f(x) = x. Autrement dit, f coïncide sur R avec la fonction affine décroissante x R x ; si x R +, alors f(x) = x. Autrement dit, f coïncide sur R + avec la fonction affine croissante x R x. Première S 2 5

6 Conséquences. D après la propriété précédente, le tableau de variations de la fonction valeur absolue est donné par : Courbe représentative V de la fonction valeur absolue : x 0 + f ց ր 0 Tableau de valeurs de la fonction valeur absolue : x f(x) V Remarque. La courbe représentative de la fonction valeur absolue est une fonction affine par morceaux. Cette courbe admet l axe des ordonnées comme axe de symétrie dans un r.o.n, ce qui caractérise une fonction paire. 6