TD 10 : Interférences

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1 1 TD 10 : Questions de cours Dessiner le montge des trous d Young Montrer que l étt d interférence ne dépend que de l direction Clculer l différence de chemin optique en M En déduire l différence de phse et l ordre des frnges u point M Déterminer l interfrnge Dessiner le montge de Frunhofer Retrouver les nouveux δ, ϕ, p, i Retrouver δ dns l cs d une source qui n est ps à égle distnce de S 1 et S 2. Qu est ce que l longueur de cohérence sptile? Expliquer pourquoi les frnges peuvent se brouiller vec une source lrge Qu est ce que l longueur de cohérence temporelle? Expliquer pourquoi les frnges peuvent se brouiller vec une source de lrgeur spectrle non nulle. Expliquer l figure obtenue en lumière blnche Applictions directes du cours 1. Trous d Young () On rélise une expérience d interférences vec deux trous d Young dns l ir. On obtient un interfrnge i 0 = 2, 0 mm. Le dispositif est lors immergé totlement dns l eu, d indice n = 1, 33. Quelle est l nouvelle vleur de l interfrnge? (b) On considère le dispositif des trous d Young. Les deux trous sont identiques mis l un des deux trous est recouvert d une lme qui ne lisse psser que 50 % de l intensité incidente, mis qui n introduit ucune différence de mrche notble. Qu y -t-il de chngé pr rpport à l sitution où les deux trous sont identiques? 2. Episseur d une lme On considère le dispositif des trous d Young, écliré en incidence normle pr une source ponctuelle de lumière blnche, suivie d un filtre coloré permettnt de sélectionner finement une composnte spectrle de longueur d onde λ 0 = 500 nm (qu on supposer monochromtique). L distnce entre les trous S 1 et S 2 est = 2, 00 mm et l écrn d observtion se trouve à distnce D = 3, 00 m du pln contennt les deux trous. L ensemble du dispositif est plcé dns l ir, dont on suppose l indice égl à 1. Un point M de l écrn est repéré pr ses coordonnées (x, y), l xe (Ox) étnt dns l direction des deux trous et le point O, origine des coordonnées, situé à égle distnce des deux trous. () Quelle est l expression de l différence de mrche δ = (S 2 M) (S 1 M) entre les ondes interférnt en un point M de l écrn? En déduire l llure de l figure d interférences observée sur l écrn. Clculer l vleur numérique de l interfrnge. Où se situe l frnge d ordre p = 0, correspondnt à δ = 0? (b) On rjoute devnt le trou S 1 une lme d indice n = 1, 4 et d épisseur constnte e. On considère que l lumière trverse cette lme en incidence normle et on néglige toute réflexion de l lumière sur ses fces. Exprimer l nouvelle différence de mrche en M.

2 2 (c) Où se situe mintennt l frnge d ordre p = 0? Exprimer son déplcement en unité d interfrnge. Vérifier que cel revient à exprimer l vrition p de l ordre d interférences p due à l introduction de l lme. (d) On retire à présent le filtre coloré pour éclirer en lumière blnche. On observe sur l écrn des frnges irisées. Expliquer pourquoi. Justifier l intérêt d utiliser momentnément une source de lumière blnche dns cette expérience. (e) On estime le déclge de l frnge d ordre p = 0 égl à 6 interfrnges, l interfrnge étnt mesuré en présence du filtre coloré, donc en lumière monochromtique à λ 0 = 500 nm. En déduire une mesure de l épisseur e de l lme. 3. Réseu () On éclire un réseu ynt 500 trits pr millimètre pr un fisceu prllèle d incidence normle (θ 0 = 0) et de longueur d onde λ 0 = 600 nm. Combien de pics de diffrction peut-on observer u mximum? (b) Choix d un réseu : Un réseu optique doit être tel que, pour toute longueur d onde du domine visible on puisse observer u moins un ordre de diffrction non nul en incidence normle, l ngle entre les directions des lumières diffrctées dns deux ordres consécutifs soit u moins égl à 0, 1 rd. Comment doit-on choisir le ps du réseu? Approfondissement 1. Expérience de Fizeu En 1851, Fizeu rélis l expérience d interférométrie suivnte fin de vérifier l hypothèse émise pr Fresnel selon lquelle l vitesse de l lumière mesurée dns un référentiel en mouvement pr rpport à l éther n obéissit ps à l loi de composition des vitesses gliléennes. L source ponctuelle S est supposée monochromtique (λ 0 = 530 nm) même si Fizeu utilis l lumière solire. L eu, initilement u repos, est mise en mouvement vec une vitesse d écoulement constnte u. On noter v = c l vitesse de l lumière dns l eu. n () Estimer l différence de temps de propgtion entre les deux ryons qui interfèrent en F 2 et en déduire l différence de mrche δ correspondnte : i. en utilisnt l loi de composition des vitesse gliléenne : v = v u, où v est l vitesse mesurée dns le référentiel R en trnsltion à l vitesse u = y e x pr rpport u référentiel R où est mesurée v.

3 3 ii. en utilisnt l loi de composition des vitesses reltiviste (vec les mêmes nottions) : v x = v x u 1 uv x (b) L expérience de Fizeu consiste à observer les frnges d interférences vec l eu immobile (u = 0) puis à mesurer le déplcement des frnges qund on met l eu en mouvement. Donner ce déplcement p, exprimé en nombre de frnges, dns les deux cs ci-dessus (gliléen et reltiviste). (c) Les vleurs des différents prmètres correspondnt à l expérience historique de Fizeu sont n = 1, 33, l = 1, 5 m et u = 7 m s 1. Quelle est l loi de composition des vitesses qui donne un résultt théorique comptible vec l expérience schnt que Fizeu mesur un déclge de 0, 23 frnge, doublnt l effet en inversnt le sens du cournt? 2. Méthode de Michelson et Pese Une source monochromtique S de longueur d onde λ éclire un dispositif clssique de trous d Young. Les nottions sont précisées sur l figure suivnte. L source S n est ps sur l xe des fentes mis à une distnce b de celui-ci. On suppose x D, D, l et b l. () En tennt compte de ces pproximtions, exprimer l ordre d interférences p(m) en fonction de x,, b, D, λ 0 et l, où x représente l bscisse du point M. (b) i. Une seconde source S, identique à l précédente, est plcée symétriquement à S pr rpport à l xe du dispositif de fentes. Les sources S et S sont supposées incohérentes. Une dispositif dpté permet de fire vrier, les prmètres ε = 2b l et λ 0 restnt fixes. Déterminer les vleurs de qui correspondent à une nnultion de l visibilité des frnges d interférences u point M. ii. Appliction : Les deux sources S et S sont les deux composntes d une étoile double. Dns le cs de Cpell, pour λ 0 = 635 nm, on trouve que l plus petite vleur de nnulnt l visibilité des frnges vut 0 = 116, 5 cm. En déduire l vleur de ε (pr souci de simplicité, on supposer que l indice des milieux trversé est égl à 1). 3. Cpcité de stockge d un CD Sur l surfce d un disque compct (CD) est grvée une piste unique en forme de spirle de ps. Cette surfce peut être modélise, loclement, pr un ensemble de N miroirs prllèles identiques entre eux, régulièrement espcés d une distnce (voir figure cidessous). L indice de l ir est confondu vec celui du vide.

4 4 Attention, les ngles sont ici lgébriques : i > 0 et θ < 0 () Seuls des fisceux lumineux prllèles sont envisgés. L direction de l lumière incidente est contenue dns le pln (yoz). Les ryons lumineux réfléchis pr le CD sont ussi contenus dns le pln (yoz). Le disque est écliré sous un ngle d incidence i. i. Pr nlogie vec le tritement effectué pour le réseu pr trnsmission, déterminer l expression de l différence de mrche entre deux ryons réfléchis consécutifs. ii. Définir les directions θ k, où k est un nombre entier, ppelé ordre d interférence, dns lesquelles les ondes réfléchies pr les miroirs interfèrent de fçon totlement constructive. (b) On rélise l expérience suivnte. Le disque compct est écliré en incidence normle. On tourne ensuite le disque d un ngle α fin que le fisceu diffrcté pr le disque dns l ordre k = 1 soit dirigé dns l direction du fisceu lumineux incident (voir figure suivnte) i. Étblir l reltion lint, λ 0 et α. ii. Pour λ 0 = 650, 0 nm, on mesure α = En déduire une vleur numérique de. Est-il possible d observer l spirle grvée sur le disque à l ide d un microscope optique? iii. L spirle est grvée depuis l intérieur du disque (ryon égl à 2, 1 cm) vers l extérieur (ryon égl à 5, 9 cm). Estimer l longueur de cette spirle sur un CD. iv. Sur l spirle sont grvés des motifs (creux ou plts), d une longueur voisine du micromètre. Chcun de ces motifs peut être ssocié à un bit de codge. En déduire une estimtion de l cpcité de ce CD en Mo, schnt qu un Mo représente 10 6 octets et que chque octet est un ensemble de 8 bits. Élements de réponse 1. i 1 = n 0 i 0 = 1, 50 mm ; C = 2 2 n 1 3, i inchngé.

5 5 2. () i = λ 0D (b) δ = x D = 0, 750 mm. (n 1)e. (c) x i = (n 1) e λ 0. (d) En lumière polychromtique on reconnît plus fcilement l frnge centrle (p = 0) puisqu elle est blnche. (e) e = 7, 5 µm. 3. () On observe 7 pics de diffrction u mximum. (b) Il fut λ 0 < < 10λ 0 soit [0, 750 µm; 4 µm]. 1. p(m) = nx λ 0 D + nb λ 0 l ; m = m λ 0 nε λ 0 2nε vec m N ; ε = λ 0 = 2, ) (1 v2 2. () t c = 2n2 ul et δ c = 2n2 ul c ; t r 2ul v 2 (b) p c = 2n2 ul et p r = 2ul λ 0 c λ 0 c (n2 1). (c) p c = 0, 23 et p r = 0, () δ m+1/m = (sin θ + sin i) ; sin θ k = k λ 0 sin i. et δ r = 2ul c (n2 1). (b) = λ 0 ; = 1, 48 µm, à l limite de l résolution d un microscope optique. 2 sin α Longueur de l spirle : L = π(r2 ext Rint 2 ) = 6, 5 km! ; Cpcité de 800 Mo.

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