Dénombrement. (d) D n = (x;y) {1; ;n} 2 ;x+y n

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1 Lycée Déodat de Séverac TD 1 Déombremet Esembles et cardial d u esemble Exercice 1 : [idicatios] Le crible Q 1 Soiet A, B, C trois esembles fiis Motrer que CardA B C CardA+CardB+CardC CardA B CardA C CardB C+CardA B C Q Ue applicatio Das ue classe, il y a autat de filles que de garços Tous les élèves étudiet au mois ue lague Parmi eux, 10 étudiet l espagol, 1 l allemad, 0 l aglais, 7 l espagol et l allemad, 8 l allemad et l aglais, 9 l aglais et l espagol Quel est l effectif de la classe? Exercice : [corrigé] Soit N Représetez graphiquemet chaque esemble et déombrez-les a A x;y 1; ;, ;x y c C x;y 1; ; ;x+y b B x;y 1; ; ;x < y d D x;y 1; ; ;x+y Déombremets classiques Exercice : [corrigé] Q 1 Trete chevaux umérotés sot au départ d ue course Combie y a-t-il de tiercés? Q O s itéresse aux etiers aturels dot l écriture e écessite pas d autres chiffres que1; et a Combie y a-t-il de tels etiers dechiffres? b Combie y e a-t-il d au pluschiffres? Q Combie de uméros de téléphoe fixe peut-o attribuer e Frace métropolitaie sachat que : l idicatif de régio est 01, 0, 0, 04 ou 0, les deux chiffres suivats sot disticts de ouveaux uméros sot dispoibles, commeçat tous par 08 Q 4 Combie existe-t-il de ombres palidromes etre 100 et 1000? U ombre palidrome est u ombre qui reste le même qu o le lise de gauche à droite ou de droite à gauche Q Combie de couple de délégués peut-o former avec ue classe de7 élèves? Q 6 U iterat comporte10 chambres De combie de faços le resposable peut-il loger7élèves? Q 7 U atelier compred 8 femmes et 7 hommes O choisit das cet atelier des équipes de 6 ouvriers Combie d équipes comportat hommes et femmes peut-o former? Q 8 Das ue voiture, o peut mettre ciq persoes, deux à l avat et trois à l arrière Combie de faços a-t-o pour le choix des deux persoes à l avat e distiguat le chauffeur du copilote? Q 9 Ue étagère compred livres apparteat à collectios différetes, ue de 10 livres, ue de 8 et ue de 7 Vu de loi, les ouvrages d ue même collectio sot idiscerables Quel est le ombre d aspects que peut predre l étagère? Q 10 O dispose de outils et de 7 casiers susceptibles de les recevoir O suppose que chaque casier peut à la rigueur coteiroutils Détermier a le ombre de faços de placer outils das les7casiers d ue faço quelcoque 1

2 Lycée Déodat de Séverac b le ombre de faços de placer outils das les 7 casiers sas qu il y e ait deux das le même casier Exercice 4 : [corrigé] U sac cotiet6 jetos repreat les6 lettres de l alphabet Q 1 O tire simultaémet jetos du sac Détermier le ombre de tirages disticts coteat a exactemet deux voyelles, b au mois ue voyelle Q O tire successivemet jetos avec remise Détermier le ombre de tirages disticts coteat a exactemet deux voyelles, b au mois ue voyelle Q O tire successivemet jetos sas remise Détermier le ombre de tirages disticts coteat a exactemet deux voyelles, b au mois ue voyelle Exercice : [corrigé] E laçat ciq fois de suite u dé à six faces, o obtiet ue suite de ciq uméros de1,,6 Q 1 Combie de suites sot possibles? Q Quel est le ombre de suites qui a commecet par u? b fiisset et commecet par le même uméro? c e cotieet pas de d cotieet tous les uméros sauf le? Exercice 6 : [corrigé] U jeu de cartes est composé de 4 couleurs Ue mai est ue suite o ordoée de 1 cartes Q 1 Quel est le ombre de mais? Q Combie de mais cotieet les quatre as? Q Combie compreet quatre trèfles dot la dame? Q 4 Combie e cotieet aucu coeur? Q Combie cotieet trois carreaux au plus? Exercice 7 : [corrigé] Détermier le ombre d aagrammes du mot MOI? du mot BOB? du mot MATHEMATIQUES?

3 Lycée Déodat de Séverac Exercice 8 : [corrigé] U jeu de tarot comporte 1 atouts umérotés de 1 à 1 O pred ciq atouts Quel est le ombre de mais 1 possibles? das lesquelles il y a le 1 ou le 1? das lesquelles il y a au mois u multiple de ciq? 4 das lesquelles il y a exactemet u multiple de ciq et de trois? Exercice 9 : [corrigé] U domio est u rectagle sur lequel figuret deux chiffres pris avec répétitio das l esemble 0,1,,6 1 Calculer le ombre de domios O tire au hasard, successivemet et sas remise, deux domios Calculer le ombre de fois où les deux domios possédet u chiffre e commu? O tire de la même maière quatre domios Calculer le ombre de possibilités que l o obtiee au mois u double Exercice 10 : [corrigé] U jeu comporte cartes, dot 8 par couleur Ue mai est ue suite o ordoée de 8 cartes 1 Quelle est le ombre de mais? Combie de mais cotieet au mois u as? Combie compreet au mois u coeur ou ue dame? 4 Combie e cotieet que des cartes de deux couleurs au plus? Déombremets et applicatios Exercice 11 : [idicatios] [corrigé] Soiet E u esemble fii de cardial et ϕ : PE 1 six A FE,0; 1 défiie par ϕa 1 A, avec 1 A défiie par : 1 A x 0 sio Q 1 Que valet CardPE etcardfe,0; 1? Q Motrer queϕest ijective, puis qu elle est bijective Exercice 1 : [idicatios] [corrigé] 1 Détermier à la mai le ombre de surjectios de [1, ] vers [1, ] Soit N Détermier le ombre de surjectios de [1,+1] vers [1,] Des formules démotrées grâce à des problèmes de déombremet Exercice 1 : [solutios] Das ue ure, o place boules blaches et ue oire O pred k boules simultaémet Q 1 Quel est le ombre de tirages sas boule oire? Q Quel est le ombre total de tirages? Q Détermier de deux faços différetes le ombre de tirages avec au mois ue boule oire? Quelle propriété du cours viet-o de démotrer?

4 Lycée Déodat de Séverac Exercice 14 : [corrigé] O dispose de boules oires umérotées de 1 à et de boules rouges umérotées de1à Pour obteir u tirage deboules parmi les boules dispoibles : Q 1 O mélage toutes les boules das ue boite et o pioche au hasard boules dedas Combie obtiet-o de possibilités? Q Soit k 0; Quel est le ombre de tirages comportat k boules oires? O ote alors A k l esemble des tirages aveck boules oires Q Calculer alors de deux faços différetes le ombre :Card k0 A k Q 4 Quelle formule viet-o de démotrer? Déombremets et suites Exercice 1 : [corrigé] O s itéresse à l esemble E des mots de lettres formés des deux lettres a et b e coteat pas plus d u a cosécutif Notos E a,b, W l esemble de tels mots fiissat par u a et V l esemble de tels mots e fiissat pas par u a O ote égalemet u CardW et v CardV Q 1 Détermieru 0,v 0,u 1,v 1,u,v,u,v Q Motrer que : 1, u +1 v Q Motrer quev +1 u +v Q 4 E déduire ue expressio simple deu etv Q Doer ue expressio simple decarde 4

5 Idicatios et solutios du TD 1 Idicatios Exercice 1 : 1 CardA B C CardA B C CardA+CardB C Notat : Exercice 11 : A élèves qui pratiquet l Espagol, B élèves qui pratiquet l Aglais, C élèves qui pratiquet l Espagol, et e utilisat la questio précédete avec les hypothèses de l éocé, o aboutit à l équatio : k 1 + p, où : k est l effectif de la classe et 0 p 7 Il reste à costater deux choses D ue part p doit être écessairemet impair D autre part, ous devos égalemet avoir : p+7 p+9 p 10 Tout ceci aboutit à ue uique solutio 1 Les deux valeurs sot égales Deux esembles sot égaux si et seulemet si leurs foctio caractéristiques sot égales Il reste à voir que l ijectivité etraîe ici automatiquemet la bijectivité Exercice 1 : 1 Il suffit d expliciter toutes les applicatios de [1,] vers [1,] puis de compter celles qui sot surjectives Das cette situatio, seul u élémet de [1, ] a deux atécédets et les autres e ot qu u seul Solutio de l exercice 1 : 1 k +1 k +1 k k k 1 PASCAL Correctio de l exercice : a A x;y 1; ;, ;x y A k1 k;y 1; ; ;k y k1 k;y;k y Ces esembles sot deux à deux disjoits Par propriété : CardA k1 Card k;y;k y k1 k b O peut remarquer que A est la réuio disjoite de B avec les élémets diagoaux de 1; ; qui sot au ombre de O obtiet doc CardB CardA 1 Sio, B x;y 1; ; ;x < y c k1 k;y 1; ; ;k < y k1 k;y;k +1 y O remarque que k doit être iférieur ou égale à 1, sio o obtiet u esemble vide Ces 1 esembles sot deux à deux disjoits Par propriété : 1 CardB Card k;y;k +1 y k1 1 k 1 k1 C x;y 1; ; ;x+y k1 k;y 1; ; ;y k De même, o elève l esemble k puisqu il est vide Par coséquet, C 1 k1 k;y 1; ; ;y k Ces esembles sot deux à deux disjoits et ils e cotieet qu u seul élémet Par propriété, d D 1 CardC 1 1 k1 x;y 1; ; ;x+y correspod à l esemble des couples issus de la partie triagulaire iférieure stricte O trouvecardd 1 Correctio de l exercice : Q 1 Trete chevaux umérotés sot au départ d ue course Combie y a-t-il de tiercés? U tiercé est u uplet d élémets deux à deux disticts, soit u arragemet de élémets pris parmi 0 élémets Il e existea Q O s itéresse aux etiers aturels dot l écriture e écessite pas d autres chiffres que1; et a Combie y a-t-il de tels etiers de chiffres? U ombre etier à chiffres est modélisé par u uplet de l esemble1;; Soit ombres de la sorte b Combie y e a-t-il d au pluschiffres? Au plus chiffres sigifie que l o cosidère l esemble des ombres à1chiffre, otén 1, ou l esemble des ombres àchiffre, otén,l esemble

6 Idicatios et solutios du TD 1 des ombres àchiffre, otén Par le même raisoemet, o obtietcardn k k Cela cosiste doc à calculer k1n k, esemble deux à deux disjoits Soit, par propriété : Card k1n k k0 CardN k k1 k Q Combie de uméros de téléphoe fixe peut-o attribuer e Frace métropolitaie sachat que : l idicatif de régio est 01, 0, 0, 04 ou 0, les deux chiffres suivats sot disticts de ouveaux uméros sot dispoibles, commeçat tous par 08 Les ouveaux uméros sot dispoibles, commeçat tous par 08, sot modélisés par des 8 listes de l esemble0; ;9 Il e existe doc 10 8 Cocerat les autres possibilités, les deux chiffres suivats l idicatif sot disticts, doc 10 9 choix possibles Puis, les 6 autres chiffres sot modélisés par des 6 listes de l esemble 0; ; 9 Il e existe 10 6 Par le pricipe multiplicatif, les uméros de téléphoe fixe vérifiat les deux premières coditios sot au ombre de Par le pricipe additif, le ombre de uméros de téléphoes est de Q 4 Combie existe-t-il de ombres palidromes etre 100 et 1000? U ombre palidrome est u ombre qui reste le même qu o le lise de gauche à droite ou de droite à gauche U ombre palidromes etre 100 et 1000 est modélisé par ue suite de trois chiffres abc tels queabc cba Ce qui est équivalet àb 0; ;9 et a c 1; ;9 o elève le 0 pour avoir u ombre à trois chiffres Aisi, par le pricipe multiplicatif, o obtiet, ombres de la sorte Q Combie de couple de délégués peut-o former avec ue classe de 7 élèves? U tel couple est ue partie de persoes prises das la classe de 7 persoes, soit possibilités!!! Q 6 U iterat comporte 10 chambres De combie de faços le resposable peut-il loger 7 élèves? Par exemple, le premier élève a 10 chambres possibles, le secod 9 O modélise doc u tel placemet par ue 7 liste d élémets deux à deux disticts de l esemble 1; ;10, soit u arragemet de 7 élémets pris das u esemble à 10 élémets Cela doe A possibilités Q 7 U atelier compred 8 femmes et 7 hommes O choisit das cet atelier des équipes de 6 ouvriers Combie d équipes comportat hommes et femmes peut-o former? Pour les femmes, o e pred parmi 6, ce qui se modélise par ue partie O e a De même, pour les hommes Par 1 le pricipe multiplicatif, o obtiet : comités possibles Q 8 Das ue voiture, o peut mettre ciq persoes, deux à l avat et trois à l arrière Combie de faços a-t-o pour le choix des deux persoes à l avat e distiguat le chauffeur du copilote? Puisqu o distigue le chauffeur du copilote, o assimile le choix des deux persoes à l avat par u arragemet de deux élémets parmi, c est à dire : 4 0 Q 9 Ue étagère compred livres apparteat à collectios différetes, ue de 10 livres, ue de 8 et ue de 7 Vu de loi, les ouvrages d ue même collectio sot idiscerables Quel est le ombre d aspects que peut predre l étagère? Plaços la première collectio O pred 10 places sur cette étagère Pour la secode collectio, il reste 1 8 places sur cette étagère Pour la derière, il reste bie! place sur cette étagère Par le pricipe multiplicatif, o obtiet : ! 10!1! 1!! 8!7! 10!8!7! Q 10 O dispose de outils et de 7 casiers susceptibles de les recevoir a Nombre de faços de placer outils das les 7 casiers d ue faço quelcoque O peut associer pour chaque outil 7 possibilités O modélise doc le problème par ue -liste d u esemble à7élémets, doc 7 possibilités b Nombre de faços de placer outils das les 7 casiers sas qu il y e ait deux das le même casier Il suffit de remplacer la liste précédete par u arragemet, d oùa possibilités Correctio de l exercice 4 : Q 1 O tire simultaémet jetos du sac O modélise u tel tirage par ue partie de élémets pris das 6 élémets Il existe 6 tirages de la sorte a Le ombre de faços d obteir exactemet deux voyelles est 6 Reste à choisir les cosoes, soit 0 tirages possibles Par le pricipe multiplicatif, o obtiet b L astuce est de passer par le complémetaire Le ombre de tirages sas voyelle est 0 O obtiet par propriété que le ombre de tirages coteat au mois ue voyelle est : Q O tire successivemet jetos avec remise U tel tirage se modélise par ue -liste O e pred u, puis o le remet, o e pred u autre Le ombre de tels tirages est par propriété :6 a O choisit les voyelles : o a 6 possibilités O choisit les cosoes :0 possibilités Reste

7 Idicatios et solutios du TD 1 à les placer car sio o e compte que les tirages VVCCC deux voyelles au début O a places possibles pour les voyelles, les cosoes sot alors automatiquemet placés Par le pricipe multiplicatif, o obtiet : b Par passage au complémetaire, o obtiet le ombre de tirages possibles égal à : Q a A 6 : choix des voyelles,a 4 0 : choix des cosoes, : choix des places pour les voyelles Pricipe multiplicatif :A 6A0 4 b A 6 A 0 Correctio de l exercice : 1 Ue liste de1; ;6 : 6 a U résultat possible : ;?;?;?;? Soit6 4 b Choix du ombre :6 Puis les trois autres :6 Doc, 6 4 c d Tous les umeros de 1;;4;;6 Doc ue liste d élémets deux à deux disticts, soit ue permutatio par défiitio Doc! Correctio de l exercice 6 : 1 1 Ue mai est ue partie de ciq élémets pris das l esemble des atouts Leur ombre est égal à 1 Deux solutios sot proposées a O compte celles das lesquelles il y a i le 1 i le 1 Ue telle mai est alors ue partie de l esemble des atouts privé du 1 et du 1 Il y e a 1 19 Le ombre cherché est !! !! b Sio o utilise les esembles suivats : mais coteat le 1 ou le1 mais coteat le 1 mais coteat le1 A B carda 0 4, cardb 0 4 carda B carda+cardb carda B 19 carda B Aisi : carda B C est plus facile de calculer le cardial de l esemble complémetaire : Q 1 U résultat est modélisé par u sous esemble o e les tire pas ue à ue Doc 1 Q Il reste1 4 9 cartes à predre parmi les 4 48 restates Doc 48 9 Q O choisit la dame de trèfle, puis lesautres parmi les 1 trèfles restat, soit 1 Efi, les autres parmi 1 9 Par le pricipe multiplicatif, Q Q O otec k : "o a obteu exactemetkcarreaux" Alors o doit calculer le cardial dec 0 C 1 C C, esemble deux à deux disjoits Doc, Correctio de l exercice 7 : MOI : permutatio de lettres deux à deux distictes :! 6 Problème de BOB : o a deux fois la lettreb Eumérosles : BOB, BBO, OBB, soit Pour le faire propremet : o choisit les deux places de la lettre B :, puis la derière lettre est automatiquemet placé, 1 choix O retrouve bie 1 aagrammes Pour les MATHEMA- TIQUES, o place les lettres M, A, E, T puis les derières, H, I, Q, U, S Soit 1! 1! 11! 9! 7! 1!!!!! Correctio de l exercice 8 : !! 9!! 7!!!!! C mais coteat au mois u multiple de C mais coteat aucu multiple de Les multiples desot,10,1,0 AisiC correspod à l esemble des parties de ciq élémets pris das u esemble à élémetsc 17 soit cardc Les multiples de sot,6,9,1,1,18,1 Il y e a7 Soit D mais coteat exactemet u multiple de et E mais coteat exactemet u multiple de O doit calculer cardd E O fait ue partitio de cet esemble : D E mais coteat 1 et aucu autre multiple deet D E1 mais e coteat pas le1 et coteat u multiple deet de cardd E 1 cardd E cardd E D E

8 Idicatios et solutios du TD 1 Correctio de l exercice 9 : 1 La seule chose qui peut poser problème est que les domios et sot les mêmes U domio peut doc être vu comme ue partie de deux chiffres de l esemble 0,,7 lorsque ce est pas u double Le ombre de domios o doubles est doc 7 1 et le ombre de doubles est7 Soit 8 domios totals Le tirage se fait sas remise et successivemet Le résultat obteu, deux domios, est doc ordoé C est à dire que le tirage :, est différet du tirage, O fixe le chiffre pour le premier domio, soit 7 choix Puis il reste 6 domios qui possède le même chiffre que le premier O a7 6 4 tirages de la sorte U résultat est u arragemet de 4 domios pris das l esemble des domios Le ombre de tirages est doca O a7doubles Le ombre de tirages sas double esta Le ombre de tirages possédat au mois u double esta 4 8 A Correctio de l exercice 10 : 1 Il existe mais différetes O utilise l assertio cotraire Soit Soit C l esemble des mais coteat au mois u coeur, D l esemble des mais coteat au mois ue dame cardc D 8 cardc D Parmi les cartes, il existe huit coeurs, quatre dames, dot la dame de coeur D oùcardc D Efi, cardc D mais de la sorte 4 Les mais coteat au plus deux couleurs sot celles : ue uique couleur : choix possibles deux couleurs : 4 6 choix des couleurs Puis, o doit choisir les cartes format la mai SoitA k l esemble des mais coteatkcartes d ue couleur, et 8 k cartes d ue autre couleur Alors, le ombre de mais coteat exactemet deux couleurs est égal à k1 k 4 [ k0 k k ] Par propriété cf DM 10 ; o obtiet : k k 8 k0 8 k Le ombre de mais coteat exactemet deux couleurs est Fialemet, le ombre de mais de la sorte est égale à771 Correctio de l exercice 11 : 1 CardPE etfe,0; 1 Card0; 1 CardF Les deux esembles ot doc même cardial Soiet A et B tels que : ϕa ϕb, c est à dire tels que ½ A ½ B Alors : A B E effet : x A ½ Ax 1 ½ Bx 1 car ½ A ½ B x B O e déduit que ϕ est ijective doc bijective puisque les esembles de départ et d arrivée ot même cardial d après la questio précédete Correctio de l exercice 1 : 1 Nous avos e tout6applicatios surjectives Das cette situatio, pour avoir ue applicatio surjective, u élémety de 1; doit avoir deux atécédetsx 1 etx et tous les autres élémets de 1; e dehors de y doivet e avoir qu u seul Pour déombrer le ombre total de surjectios, o procède doc e suivat les étapes ci-dessous : Choix dey : il y e a Choix de x 1 et x : il s agit de choisir simultaémet que l o tire 1 puis ou puis 1 doera la même applicatio doc il suffit de faire u tirage simultaé deux élémets parmi les + 1 dispoibles, c est à dire : +1 Ue fois x 1, x et y choisis, et puisque tous les autres élémets de 1; e dehors dey doivet avoir qu u seul atécédet, o se ramèe à compter le ombre de bijectios de E 1; + 1 x 1; x vers F 1; y Puisque CardE CardF 1, o obtiet 1! bijectios de E vers F Nous avos doc au fial : +1 Correctio de l exercice 14 : +1 1! +1! 1! surjectios Q 1 O pred boules parmi possibilités U résultat se modélise par u sous-esemble de élémets pris das u esemble de cardial Soit Q O a k possibilités pour les oires et k pour les autres SoitCardA k k k Q Les esembles sot deux à deux disjoits Par coséquet,card k0a k CardA k k0 k0 D autre part, k0a k correspod à l esemble de k k

9 Idicatios et solutios du TD 1 tous les tirages, et so cardial est Q 4 O obtiet k k k0 k k0 Correctio de l exercice 1 : Q 1 u 0 v 0 0; u 1 1a,v 1 1b;u 1ba;v bb,ab;u aba,bba,v abb,bab,bbb Q Si mot de+1lettres fiit par ua, alors lespremières lettres costituet u mot fiissat par u b La réciproque est vraie Doc leurs ombres sot égaux etu +1 v Q Si u mot de + 1 lettres fiit par u b alors les premières lettres costituet u mot fiissat soit par ubsoit par ua La réciproque est vraie Doc leurs ombres sot égaux et v +1 CardV W u +v Q 4 Aisi, v + v +1 + v C est doc ue suite liéaire d ordre O obtiet v [ 1+ 1,u v 1 ] [ 1 ] [ 1+ ] 1 [ 1 Q CardE u +v v 1+v v +1 [ 1 ] +1 ] 1 [ 1+ ] +1