CONCOURS COMMUN 2010

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1 CONCOURS COMMUN DES ECOLES DES MINES D ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathématiques (toutes filières PREMIER PROBLEME Partie I Soit R D et + > D ], [ ], + [ l( o(3 et doc f( o( o( E particulier, f( + o( O e déduit que f est prologeable par cotiuité e e posat f( O pose aussi D D {} ], + [ de sorte que f est maiteat défiie sur D 3 Puisque f admet e u développemet limité d ordre, f est dérivable e De plus, f ( D autre part, f est dérivable sur D e tat que quotiet de foctios dérivables sur D dot le déomiateur e s aule pas sur D et pour D l( + f ( + ( + l( + ( + Maiteat, f est cotiue sur D car dérivable sur D et de plus, f est cotiue e Doc f est cotiue sur D Esuite, f est de classe C sur D e tat que quotiet de foctios de classe C sur D dot le déomiateur e s aule pas sur D Efi, quad ted vers, ( + o( ( f + o( ( + o( + o( E résumé, f est cotiue sur D D {}, f est de classe C sur D f admet ue limite réelle e D après u théorème classique d aalyse, f est de classe C sur D 4 Pour D, f ( k( ( + où k( ( + l( + Pour tout réel de D, ( + > et doc pour tout réel de D, f ( est du sige de k( La foctio k est dérivable sur D ], + [ et pour D, k ( + + l( + l( + La foctio k est strictemet positive sur ], [ et strictemet égative sur ], + [ O e déduit que la foctio k admet e u maimum global strict égal à La foctio k est doc strictemet égative sur D et il e est de même de la foctio f Comme d autre part f (, la foctio f est strictemet égative sur D O e déduit le tableau de variatios de la foctio f http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés

2 + f ( + f 5 a lim f(θ Doc la courbe Γ admet ue brache spirale de poit asymptote le poit O θ + dm f( et doc le poit M( est régulier La tagete e M( est dirigée par le vecteur dθ ( ρ ( u +ρ( v i + j La tagete e M( est la droite passat par (, de coefficiet directeur b Quad θ ted vers par valeurs supérieures, ρ(θ ted vers + La courbe Γ admet doc ue directio asymptotique d agle polaire θ De plus, quad θ ted vers par valeurs supérieures, ρ(θsi(θ + l(θ + si(θ + θ (θ + l(θ + Puisque Y(θ a ue limite réelle quad θ à savoir, o sait que la courbe Γ admet ue droite asymptote Ue équatio de cette droite asymptote est OM v θ ou ecore si( + cos( y ou efi y ta( c Représetatio graphique y ta( PARTIE II 6 La foctio f est cotiue sur le segmet [, ] Doc L est bie défiie 7 Soiet N et t [, ] Alors t et doc 8 Soiet N et [, ] t + t t ( t ( t k ( t ( t ( t + t k P ( ( ( t + t + ( t dt l( + ( t + t dt dt t dt + t dt + ( t dt ( t dt + t + t dt ( t + t dt N ( t, [, ], P ( l( + + t dt http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés

3 9 Soiet N et [, ] R ( ( t + t dt ( t + t dt t dt + t N, [, ], R ( + + t [ ] t + + dt Soiet N et ], ] Q ( ( ( ( P ( N, ], ], Q ( P ( Soit N La foctio g est cotiue sur ], ] De plus, d après les questios 8 et 9, pour ], ], g ( g ( g ( P ( l( + R ( R ( Comme lim + (car N, o a lim g ( g ( O e déduit que la foctio g est cotiue e et fialemet cotiue sur [, ] Maiteat, pour ], ], Q ( f( P ( l( + g ( et d autre part, Q ( f( g ( Doc, pour tout réel [, ], Q ( f( g ( O e déduit que Efi, lim + et doc ( + Q ( L Q ( d f( d g ( d [ ] + g ( d + d ( + ( + lim Q ( L + Soit N Q ( L 4 ( Q 99 ( est ue valeur approchée de L à 4 près PARTIE III 3 f est de classe C sur ], + [ e tat que quotiet de foctios de classe C sur ], + [ dot le déomiateur e s aule pas sur ], + [ 4 Pour tout réel >, f ( l( + ( + et doc pour tout réel > f ( + ( + ( l( + 3 ( + + l( Démotros le résultat par récurrece sur N Puisque >, f l( + ( ( +, le résultat est vrai quad e posat T et a Soit Supposos qu il eiste u polyôme T et u réel a tel que >, f ( T ( ( ( + + a l( + + Alors http ://wwwmaths-fracefr 3 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés

4 f (+ ( T (( + T ((( + + ( + ( + + a ( + + ( + a l( + + T (( + T (( + ( + ( a ( + + ( + a l( + + ( + T ( ( + T ( + a ( + ( ( + a l( + +, et doc f (+ T + ( ( ( a l( où T + X(X+T (X+T +a (X+ est u polyôme à coefficiets réels et a + ( + a est u réel Le résultat est démotré par récurrece 6 Tout d abord a et, a + ( + a Doc N, a (! Esuite, T est à coefficiets etiers et si pour, T est à coefficiets etiers alors X(X + T (X + T + (!(X + est à coefficiets etiers O a motré par récurrece que pour tout, T est à coefficiets etiers 7 Soit N La formule de Leibiz permet d écrire pour tout >, f ( ( k ( ( ( k (l( + (k k ( ( ( + l( + + ( l( +! + + (! ( + k k et o peut predre T (! ( ( l( + + k k ( ( (k ( ( k k + ( ( ( ( (k ( ( ( ( k k ( + k k+! ( k (k! ( k ( k! k!( k! ( + k k+ k k ( + k + ( l( +! +, k k Xk (X + k N, T (! O retrouve e particulier T [(X + + ] X 3X k k Xk (X + k http ://wwwmaths-fracefr 4 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés

5 DEUXIEME PROBLEME PARTIE I t A A et doc t AA A t A A La matrice A vérifie la relatio ( t C C et doc t CC C t C C La matrice C vérifie la relatio ( ( ( ( A I O e déduit que N, A (A I et A + A A A Doc N, A {I, A} et doc N, la matrice A vérifie la relatio ( 3 A A I et doc A est iversible et A A ( i 4 u ( j j et u ( i i Soit alors s la réfleio par rapport à la droite D Vect + j Les vecteurs i + j et i ( i j sot o uls et orthogoau (das R mui du produit scalaire caoique Doc la famille + j, i j est ue base ( orthogoale de R i De plus, u + j j + i i + ( i ( i j s + j et d autre part, u j j ( i ( i i j s j car i ( i j + j Aisi, les edomorphismes u et s coïcidet sur ue base de R et doc u s ( i u est la réfleio par rapport à Vect + j ( ( 5 U U Motros alors par récurrece que N, U U Le résultat est vrai quad Soit Supposos que U U Alors U + U U U U U (+ U Le résultat est démotré par récurrece N, U U Soit N t (U U α t UU α U α Ut U U t (U Doc pour tout N, U vérifie la relatio ( 6 O ote E i,j, i, j les quatre matrices élémetaires de format A+C E, puis t (A+C(A+C 4E, E, 4E, et (A+C t (A+C 4E, E, 4E, Doc, t (A+C(A+C (A + C t (A + C Aisi, les matrices A et C sot das E mais la matrice A + C est pas das E O e déduit que E est pas u sous-espace vectoriel de M (R ( a b 7 Soit M M c d (R ( ( ( ( a c a b a t MM + c ab + cd a b b d c d ab + cd b + d et M t M c d Doc ( a c b d ( a + b ac + bd ac + bd c + d a + c a + b M E ab + cd ac + bd b + d c + d { c b ab + cd ac + bd b c ou { c b b(a d b c ou (b c ou (c b et a d b c ou (c b et a d {( a b E b d } {( a b, b R b a, (a, b R } 8 Aisi, E Vect(E,, E,, E, + E, Vect(I, C Maiteat, Vect(E,, E,, E, + E, S (R et il est cou que (E,, E,, E, +E, est ue base de S (R D autre part, la matrice C est pas ue matrice scalaire et doc (I, C est ue famille libre puis ue base de Vect(I, C E résumé, E est la réuio de S (R dot ue base est (E,, E,, E, + E, et de Vect(I, C dot ue base est (I, C 9 U et C sot das E Maiteat, UC ( ( ( http ://wwwmaths-fracefr 5 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés

6 ( λ E particulier, UC est pas das S (R et d autre part, pour tout λ R, UC λi / Vect(C car λ o e peut avoir à la fois λ et λ E résumé, UC est pas das S (R et UC est pas das Vect(I, C Doc, UC est pas das E E est pas stable pour le produit matriciel PARTIE II S ( i h ( j j, h k et h ( k i Doc S Esuite, les coloes de la matrice S sot uitaires et deu à deu orthogoales Doc S est ue matrice orthogoale puis S est ue matrice orthogoale car (O (R, est u groupe O e déduit que t SS S t S I et t S S S t S I S et S sot das E 3 Soit (a, b, c R 3 E teat compte de t SS S t S I 3, t (ai 3 + bs + cs (ai 3 + bs + cs (ai 3 + b t S + c t S (ai 3 + bs + cs a I 3 + abs + acs + ab t S + b I 3 + bcs + ac t S + bc t S + c I 3 (a + b + c I 3 + (ba + bc(s + t S + ac(s + t S, et (ai 3 + bs + cs t (ai 3 + bs + cs (ai 3 + bs + cs (ai 3 + b t S + c t S a I 3 + ab t S + ac t S + abs + b I 3 + bc t S + acs + bcs + c I 3 (a + b + c I 3 + (ba + bc(s + t S + ac(s + t S Doc, (a, b, c R 3, t (ai 3 + bs + cs (ai 3 + bs + cs (ai 3 + bs + cs t (ai 3 + bs + cs ou ecore (a, b, c R 3, ai 3 + bs + cs E 3 3 Aisi, E 3 cotiet F Vect(I, S, S Vérifios alors que la famille (I, S, S est libre Soit (a, b, c R 3 ai 3 + bs + cs 3 a + b a b c c a b b c a + c a b c 3 Doc la famille (I 3, S, S est libre et o e déduit que dim(f 3 4 S 3 S S I 3 puis S 4 S S 3 S Soit alors (a, b, c, a, b, c R 6 (ai 3 + bs + cs (a I 3 + b S + c S aa I 3 + (ab + ba S + (ac + ca S + (bc + cb S 3 + cc S 4 (aa bc cb I 3 + (ab + ba cc S + (ac + ca S F F Vect(I 3, S, S est stable pour le produit matriciel http ://wwwmaths-fracefr 6 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés

7 PARTIE III 5 t BB B t B a a a a 4 a + a + a + a a + a a + 4 a + 3 a + a + 4 Doc B E 4 (a et a + et a + et a a 6 Si a, B Ker(u B E 4 a Soit e + e + 3 e3 + 4 e4 R et Aisi, Ker(u { ( e + e 3, R } Ker(u est ue droite vectorielle et ue base de Ker(u est ( e + e 3 D après le théorème du rag, dim(im(u dim(r 4 dim(ker(u 4 3 Maiteat, Im(u Vect ( u( e, u( e, u( e 3, u( e 4 Vect ( u( e, u( e, u( e 4 car u( e 3 u( e Comme card ( u( e, u( e, u( e 4 3 dim(im(u, la famille ( u( e, u( e, u( e 4 est ue base de Im(u 7 8 Doc Ue base de Ker(u est ( e + e 3 et ue base de Im(u est ( e e + e 3 + e 4, e + e 4, e + e e 3 + e 4 Doc u ( e + e e 3 e 4 ( e + e e 3 e 4 et u ( e + e 4 ( e + e 4 et u ( e e + e 3 e 4 ( e e + e 3 e 4 9 D après les questios 6, 7 et 8, Mat C (u diag(,,, Les formules de chagemet de bases permettet d écrire Mat B (u PB C Mat C(uP B C ou ecore B P P où P PB C Soit N B Mat B (u PMat C (u P P P Soit p N p diag(, ( p, p, p p diag(, 4, 4, 4 p et doc B p P p P p P P p B Soit p N p+ diag(, ( p+, p+, p+ p diag(,,, p et doc B p+ p P P p B p N, B p p B et p N, B p+ p B http ://wwwmaths-fracefr 7 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés