XVIII. Un devoir par chapitre

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1 XVIII. Un dvoir par chapitr. Enoncés. Etuds d fonctions : rappls t prolongmnts.. En utilisant la méthod la plus fficac, donnr touts ls caractéristiqus ds fonctions suivants t tracr l graphiqu d cs fonctions : a) f() = b) f() = c) f() = Précisr la natur du point =.5 t justifir.. Soit f : R R : f() =. a) Réalisr l'étud complèt d ctt fonction b) Détrminr l'équation d la tangnt au graph d ctt fonction n son point d'absciss = c) Détrminr l'équation d la tangnt au graph d ctt fonction dont la pnt vaut. Calculr ls limits suivants : a) lim. Fonctions cyclométriqus.. Vérifir ls idntités suivants : a) R : sin ( arccot ) = t cos (arccot ) = b) lim 0 tg b) arccot - arctan = arccot. Résoudr l'équation suivant sans utilisr la calculatric: arccos ( ) + arcsin 0. = arctan. En utilisant ls propriétés ds fonctions déduits, tracr l graph ds fonctions suivants (t précisr lur domain t lurs racins) : a) f() = arcsin ( ) b) f() = arccos( ) arctan. Calculr la limit suivant : lim 0 arcsin 5. Un cuv à mazout a la form d'un cylindr couché. L diamètr d c cylindr vaut m t sa longuur m. a) Calculr l volum d mazout rstant lorsqu la hautur dans la cuv st d 0 cm. b) Résoudr l problèm pour un cuv d diamètr r, d longuur l t pour un hautur rstant h.. Fonctions ponntills.. Résoudr ls équations suivants : a) 8 = 0,05 b) + = c) = 000 d) =. Calculr ls limits suivants : a) lim 0 b) lim. Tracr ls graphiqus ds fonctions suivants n ls déduisant ds fonctions d référnc. a) f() =. + b) f() =. Réalisr l'étud complèt d la fonction : f() = 5. Un population d bactéris a un croissanc ponntill. Ctt population st actullmnt au nombr d 8000 unités. En un hur clui-ci st multiplié par,5. 5/07/0 CNDP Erpnt - èm math : un dvoir par chapitr XVIII -

2 a) Eprimr l nombr d bactéris n fonction du tmps. Calculr c nombr après 9h. b) Après combin d tmps approimativmnt, l nombr d bactéris aura-t-il dépassé ls ?. Fonctions logarithmiqus t lurs applications.. Résoudr ls équations suivants : a) = 7 b) (ln ) + ln = + ln c) log - log =. Détrminr l domain d la fonction f() = ln ln ln( ). Détrminr l domain d définition t ls racins ds fonctions suivants. En utilisant ls propriétés ds graphs déduits, tracr l graph d cs fonctions. Vérifir graphiqumnt votr résultat. a) f() = ln b) ln ( ) c) ln ( + ). Réalisr l'étud complèt d la fonction f() = ln 5. En 00, il y avait nviron,8 milliards d'homms sur la trr. On considèr qu la population mondial augmnt d 5% n 5 ans. a) Si c rythm s maintint, qul sra l chiffr d population mondial n 00? b) En combin d'annés un nouvau milliard d'homms s sra-t-il ajouté au précédnts? c) Eprimr la vitss d croissanc instantané d la population mondial. Précisr ctt vitss n Ls liu géométriqus.. Dans un rpèr orthonormé Oy, on considèr l point A (0, ) fi sur Oy Un point M, mobil sur O Un point N, mobil sur Oy, tl qu l'angl AMN, d sommt M, soit droit. On construit l rctangl NOMP On dmand d fair un dssin, d détrminr l'équation du liu d P lorsqu M t N varint, t d rprésntr c liu.. Détrminr t rprésntr l liu ds points P dont l rapport ds distancs à A (, ) t à B (8, ) st égal à. Ls coniqus : crcls llipss hyprbols. Vérifir si l'équation suivant st cll d'un crcl. Si oui, détrminr son cntr t son rayon + y + + y + = 0. Détrminr l'équation du crcl passant par A(, ) t B(, ) t tangnt à la droit d + y = 0. Détrminr ls équations cartésinns ds llipss suivants : a) son cntr st l point (-, /), son grand a msur t un foyr a pour coordonné (, /) b) son cntr st l point (0, 0) t ll comprnd ls points (, ) t (, ). Détrminr ls sommts t ls foyrs d l'llips suivant. Rprésntr. 5 + y - 50 y + 5 = 0 y 5. Détrminr ls équations ds tangnts à l'llips E = 0 5 a) n ss points d'absciss b) parallèls à d + y + 7 = 0. Détrminz l'équation d l'hyprbol dont ls sommts ont pour coordonnés (, 0) t qui pass par l point P(5, ). Précisr ls équations d ss asymptots 7. Détrminr l'a focal, ls coordonnés ds foyrs t clls ds sommts d l'hyprbol suivant. Précisr ls équations d ss asymptots : 9 - y - 8-8y - = 0 8. Détrminr ls valurs d m pour lsqulls la droit y = + m coup l'hyprbol, lui st tangnt ou lui st y tériur. H = 9.7 Ls coniqus : parabols généralisation. Détrminr l'équation d la parabol d foyr F(, ) t d dirctric d = -. P y + = 0 a) tracr ctt courb XVIII - CNDP Erpnt - Un dvoir par chapitr 5/07/0

3 b) détrminr ls équations ds tangnts à P comprnant l point A (, -) c) Qulls sont ls coordonnés ds points d contact?. Rprésntr la parabol suivant. Détrminr son foyr, sa dirctric, son sommt P y + y = 0. Etablir l'équation d'un parabol d'a focal horizontal, dont l sommt s trouv à l'origin t qui pass par l point P(7, -). Détrminr l foyr d ctt parabol t la rprésntr 5. L'cntricité d'un coniqu st égal à.5. Son a focal st horizontal t la distanc focal vaut. Détrminr l'équation d ctt coniqu sachant qu son cntr st l point (, ). La cuvtt d'un antnn-satllit a la form d'un paraboloïd dont l'ouvrtur à son trémité a un diamètr d m t dont la profondur st d 0,9 m. A qull distanc du cntr d la cuvtt doit êtr placé l récptur pour rcvoir la plus grand intnsité d'onds sonors? 7. Un pont d form lliptiqu st situé au-dssus d'un rout. Sa largur à la bas st d 8m t sa hautur d m. m Un transport traordinair a un hautur d m50 Qull st la largur maimal d c convoi pour qu'il puiss passr sous l 8 m pont?.8 Equations paramétriqus d'un courb. Coordonnés polairs.. Dans ls systèms d'équations paramétriqus ci-après, éliminr l paramètr pour obtnir un équation cartésinn d l'nsmbl d points. Précisr d qull courb il s'agit : t cos t a) b) y t y sint. Détrminr ds équations paramétriqus ds courbs dont ls équations suivnt : a) y = 0 b) ( ) + (y ) =.9 Différntills t intégrals définis : notions d bas.. Calculr un approimation d l'air compris ntr la courb y = - + +, l'a ds abscisss t ls racins d ctt fonction n approchant ctt air par un somm d 5 rctangls d largur idntiqu t rprésntr. Calculr nsuit la valur act d ctt air par un calcul intégral t comparr ls valurs obtnus.. Calculr l'air compris ntr la parabol P y = t la droit d'équation y = Calculr l'air compris ntr ls parabols P y = t P y = Primitivs. Calculr ls primitivs suivants : cos. sin d.. d tan d. d ( ) 5. d cos. arctan d d d 9. ( ) ln d 0. d. d =. 5 d =. Applications ds intégrals définis.. Calculr l'air compris ntr la courb y = tan, l'a ds y t la droit y =. Calculr l'air ds surfacs compriss ntr l Crcl d cntr O t d rayon t la parabol y = - + 5/07/0 CNDP Erpnt - èm math : un dvoir par chapitr XVIII -

4 . Etant donné la parabol y = t la droit d y = 5 a) Calculr l'air d la surfac compris ntr cs du courbs. b) Calculr l volum ngndré par la rotation autour d l'a ds d la surfac limité par la parabol, la droit d t la droit vrtical = 5 c) Calculr l volum ngndré par la rotation d ctt mêm surfac autour d la droit = 5. a) Réalisr l'étud complèt d la fonction f() = t tracr son graph. b) Calculr l'air d la région du plan situé ntr l'a ds, l graph d ctt fonction t la droit vrtical comprnant son trémum. c) Calculr l volum ngndré par la rotation autour d l'a ds d ctt surfac. Analys combinatoir Binôm d Nwton.. D combin d manièrs différnts put-on répartir 0 malads a) dans chambrs contnant l'un lits t l'autr lits? b) dans chambrs contnant rspctivmnt, t lits, un malad n trouvant donc pas plac? c) dans chambrs contnant rspctivmnt 5, t lits?. D combin d manièrs put-on organisr 7 analyss médicals sur un patint a) sachant qu'un analys détrminé doit toujours s fair n drnir liu? b) sachant qu analyss doivnt toujours s fair l matin à jun t ls quatr autrs après l déjunr?. a) D combin d manièrs put-on choisir homms parmi 5 pour formr un group d travail? b) D combin d manièrs put-on l fair si un homm détrminé doit êtr inclus dans la sélction? c) Mêm qustion si homms détrminés doivnt êtr clus d la sélction d) Mêm qustion si homms détrminés doivnt êtr clus t un homm détrminé inclus dans la sélction?. a) Combin put-on formr d nombrs d 5 chiffrs distincts pris parmi ls 9 chiffrs significatifs? b) Combin d'ntr u s trminnt par 7? c) Combin d'ntr u commncnt par 7? d) Combin d'ntr u continnnt 8? ) Combin d'ntr u continnnt 7 t 8? f) Combin d'ntr u n continnnt ni 7 ni 8? g) Combin d'ntr u continnnt 7 t pas 8? 5. Combin y a-t-il d plaqus d'automobils différnts formés d trois lttrs t trois chiffrs a) si aucun lttr t aucun chiffr n puvnt vnir plusiurs fois sur un mêm plaqu? b) si ls lttrs t ls chiffrs puvnt s répétr.. Un class comport 9 garçons t fills a) d combin d manièrs l profssur put-il fair un choi d élèvs? b) Combin d cs choi comportnt au moins un fill? c) Combin comportnt actmnt un fill? 7. Calculr ( - ) - ( + ) = 8. Détrminr l(s) trm(s) miliu du dévloppmnt d. Probabilités. y. D'un ju d 5 carts, on tir carts au hasard. Qull st la probabilité d tirr a) carts d séris différnts? ( piqu, trèfl, carrau t cœur) b) carts d'un mêm séri? c) un roi au moins?. Quarant tourists prnnnt plac, par tirag au sort, dans trois véhiculs comptant, t placs. Parmi cs tourists, il y a américains. Qull st la probabilité d trouvr tous ls américains dans l car d placs? 9 XVIII - CNDP Erpnt - Un dvoir par chapitr 5/07/0

5 . On prélèv au hasard chaussurs dans un lot d 0 pairs différnts. Qull st la probabilité pour q'il y ait au moins un pair parmi ls chaussurs choisis?. Un urn contint 0 jtons numérotés d à 0. On tir un jton. Soit l numéro du jton tiré. On considèr ls événmnts A : st divisibl par 5 t B : 5 a) Calculr P(A), P(B) t P(A B) b) Ls événmnts A t B sont-ils indépndants? Pourquoi? 5. Un boît contint trois piècs d monnai; un ds piècs st bin équilibré, un autr st marqué avc du facs t la troisièm st truqué pour qu la probabilité d donnr fac soit égal à /. On choisit un pièc au hasard t on la lanc. a) Calculr la probabilité pour qu l'on obtinn fac. b) Si on a obtnu fac, qull st la probabilité qu l'on ait pris la pièc marqué d facs?. Variabls aléatoirs Lois d probabilités.. On jou avc du dés bin équilibrés. On considèr la variabl aléatoir qui msur la valur absolu d la différnc ds points. Détrminr la fonction d distribution, l'spéranc mathématiqu t l'écart - typ d ctt variabl aléatoir. considérons cinq dés dont ls facs portnt sulmnt ls points ou. A : sulmnt un fac marqué "" B : du facs marqués "" C : trois facs marqués "" D : quatr facs marqués "" E : cinq facs marqués "" Avc l'un d cs dés choisi au hasard, on ffctu un séri d 0 jtés t l point "" st obtnu 8 fois. Qul st l dé qui a l plus vraismblablmnt srvi à réalisr ctt séri?. Un ntrpris fabriqu crtains élémnts qu'll dispos n caisss avant d ls nvoyr au distributur. Clui-ci, n trait 0 au hasard t d manièr indépndant. Dès qu l nombr d'élémnts défctuu cèd unités (st strictmnt supériur à ), l distributur rfus la caiss ntièr. Sachant qu la probabilité qu'un élémnt soit défctuu pour un tirag donné st d 0.05, détrminr la probabilité d rfusr un caiss.. Sachant qu'un comptur placé l long d'un autorout dénombr n moynn 0 passags par minut. Qull st la probabilité qu 0 véhiculs passnt n minuts élèvs ont présnté un concours dont ls résultats sont distribués slon un loi normal d moynn 77 t d'écart typ 0 a) Evalur l nombr d'élèvs dont l résultat st infériur à 0 b) Sachant qu 50 élèvs ont été rfusés, détrminr la cot minimal à obtnir pour êtr accpté..5 Ls nombrs compls.. a) Résoudr l'équation : ( + i) - 5 ( + i) i = 0 b) Détrminr un équation équivalnt à la précédnt dont l cofficint d vaut. Calculr : ( i) 7 ( i) 9. Résoudr : z = - i. Résoudr : z (5 0i) z ( + 0i) = 0 5. Démontrr qu dans l plan d Gauss, divisr un nombr compl z par i rvint à appliqur à z un rotation d'amplitud - 5/07/0 CNDP Erpnt - èm math : un dvoir par chapitr XVIII - 5

6 . Qulqus élémnts d solution. Etuds d fonctions : rappls t prolongmnts.. a) f() = : dom f : ]-, ] [, + [ Racins :, AO : y =.5 n + t y = n - Utilisr la calculatric graphiqu pour vérifir l graph obtnu. b) f() = déduir l graph d clui d g() = + Donc f() admt ds AV n = t n = t un maimum au point (.5, - ) c) f() = : si >.5 alors f() = t si <.5 alors f() = L graph put alors êtr obtnu par ls graphs associés. a) Soit f : R R : f() =. dom f : ]-, -] [+ [ racins : Aucun asymptot f ' () = f " () = ( ( ) ) f ' / / / / / / / / / f " / / / / / / / / / Graphiqu à vérifir à l'aid d la calculatric graphiqu ou d'un logicil tl qu géogébra b) tangnt comprnant l point du graph d'absciss : t 5 y + 7 = 0 c) Tangnts d pnt = t y + 8 = 0 t y - 8 = 0. a) 8 9 b) 0 t y = 0 t y = 0. Fonctions cyclométriqus.. /. = + 5. Tracr succssivmnt ls graphs ds fonctions : a) f () = arcsin f () = arcsin ( + ) f () = arcsin ( ) f () = arcsin ( ) f 5 () = - arcsin ( ) f () = arcsin ( ) b) f () = arccos f () = arcos ( + ) f () = arcos ( ) f () = - arcos ( ) f 5 () = arcos ( ) f ()= f() = arccos( ) arccos( ) Vérifir ls graphiqus à l'aid d la calculatric graphiqu ou d'un logicil tl qu géogébra a) V 5 litrs b)r arcos h hr h r. Fonctions ponntills.. a) =. a) b) b) = - c) = d) = lim f() = + t lim f() = XVIII - CNDP Erpnt - Un dvoir par chapitr 5/07/0

7 . Tracr succssivmnt ls graphs ds fonctions : a) f () = f () = + f () = f () =. f () =. + b) f () = f () = - f () = - - f () = - - f 5 () = Vérifir ls graphiqus à l'aid d la calculatric graphiqu ou d'un logicil tl qu géogébra. f() = dom f = R 0 Racins : / AV : = 0 ( lim f () AH n : y = 0. pas d'ah ni AO n + f ' () = ( ) 0 f ' - / f " - / Min (, ). f " () = 0 ( = - t lim f () ) 0 = + ) Vérifir l graphiqu à l'aid d la calculatric graphiqu ou d'un logicil tl qu géogébra 5. a) N(t) = t N (9) = 0757 b) au bout d à 7 hurs f()=. Fonctions logarithmiqus t lurs applications.. a) = 0 ou = log 5 5 = b) CE : > 0 Sol : y + y - =0 y =,- = ou = - c) CE > 0 t Sol : = ou =.,. a) dom f : R 0 ; rac.: = b) dom f :, [ ; rac : = 0 c) dom f : R \{ } ; rac : = 0 t = - Graphs t vérifications graphiqus : utilisr la calculatric ou l logicil géogébra.. Dom f : R 0 /{} AH : / AO : / AV : = (ln ) ln ln f '() = f " () = (ln ) (ln ) Pour la suit d la solution : vérifir à l'aid d géogébra ou d la calculatric graphiqu 5. a) hab. b) n, ans c) hab/an.5 Ls liu géométriqus.. y = - c. à d. un parabol d sommt (0, 0) à clur du liu. Un crcl d cntr (0, 5) t d rayon 5. Ls coniqus : crcls llipss hyprbols. C (-, - ) R = 7 5. C y t C ( ) + (y ) = 0. a) E. E ( ) ( 5) (y ) = b) E y = 0 0 (y ) = C (5, ) Sommts : (7, ) (, ) (5, 7) (5, -) Foyrs : (5, ) 5 5/07/0 CNDP Erpnt - èm math : un dvoir par chapitr XVIII - 7

8 5. a) t y + 5 = 0 t y + 5 = 0 b) t y = 7. 5 t y = 7. 5 y. H Asymptots : y = 9 9 ( ) (y ) 7. H 9 a focal // o Cntr : (, -) F (, -) Sommts : (, -) t (-, -) Asymptot obliqu : y + = ( ) 8. Si m = 5 alors, la droit st tangnt à l'hyprbol. Si m < - 5 ou m > 5 alors la droit coup l'hyprbol n points. Si - 5 < m < 5 alors la droit n'a pas d point d'intrsction avc l'hyprbol..7 Ls coniqus : parabols généralisation. (y ) = 8 ( + ). t y - + = 0 t t y + - = 0 Points d contact : (-, -) t (-, ). P (y + ) = ( ) S (, -) F (, -) t dirctric : d = 0. y 9 = 7 9 foyr :, ( ) (y ) 5..5 cm 7. Il faut qu la largur du convoi soit infériur à m. m.8 Equations paramétriqus d'un courb. Coordonnés polairs.. a) la droit d'équation y = y b) Un llips d'équation : 9 t cos t. a) b) y t y sin t t [0, ].9 Différntills t intégrals définis : notions d bas.. Approimation :.5 unités d'air Valur act :..5 unités d'air. 7 unités d'air 5 unités d'air.0 Primitivs. cos. + C. ln sin + C C 5.. tan + ln cos + C. (arctan ) + C + C 7. arcsin + C 8. ( ) C. ln - + arctan + C + C 9 XVIII - 8 CNDP Erpnt - Un dvoir par chapitr 5/07/0

9 . ln + + arctg + C ln ln + + ln - + C. Applications ds intégrals définis.. ln unités d'air. 9,8 unités d'air t du partis d'air unités. a).5 unités d'air b) 0 ( ) unités d volum c).5 unités d volum 5. a) cfr géogébra b) - 0. unités d'air c) 5.08 unités d volum. Analys combinatoir Binôm d Nwton.. 0 b) 00 c) 50. a) 70 b). a) 55 b) 9 c) 8 d). a) 5 0 b) 0 c) 80 d) 8 00 ) 00 f) 50 g) b) b) 9 c) t = y t 5 = - 8 y 5. Probabilités. C. a) = 0.05 b) C C 5 5 = 0.0 c) C = 0.8 C,,. = P = , A = P 7 P(A) = A / = a) P(A) = /0 = /5 P(B) = 5/0 = ¼ P(A B) = /5 b) oui car P(A B) = P(A) 5. a) = 8 b). Variabls aléatoirs Lois d probabilités.. E(X) = 5 8 =.9 V(X) =.05 (X) =. 5/07/0 CNDP Erpnt - èm math : un dvoir par chapitr XVIII - 9

10 . P(avoir 8 fois ) vaut rspctivmnt a) b) 0.79 c) 0.0 d) 9,8 0 - t ) slon qu l'on a l dé A, B, C ou D. L dé B st clui qui a la plus grand probabilité d donnr 8 fois l résultat "" a) élèvs b) cot minimal : Ls nombrs compls.. a) = i t = + I b) i = 0.. z = cis z = 5 cis z = cis. z = i z = - + I z = i z = - + i 5. Utilisr l'écritur trigonométriqu ds nombrs compls t la formul d Moivr. z = cis XVIII - 0 CNDP Erpnt - Un dvoir par chapitr 5/07/0