Coordonnées d un vecteur

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1 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Généralités Coordonnées d un vecteur Généralités Définition Pour tout vecteur u, il existe deux réels α et β tel que ( u = α i + β j appelés coordonnées de u dans la base i, j). On ( ) α note alors u. β

2 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Généralités Coordonnées d un vecteur Généralités Définition Pour tout vecteur u, il existe deux réels α et β tel que ( u = α i + β j appelés coordonnées de u dans la base i, j). On ( ) α note alors u. β Ces coordonnées correspondent aux coordonnées du point M tel que u = OM.

3 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Généralités Coordonnées d un vecteur Généralités Exemple β 2 1 j OM M u α i β j 1 0 i α

4 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Coordonnées d un vecteur défini par deux points Coordonnées d un vecteur Généralités Soit A (x A, y A ) et B (x B, y B ), les coordonnées de ( ) AB sont xb x AB A y B y A

5 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Coordonnées d un vecteur défini par deux points Coordonnées d un vecteur Généralités Exemple 2 Soit A (3, 1) et B (2, 1), les coordonnées de AB sont ( 1 AB 2 ) 1 B AB A

6 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Normes d un vecteurs Coordonnées d un vecteur Généralités ( ) α Soit u, la norme du vecteur u, notée u est donné par : β u = α 2 + β 2

7 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Normes d un vecteurs Coordonnées d un vecteur Généralités ( ) α Soit u, la norme du vecteur u, notée u est donné par : β u = α 2 + β 2 Soit A (x A, y A ) et B (x B, y B ), la norme du vecteur AB, est donné par : AB = AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2

8 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Normes d un vecteurs Coordonnées d un vecteur Généralités Exemple 3 Soit A (3, 1) et B (2, 1), les coordonnées de AB sont ( 1 AB 2 ) 1 B AB A On a : AB = AB = ( 1) = 5

9 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Égalités Égalités ( ) ( α α Deux vecteurs u et v β β s ils ont les mêmes coordonnées : u ( α β ) = v ( α β ) sont égaux si et seulement ) { α = α β = β

10 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Combinaison Combinaison Soit deux vecteurs ( u et ) v on a : kα k R, k u. kβ

11 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Combinaison Combinaison Soit deux vecteurs ( u et ) v on a : kα k R, k u. kβ ( ) α + α u + v β + β.

12 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Combinaison Combinaison Soit deux vecteurs ( u et ) v on a : kα k R, k u. kβ ( ) α + α u + v β + β. Exemple 3 ( ) 2 On considère les vecteurs u et v 1 ( ) ( ) 6 1 donc :3 u et u + v. 3 3 ( 3 2 ). On a

13 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Colinéarité Colinéarité ( ) ( ) α α Soient u et v β β deux vecteurs non nuls. Ces deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles :

14 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Colinéarité Colinéarité ( ) ( ) α α Soient u et v β β deux vecteurs non nuls. Ces deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles ( ) ( : ) α α u et v β β colinéaires si et seulement si αβ = βα ( αβ βα = 0).

15 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Colinéarité Colinéarité ( ) ( ) α α Soient u et v β β deux vecteurs non nuls. Ces deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles ( ) ( : ) α α u et v β β colinéaires si et seulement si αβ = βα ( αβ βα = 0). Exemple 4 On considère les vecteurs u sont colinéaires. ( 3 1 ) et v ( 9 3 ). Les vecteurs

16 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Vecteur directeur Équation de droite Vecteur directeur Définition Soit une droite (D), et deux points A et B distincts de (D),le vecteur AB est appelé vecteur directeur de (D).

17 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Vecteur directeur Équation de droite Vecteur directeur Définition Soit une droite (D), et deux points A et B distincts de (D),le vecteur AB est appelé vecteur directeur de (D). Remarque :Il n y a évidement pas unicité du vecteur directeur.

18 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Vecteur directeur Équation de droite Vecteur directeur Définition Soit une droite (D), et deux points A et B distincts de (D),le vecteur AB est appelé vecteur directeur de (D). Remarque :Il n y a évidement pas unicité du vecteur directeur. Exemple 5 Pour d : y = 2x 3, les points A(2, 1) et B( 1, 5) appartiennent à d. Le vecteur ( ) 3 AB est un vecteur directeur de la droite d. 6

19 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Vecteur directeur Équation de droite La droite (D) ( passant ) par un point A et ayant pour vecteur α directeur u admet pour équation cartésienne : β β (x x A ) α (y y A ) = 0

20 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Vecteur directeur Équation de droite La droite (D) ( passant ) par un point A et ayant pour vecteur α directeur u admet pour équation cartésienne : β β (x x A ) α (y y A ) = 0 Exemple 6 ( ) 4 On considère le point A (2, 3) et le vecteur u. On note d 1 la droite passant par A et ayant u pour vecteur directeur. L équation cartésienne de d est : x + 4y + 10 = 0.

21 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Vecteur directeur Équation de droite La droite (D) d équation réduite ( : y ) = mx + p, admet pour 1 vecteur directeur le vecteur u. m

22 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Vecteur directeur Équation de droite La droite (D) d équation réduite ( : y ) = mx + p, admet pour 1 vecteur directeur le vecteur u. m La droite (D) d équation cartésienne ( : ax + ) by + c = 0, admet b pour vecteur directeur le vecteur u. a

23 Coordonnées d un vecteur Équation de droite Vecteur directeur Équation de droite La droite (D) d équation réduite ( : y ) = mx + p, admet pour 1 vecteur directeur le vecteur u. m La droite (D) d équation cartésienne ( : ax + ) by + c = 0, admet b pour vecteur directeur le vecteur u. a Exemple 7 Soit d 1 : y = 3x ) + 2, la droite d 1 admet pour vecteur directeur le ( 1 vecteur u 1. Soit d 3 2 : 3x + 2y = 5, la droite d 2 admet pour ( ) 2 vecteur directeur le vecteur u 2. 3

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