VECTEURS (1 ère partie)

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1 VETEURS (1 ère partie) 1 sur 7 I. Translation Exemple 80m Une translation est un glissement - avec une direction donnée câble du téléphérique, la droite (), T T - avec un sens donné le téléphérique monte de vers, - avec une longueur donnée 80m, longueur On dit que Le téléphérique T est l image du téléphérique T par la translation qui transforme en. éfinition Soit P et P deux points distincts du plan. On appelle translation qui envoie P sur P la transformation dont l image F d une figure F est obtenue en faisant glisser la figure F - selon la direction de la droite (PP ), - dans le sens de P vers P, - d une longueur égale à PP. F F P P http//lesmathsavecmmeedet.weebly.com 2GT hapitre 5

2 2 sur 7 Méthode onstruire l image d une figure par une translation Vidéo https//youtu.be/8jb9cmoeysk Soit t la translation qui transforme en. onstruire l image E du trapèze E par la translation t. II. Vecteurs 1. éfinition éfinition Soit t la translation qui envoie sur, sur et sur. Les couples de points ( ; ), ( ; ) et ( ; ) définissent un vecteur caractérisé par - une direction celle de la droite ( ), - un sens de vers, - une longueur la longueur. On note u On dit que ' ' et ' ce vecteur et on écrit u = '. est un représentant de u. sont également des représentants de u. Remarque La longueur d un vecteur est aussi appelée la norme du vecteur. http//lesmathsavecmmeedet.weebly.com 2GT hapitre 5

3 3 sur 7 «vecteur» vient du latin «vehere» (conduire, transporter) Le mot a été introduit en 1925 et la notation en l origine des vecteurs, un italien, Giusto ellavitis ( ) qui les désignait comme segments équipollents. 2. Egalité de vecteurs éfinition Les vecteurs même longueur. On note =. et Exemple i-dessous, on peut poser u = =. et sont des représentants du vecteur u. sont égaux lorsqu ils ont même direction, même sens et Propriété du parallélogramme Soit,, et quatre points deux à deux distincts. ire que les vecteurs et sont égaux revient à dire que le quadrilatère est un parallélogramme, éventuellement aplati. émonstration - Si =, la translation de vecteur transforme le point en. Les segments [] et [] ont donc même longueur et même direction. Le quadrilatère non croisé est donc un parallélogramme éventuellement aplati. - Réciproquement Les côtés opposés d un parallélogramme sont parallèles et de même longueur donc les vecteurs et, définis à l aide des segments [] et [] d un parallélogramme, sont égaux. http//lesmathsavecmmeedet.weebly.com 2GT hapitre 5

4 4 sur 7 Méthode onstruire un point défini à partir de vecteurs Vidéo https//youtu.be/zcqpz4dfnn0 partir du parallélogramme, construire les points E, F, G et H tels que E = F = G = H = Propriété du milieu ire que est le milieu du segment [] revient à dire que et sont égaux. 3. Vecteur nul éfinition Un vecteur est nul lorsque les points et sont confondus. On note = 0. Remarque Pour tout point M, on a MM = Vecteurs opposés Il ne faut pas confondre sens et direction! Une droite définit une direction, ci-dessous la direction de la droite (). ependant une direction possède deux sens, ici de «vers» ou de «vers». http//lesmathsavecmmeedet.weebly.com 2GT hapitre 5

5 5 sur 7 éfinition eux vecteurs sont opposés lorsqu ils ont la même direction, la même longueur et qu ils sont de sens contraire. et sont des vecteurs opposés. = - On note III. Somme de vecteurs 1. éfinition Exemple Soit t 1 la translation de vecteur u et t 2 est la translation de vecteur v. ppliquer la translation t 1 puis la translation t 2 t 1 t 2 M M 1 M 2 revient à appliquer la translation t de vecteur w t M M 2 Propriété La composée (ou l enchaînement) de deux translations est une translation. éfinition u et v sont deux vecteurs quelconques. On appelle somme des vecteurs u et v, notée u + v translation composée des translations de vecteurs u, le vecteur w associé à la et v. http//lesmathsavecmmeedet.weebly.com 2GT hapitre 5

6 2. Une relation fondamentale 6 sur 7 La relation de hasles Pour tous points, et du plan, on a = +. Remarque ans le triangle, on a également les relations = = + +. Michel hasles (Fr, ) La relation n est pas de lui, mais nommée ainsi en hommage à ses travaux sur les vecteurs. Homme naïf, on raconte qu il fut ruiné en achetant de fausses lettres (Jeanne d arc à sa mère, Vercingétorix à ésar, )! Méthode ppliquer la relation de hasles Vidéo https//youtu.be/fbvrdyiy0qc Simplifier les écritures a) M + MN d) MN + NM b) MP + M e) MO + PM + OP c) OP + KO + NK f) KN ON + OK http//lesmathsavecmmeedet.weebly.com 2GT hapitre 5

7 3. onséquence 7 sur 7 Propriété caractéristique du parallélogramme ire que est un parallélogramme revient à dire que = +, émonstration après la relation de hasles, l égalité + = + soit =, soit encore est un parallélogramme. = + peut s écrire 4. ifférence de deux vecteurs éfinition u et v sont deux vecteurs quelconques. On appelle différence du vecteur u avec le vecteur v, le vecteur noté u que u - v = u + (- v ). - v, tel Méthode onstruire un point défini à partir d une somme de vecteurs Vidéo https//youtu.be/nzuzfm6p8 Soit un triangle. onstruire le point F tel que F = + http//lesmathsavecmmeedet.weebly.com 2GT hapitre 5

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