ACP Exemple : Fromages

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1 M2 EBE AgroParisTech DYST ACP Exemple : Fromages Données On s intéresse à la valeur nutritionnelle des 25 fromages les plus courants. Pour cela, 9 teneurs ainsi que le rapport entre 2 d entre elles sont mesurés : la teneur en calories (en kcal pour 100 g de fromage), les teneurs en sodium, calcium, cholestérol et magnésium (en mg pour 100 g), les teneurs en rétinol et folates (en µg pour 100 kcal), les teneurs en lipides et protéines (en g pour 100 g), et le rapport protéines sur lipides. Voici un extrait des données : > head(fromages) Fromages calories sodium calcium lipides retinol 1 Carre de l Est Babybel Beaufort Bleu Camembert 40% Cantal folates proteines cholesterol magnesium proteines.lipides L analyse en composantes principales sera effectuée avec toutes les teneurs comme variables actives et le rapport "protéines/lipides" comme variable illustrative. Effets du centrage et de la réduction sur le nuage des individus Le nuage des individus est représenté dans le plan rétinol-protéines. Voir Figures 1 et 2. Statistiques élémentaires > summary(fromages) Fromages calories sodium calcium lipides Babybel : 1 Min. :206.0 Min. : 60.0 Min. : 72.6 Min. :18.50 Beaufort : 1 1st Qu.: st Qu.: st Qu.: st Qu.:24.70 Bleu : 1 Median :327.0 Median :238.0 Median :209.8 Median :27.50 Camembert 40% : 1 Mean :331.8 Mean :236.5 Mean :194.1 Mean :27.02 Cantal : 1 3rd Qu.: rd Qu.: rd Qu.: rd Qu.:29.30 Carre de l Est: 1 Max. :406.0 Max. :432.0 Max. :334.6 Max. :33.30 (Other) :19 1

2 Figure 1 Effets des opérations de centrage sur le nuage des individus. Figure 2 Effets des opérations de réduction sur le nuage des individus. retinol folates proteines cholesterol magnesium proteines.lipides Min. : Min. : 1.20 Min. :11.10 Min. : 50.0 Min. :13.00 Min. : st Qu.: st Qu.: st Qu.: st Qu.: st Qu.: st Qu.:0.700 Median : Median : 6.20 Median :21.80 Median : 80.0 Median :27.00 Median :0.800 Mean : Mean :12.46 Mean :22.24 Mean : 83.6 Mean :29.48 Mean : rd Qu.: rd Qu.: rd Qu.: rd Qu.: rd Qu.: rd Qu.:0.900 Max. : Max. :36.40 Max. :35.70 Max. :120.0 Max. :51.00 Max. :1.300 Matrice des corrélations calories sodium calcium lipides retinol folates calories sodium calcium lipides retinol folates proteines cholesterol magnesium

3 proteines cholesterol magnesium calories sodium calcium lipides retinol folates proteines cholesterol magnesium Résultats de l ACP Valeurs propres eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance comp comp comp comp comp comp comp comp comp Le choix du nombre de composantes principales s appuie parfois sur l éboulis des valeurs propres (Figure 3). Figure 3 Eboulis des valeurs propres. 3

4 Résultats sur les variables dans le premier plan factoriel (voir Figure 4) Figure 4 Cercle de corrélations des variables sur le premier plan factoriel. Coordonnées Dim.1 Dim.2 calories sodium calcium lipides retinol folates proteines cholesterol magnesium Cosinus carrés Dim.1 Dim.2 calories sodium calcium lipides retinol folates proteines cholesterol magnesium Contributions calories sodium calcium

5 lipides retinol folates proteines cholesterol magnesium Résultats sur les individus dans le premier plan factoriel (voir Figure 5) Figure 5 Représentation des individus sur le premier plan factoriel. Coordonnées Fromages Dim.1 Dim.2 1 Carre de l Est Babybel Beaufort Bleu Camembert 40% Cantal Cosinus carrés Fromages Dim.1 Dim.2 1 Carre de l Est e Babybel e Beaufort e Bleu e Camembert 40% e Cantal e Contributions Fromages Dim.1 Dim.2 1 Carre de l Est e Babybel e Beaufort e

6 4 Bleu e Camembert 40% e Cantal e

7 Code Source R ## Importation des données fromages <- read.table(file="fromages.csv", header=t, sep=";") head(fromages) attach(fromages) ## Centrage et réduction par(mfrow=c(1,2)) # Centrage plot(retinol,proteines,xlim=c(-40,160),ylim=c(-20,40),xlab="données brutes",ylab="") points(x=mean(retinol),y=mean(proteines),col="red",pch=15,cex=1.5) plot(retinol-mean(retinol),proteines-mean(proteines),xlim=c(-40,160),ylim=c(-20,40),xlab="données centrées",ylab="") points(x=0,y=0,col="red",pch=15,cex=1.5) # Réduction plot(retinol-mean(retinol),proteines-mean(proteines),xlim=c(-40,160),ylim=c(-20,40),xlab="données centrées",ylab="") points(x=0,y=0,col="red",pch=15,cex=1.5) plot((retinol-mean(retinol))/sd(retinol),(proteines-mean(proteines))/sd(proteines),xlim=c(-40,160),ylim=c(-20,40),xlab="données points(x=0,y=0,col="red",pch=15,cex=1.5) ## Statistiques élémentaires summary(fromages) cor(fromages[,c(-1,-11)]) ## ACP library(factominer) res <- PCA(fromages[,-c(11)],quali.sup=1) # Valeurs propres res$eig par(mfrow=c(1,1)) barplot(res$eig[,1],names="valeurs propres",names.arg=paste("dim",1:nrow(res$eig))) # Variables plot.pca(res,choix="var") res$var$coord[,1:2] res$var$cos2[,1:2] res$var$contrib[,1:2] # Individus plot.pca(res,choix="ind",label="quali",col.quali="black") head(cbind(fromages,res$ind$coord[,1:2])[,c(1,12,13)]) head(cbind(fromages,res$ind$cos2[,1:2])[,c(1,12,13)]) 7

8 head(cbind(fromages,res$ind$contrib[,1:2])[,c(1,12,13)]) 8