Annales Mathématiques Bac 2016 Sujets + Corrigés - Alain Piller Amérique du Nord BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2016 MATHÉMATIQUES

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1 Corrigé Exercice

2 Sujets Bac Maths Aales Mathématiques Bac Sujets + Corrigés - Alai Piller Amérique du Nord BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Aales Bac Maths SESSION MATHÉMATIQUES Série S Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité Durée de l épreuve : heures Coefficiet : 9 S PÉCIALITÉ Ce sujet comporte 7 pages umérotées de /7 à 7/7 Les calculatrices électroiques de poche sot autorisées coformémet à la circulaire 99-8 du ovembre 999 Le sujet est composé de exercices idépedats Le cadidat doit traiter tous les exercices Das chaque exercice, le cadidat peut admettre u résultat précédemmet doé das le texte pour aborder les questios suivates, à coditio de l idiquer clairemet sur la copie Le cadidat est ivité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même icomplète ou o fructueuse, qu il aura développée Il est rappelé que la qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets serot prises e compte das l appréciatio de la copie MASCSAN Page /7 alaipillerfr Bac Maths Corrigés Bac Maths

3 aales maths bac s Amérique du Nord - Bac - Maths - - Série S sujets, corrigés, s EXERCICE (5 poits ) (Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité) O dispose de deux ures U et V coteat chacue deux boules Au départ, l ure U cotiet deux boules blaches et l ure V cotiet deux boules oires O effectue des tirages successifs das ces ures de la faço suivate : chaque tirage cosiste à redre au hasard, de maière simultaée, ue boule das chaque ure et à la mettre das l autre ure Pour tout etier aturel o ul, o ote X la variable aléatoire égale au ombre de boules blaches que cotiet l ure U à la fi du -ième tirage ) a) Traduire par ue phrase la probabilité P (X=) (X + = ) puis détermier les probabilités coditioelles suivates : P (X=) (X + = ),P (X=) (X + = ) et P (X=) (X + = ) b) Exprimer P (X + = ) e foctio de P (X = ),P(X = ) et P (X = ) ) Pour tout etier aturel o ul, o ote R la matrice lige défiie par : R = ( P (X = ) P (X = ) P (X = ) ) et o cosidère M la matrice O ote R la matrice lige ( ) O admettra par la suite que, pour tout etier aturel, R + = R M Détermier R et justifier que, pour tout etier aturel, R = R M ) O admet que M = P D P avec : P =, D = et P = Établir que, pour tout etier aturel, M = P D P O admettra que, pour tout etier aturel, D = ( ) ) a) Calculer D P e foctio de ( ) b) Sachat que R P =, détermier les coefficiets de R e foctio de 5) Détermier lim P (X = ), + Iterpréter ces résultats lim P (X = ) et + lim P (X = ) + baccalauréat maths alaipillerfr Page 7 / 7 aales maths bac s corrigés

4 EXERCICE [ Amérique du Nord ] a a Traductio par ue phrase de P ( X = ): ( X = ) + Il s agit de la probabilité que: l ure U cotiee Boule Blache ( BB ) à la fi du ( + )-ème tirage sachat qu elle coteait BB à la fi du -ème tirage a a Calculos P ( X = ) ( X + = ): Il s agit de la probabilité que l ure U cotiee BB à la fi du ( + )-ème tirage sachat qu elle coteait BB à la fi du -ème tirage Doc à la fi du -ème tirage, l ure V cotiet BB et par coséquet, au ( + )-ème tirage, elle e perdra ue qui se retrouvera forcémet das l ure U Aisi: P ( X = ) = ( X = ) + a a Calculos P ( X = ) ( X + = ): Il s agit de la probabilité que l ure U cotiee BB à la fi du ( + )-ème tirage sachat qu elle coteait BB à la fi du -ème tirage Doc à la fi du -ème tirage, les ures U et V cotieet chacue BB et Boule Noire ( BN ) Par coséquet, au ( + )-ème tirage, il y a chaces sur pour que cette situatio reste ichagée alaipiller fr

5 Aisi: P ( X = ) ( X + = ) = => P ( X = ) ( X + = ) = a a Calculos P ( X = ): ( X = ) + Il s agit de la probabilité que l ure U cotiee BB à la fi du ( + )-ème tirage sachat qu elle coteait BB à la fi du -ème tirage Doc à la fi du -ème tirage, l ure V cotiet BN et par coséquet, au ( + )-ème tirage, elle e perdra ue qui se retrouvera forcémet das l ure U Aisi: P ( X = ) = ( X = ) + b Exprimos P ( X + = ) e foctio de P ( X = ), P ( X = ) et P ( X = ): L évéemet: ( X + = ) = [ ( X + = ) ( X = ) ] [( X + = ) ( X = ) ] [ ( X + = ) ( X = ) ] D où: P ( X + = ) = P ( X + = ) ( X = ) + P ( ( X + = ) ( X = ) ) + P ( ( X + = ) ( X = ) ) => P ( X + = ) = x P ( X = ) + Au total: P ( X + = ) = P ( X = ) + a Détermios R : D après l éocé: R + = R x M = [ P ( X = ) ( X + = ) ] x P ( X = ) + [ P ( X = ) ( X + = ) ] x P ( X = ) + [ P ( X = ) ( X + = ) ] x P ( X = ) x P ( X = ) + x P ( X = ) x P ( X = ) + P ( X = ) alaipiller fr

6 Das ces coditios: R = R x M D où: R = ( ) Au total: R = ( ) => R = ( ) b Motros que pour tout etier aturel, R = R x M : Nous allos aisi motrer par récurrece que: " pour tout etier aturel : R = R x M " Iitialisatio: R = R x M <=> R = R Doc vrai au rag " " R = R x M <=> R = ( ) => R = ( ) Or R = ( ) Doc vrai au rag " " Hérédité: Supposos que pour tout etier aturel, R = R x M et motros qu alors: R + = R x M + Supposos: R = R x M, pour tout etier aturel ( ) ( ) => R x M = R x M x M => R x M = R x M + alaipiller fr

7 => R + = R x M + Coclusio: Pour tout etier aturel, ous avos: R = R x M Établissos que pour tout etier aturel, M = P x D x P - : Nous allos aisi motrer par récurrece que: " pour tout etier aturel : M = P x D x P - " Iitialisatio: M = P x D x P -? P x D x P - = P x I x P - = P x P - = I Or M = I Doc vrai au rag " " M = P x D x P -? P x D x P - = - - x - x - - = - - x - - alaipiller fr

8 5 = Or M = M <=> M = Doc vrai au rag " " Hérédité: Supposos que pour tout etier aturel, M = P x D x P - et motros qu alors: M + = P x D + x P - Supposos: M = P x D x P -, pour tout etier aturel ( ) ( ) => M x M = P x D x P - x M => M + = P x D x P - x P x D x P - => M + = P x D x ( P - x P ) x D x P - => M + = P x D x I x D x P - => M + = P x D x D x P - => M + = P x D + x P - Coclusio: Pour tout etier aturel, ous avos: M = P x D x P - alaipiller fr

9 a Calculos D x P - e foctio de : - - D x P - = x x - - = - - x - - Au total: D x P - = A b Détermios les coefficiets de R e foctio de : D après la questio, R = R x M D où: R = R x M <=> R = R x P x D x P - <=> R = ( ) x - - x A => R = alaipiller fr

10 Au total: les coefficiets de R sot respectivemet 7 a = b = - c = , avec: R = ( a b c ) 5 a Détermios les limites de a, b et c: lim a g + = lim g lim b g + = car: = lim g ı ] - ; [ - + lim c g + = car: = lim g + - ı ] - ; [ - + = car: - ı ] - ; [ Au total: lim P ( X = ) = lim a g + g + =, lim P ( X = ) = lim b g + g + =, alaipiller fr

11 lim P ( X = ) = lim c g + g + 8 = 5 b Iterprétatio des résultats: Les résultats idiquet qu au bout d u très grad ombre de tirages: il y a ue chace sur six d avoir BB das l ure U, il y a deux chaces sur six d avoir BB das l ure U, il y a ue chace sur six d avoir BB das l ure U alaipiller fr

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