Bruit dans les quadripôles
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- Ernest Lecours
- il y a 6 ans
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1 CHAITRE 6 Bruit dan l quadripôl 6. - Introduction factur d bruit t la tmpératur d bruit ont l caractéritiqu l plu utilié pour donnr un dcription xtrn du bruit dan un quadripôl. Dan c chapitr, nou définion c dux notion t nou montron lur intérêt. ou établiron commnt on put calculr l factur d bruit d'un quadripôl, n modéliant ourc d bruit intrn par dux ourc d bruit xtrn. Enfin, nou vrron commnt appliqur ctt théori dan un circuit pouvant êtr conidéré comm l'aociation d quadripôl ain n puianc dan l quadripôl ain n puianc gain n puianc d'un quadripôl t défini comm étant l rapport ntr la puianc moynn à la orti du quadripôl t la puianc moynn à l'ntré du quadripôl : Rpréntation impédanc p (6.) paramètr caractéritiqu d'un quadripôl n rpréntation impédanc ont rporté ur la figur 6.. ou avon : Z. I + Z. I (6.) Z. I + Z. I (6.3) Z. I (6.4) na irr OVI
2 46 Bruit dan l quadripôl E Z. I (6.5) I I E Z Z Z Z I Z I Z Fig Rpréntation impédanc. gain n puianc t donné par : p R Z. R Z 'impédanc d'ntré 'obtint à partir d rlation (6.3), (6.4) t (6.5) : Z Z. Z + Z I Z + Z gain n tnion déduit d rlation (6.3), (6.4) t (6.7) : Z. Z Z. Z Z ( + ) Z. Z Z. Z + Z (6.6) (6.7) (6.8) Avc : Z Z. Z Z. Z (6.9) ou obtnon finalmnt : Z.R Z (6.0) Z + Z.R Z Rpréntation admittanc paramètr caractéritiqu d'un quadripôl n rpréntation admittanc ont rporté ur la figur 6.. irr OVI na
3 ain n puianc dan l quadripôl 47 I I I Fig Rpréntation admittanc. ou avon : I. +. (6.) I. +. (6.) I. (6.3) I I. (6.4) gain n puianc t donné par : p. R R rlation (6.) t (6.3) prmttnt d'évalur l rapport + / : (6.5) (6.6) 'admittanc d'ntré 'obtint à partir d rlation (6.), (6.) t (6.3) : I. + + (6.7) Avc :.. (6.8) ou obtnon finalmnt : p.r (6.9) +.R na irr OVI
4 48 Bruit dan l quadripôl ain d'inrtion gain d'inrtion t défini comm étant l rapport d la puianc qu délivr l quadripôl à la charg, par la puianc qu fournirait l génératur 'il était dirctmnt conncté à la charg : Rpréntation impédanc in (6.0) a puianc délivré par l quadripôl à la charg t donné par : Z R. R. Z [ Z ] (6.) a puianc qu fournirait l génératur dirctmnt conncté à la charg t donné par : E A l'ntré du quadripôl, nou avon : E R Z. Z + Z (6.) Z. (6.3) Z + Z rlation (6.8) t (6.3) conduint à : E Z. Z ( Z + Z )(. Z + Z ) (6.4) a puianc d orti 'obtint n rportant la rlation (6.4) dan la rlation (6.). gain d'inrtion 'xprim ou la form : in Z. Z + Z Z + Z. Z + Z (6.5) Rpréntation admittanc a puianc délivré par l quadripôl à la charg t donné par : I I R. R. [ ] (6.6) irr OVI na
5 ain n puianc dan l quadripôl 49 a puianc qu fournirait l génératur dirctmnt conncté à la charg t donné par : R. I. + A l'ntré du quadripôl, nou avon : I I (6.7). (6.8) + rlation (6.3), (6.7), (6.6) t (6.8) conduint à : I I. ( + )(. + ) (6.9) a puianc d orti 'obtint n rportant la rlation (6.9) dan la rlation (6.6). gain d'inrtion 'xprim ou la form : in (6.30) ain tranduciqu ou gain compoit gain tranduciqu t défini comm étant l rapport ntr la puianc délivré à la orti du quadripôl t la puianc maximum diponibl délivré par l génératur : t (6.3) dip Rpréntation impédanc a puianc maximum diponibl n ntré t donné par : dip. E. (6.3) 8 R Z a puianc d orti t obtnu n rportant la rlation (6.4) dan la rlation (6.). gain tranduciqu 'xprim ou la form : t 4. Z. R[ Z ].R[ Z ] ( + )( + ) Z Z. Z Z Z. Z (6.33) na irr OVI
6 50 Bruit dan l quadripôl Rpréntation admittanc a puianc maximum diponibl n ntré t donné par : dip. I. (6.34) 8 R a puianc d orti t obtnu n rportant la rlation (6.9) dan la rlation (6.6). gain tranduciqu 'xprim ou la form : t 4.. [ ].R[ ] ( + )( + ) R (6.35) ain diponibl ou gain aocié gain n puianc diponibl t défini comm étant l rapport d la puianc maximum diponibl à la orti du quadripôl ur la puianc maximum diponibl aux born du génératur : dip dip (6.36) dip Rpréntation impédanc a puianc maximum diponibl n ntré t donné par la rlation (6.3). ar idntification avc la rlation (6.3), la puianc maximum diponibl n orti t donné par :. E dip. (6.37) 8 R Z E : t la d.d.p. d Thévnin du quadripôl, orti à vid (I 0), déduit d rlation (6.) t (6.3) : E E Z Z + Z. (6.38) Z : t l'impédanc d orti du quadripôl lorqu on ntré t rfrmé ur l'impédanc intrn du génératur (E 0), déduit d rlation (6.), (6.3) t (6.39) : Z. I (6.39) irr OVI na
7 ain n puianc dan l quadripôl 5 Z ou obtnon finalmnt : dip Z. Z + Z I Z + Z Z.R Z Z + Z.R Z (6.40) (6.4) Rpréntation admittanc a puianc maximum diponibl n ntré t donné par la rlation (6.34). ar idntification avc la rlation (6.34), la puianc maximum diponibl n orti t donné par :. I dip. (6.4) cc 8 R I cc : t l courant d orton du quadripôl, orti n court-circuit ( 0), déduit d rlation.(6.), (6.) t (6.4) : I I cc. + (6.43) : t l'admittanc d orti du quadripôl lorqu on ntré t rfrmé ur l'admittanc intrn du génératur (I 0), déduit d rlation (6.), (6.) t (6.44) : I. (6.44) ou obtnon finalmnt : dip I. + +.R +.R (6.45) (6.46) ain unilatéral gain unilatéral t l gain tranduciqu du quadripôl unilatéral Rpréntation impédanc En rpréntation impédanc, l'unilatéralité traduit par Z 0. a rlation (6.33) conduit à : na irr OVI
8 5 Bruit dan l quadripôl u 4. Z. R[ Z ].R[ Z ] ( Z + Z )(. Z + Z ) (6.47) Rpréntation admittanc En rpréntation admittanc, l'unilatéralité traduit par 0. a rlation (6.35) conduit à : u 4.. [ ].R[ ] ( + )(. + ) R (6.48) Concluion tablau 6. réum l paramètr d dépndanc d différnt gain n puianc. Tablau 6. - aramètr d dépndanc d différnt gain n puianc. Impédanc Admittanc p [Z], Z [], in [Z], Z, Z [],, t [Z], Z, Z [],, dip [Z], Z [], u [Z], Z, Z [],, gain tranduciqu tint compt du tranfrt d puianc à travr l quadripôl, du génératur vr la charg. gain d'inrtion t dirctmnt accibl à la mur t l gain maximum diponibl t utilié dan l formalim du bruit Rpréntation du bruit dan un quadripôl Rpréntation matric impédanc n quadripôl bruyant put rpréntr ou la form d'un quadripôl nonbruyant auqul ont aocié dux génératur d tnion d bruit (Fig. 6.3). accè du quadripôl ont régi par la rlation : u Z u Z Z Z i i. (6.49) irr OVI na
9 Rpréntation du bruit dan l quadripôl 53 i i u Quadripôl non-bruyant u Fig Rpréntation impédanc d'un quadripôl bruyant. génératur d tnion t ont d ourc d tnion d bruit équivalnt ramné aux accè du quadripôl. C ourc ont partillmnt corrélé t conduint à la matric d corrélation défini par : C Z.... [ ] (6.50) Rpréntation matric admittanc n quadripôl bruyant put rpréntr ou la form d'un quadripôl nonbruyant auqul ont aocié dux génératur d courant d bruit (Fig. 6.4). i i u i Quadripôl non-bruyant i u Fig Rpréntation admittanc d'un quadripôl bruyant. accè du quadripôl ont régi par la rlation : i i u i u +. i (6.5) génératur d tnion i t i ont d ourc d courant d bruit équivalnt ramné aux accè du quadripôl. C ourc ont partillmnt corrélé t conduint à la matric d corrélation défini par : C i. i i. i i. i i. i [ ] (6.5) na irr OVI
10 54 Bruit dan l quadripôl Rpréntation matric d chaîn n quadripôl bruyant put rpréntr ou la form d'un quadripôl nonbruyant auqul ont aocié un génératur d tnion d bruit n ntré t un génératur d courant d bruit n orti (Fig. 6.5). i i u Quadripôl non-bruyant i u Fig Rpréntation matric d chaîn d'un quadripôl bruyant. Il t égalmnt poibl d ramnr l ourc d bruit n ntré (Fig. 6.6). i i u i Quadripôl non-bruyant u Fig Rpréntation matric d chaîn, ourc d bruit ramné n ntré. accè du quadripôl ont régi par la rlation : u C i C C C u i. i (6.53) génératur d tnion t i ont d ourc d tnion d bruit t d courant d bruit équivalnt ramné à l'ntré du quadripôl. C ourc ont partillmnt corrélé t conduint à la matric d corrélation défini par : C C.. i. i i. i [ ] (6.54) Factur d bruit Définition factur d bruit d'un quadripôl caractéri la dégradation du rapport ignal ur bruit, ntr l'ntré t la orti du quadripôl, l génératur étant un dipôl à la tmpératur normalié T 0 90K : irr OVI na
11 Factur d bruit 55 F dip dip.. dip dip (6.55) En tnant compt d la rlation (6.36), nou obtnon : F dip dip. dip (6.56) Si l quadripôl n'était pa bruyant, la puianc d bruit diponibl à a orti rait tll qu : ( B). (6.57) dip dip dip ou pouvon définir la puianc d bruit diponibl additionnll ramné à la orti du quadripôl : b ( B) (6.58) dip dip dip Soit, compt tnu d la rlation (6.58) : b. (6.59) dip dip dip dip a rlation (6.59) prmt d détrminr la puianc d bruit diponibl à la orti du quadripôl : b +. (6.60) dip dip dip dip En rportant la rlation (6.60) dan la rlation (6.57), l factur d bruit 'écrit ou la form : F + b. dip dip dip (6.6) En conidérant la rlation (6.6), normalié à la tmpératur T 0, nou avon égalmnt : F + b dip. K. T. f dip 0 (6.6) factur d bruit d'un quadripôl put égalmnt 'xprimr n fonction d la puianc diponibl d on bruit propr ramné à on ntré. ou avon : b. b (6.63) dip dip dip factur d bruit déduit d la rlation (6.6) : na irr OVI
12 56 Bruit dan l quadripôl b dip F + (6.64) Comm l gain n puianc diponibl, l factur d bruit t indépndant d caractéritiqu d la charg. dip aramètr d bruit d'un quadripôl Formalim impédanc Conidéron l quadripôl bruyant d la figur 6.7, attaqué par un génératur d tnion d bruit t d'impédanc Z, tl qu : 4. K. T. f. R Z (6.65) 0 Z R + j X (6.66) Z i i u i Quadripôl non-bruyant u Quadripôl bruyant Fig Quadripôl bruyant oumi à un génératur d tnion d bruit. Si l ourc d bruit du quadripôl, ramné à l'ntré ont d mêm origin, ll ont corrélé. ou pouvon définir un impédanc d corrélation Z C tll qu : ZC RC + j. XC (6.67) a décorrélation d ourc d bruit (Fig. 7.8), conduit à : Z. i (6.68) nc C nc : rprént la parti non-corrélé du génératur d tnion d bruit. factur d bruit t donné par la rlation (6.64) avc : (6.69) dip 4.R Z irr OVI na
13 aramètr d bruit d'un quadripôl 57 i Z Z C nc -Z C i u i Quadripôl non-bruyant u Fig Décorrélation d ourc d bruit. b dip b 4.R Z (6.70) En rportant l rlation (6.69) t (6.70) dan la rlation (6.64), nou obtnon : b F + (6.7) b Z. i (6.7) rlation (6.7), t (6.7) conduint à : nc i F + Z ZC + +. (6.73) Avc : nc. i 0 (6.74). i 0 (6.75) nc Introduion : r : la réitanc équivalnt d bruit du quadripôl : r nc 4. KT.. f g : la conductanc équivalnt d bruit du quadripôl g i 4. KT.. f a rlation (6.73) 'écrit ou la form : (6.76) (6.77) na irr OVI
14 58 Bruit dan l quadripôl r T g T F R T R T Z Z C (6.78) 0 0 orqu l quadripôl t à la mêm tmpératur qu la ourc d bruit (T T 0 ), la rlation (6.78) implifi t nou obtnon : r g F + +. Z + ZC (6.79) R R a rlation (6.79) montr qu l factur d bruit d'un quadripôl t un fonction d l'impédanc du génératur, ou d la ourc 'il t inéré dan un circuit. ou pouvon détrminr la valur optimum d l'impédanc du génératur qui rnd l factur d bruit minimum. En introduiant l xprion d Z t d Z C déduit d rlation (6.66) t (6.67), l factur d bruit 'écrit : r F + + g R ( R + R ) + ( X + X ) Dérivon la rlation (6.80) par rapport à X : df dx a rlation (6.8) 'annul pour X C C.. (6.80) R g..( X + XC) (6.8) R X tll qu : opt X opt X (6.8) C Dérivon la rlation (6.80) par rapport à R, lorqu X X : opt df dr X X opt r g. R + g R R C (6.83) a rlation (6.83) 'annul pour R R tll qu : opt oon : R opt r + RC (6.84) g Z R + j. X (6.85) opt opt opt orqu Z Z, l factur d bruit t minimum. ou obtnon : opt irr OVI na
15 aramètr d bruit d'un quadripôl 59 r Fmin +. g. RC + + R g C (6.86) En utiliant la rlation (6.84), l factur d bruit minimum 'écrit égalmnt ou la form : ( ) Fmin +. g. R + R (6.87) C opt ou pouvon xprimr la différnc ntr l factur d bruit t l factur d bruit minimum : ( ) g r F Fmin. Z + ZC +. R. RC + R R g opt (6.88) Soit, n tnant compt d rlation (6.64), (6.8) t (6.84) : ( R R ) ( X X opt opt ) g F F min. + R Finalmnt, l rlation (6.64), (6.85) t (6.89) conduint à : g F Fmin +. Z Z R opt (6.89) (6.90) quadripôl t alor défini par quatr paramètr d bruit : g (6.9) ( ) Fmin +. g. R + R (6.9) C opt R opt r + RC (6.93) g X opt X (6.94) C Formalim admittanc Conidéron l quadripôl bruyant d la figur 6.9, attaqué par un génératur d courant d bruit i t d'admittanc, tl qu : i 4. K. T. f. R (6.95) 0 + j B (6.96) na irr OVI
16 60 Bruit dan l quadripôl i i i u i Quadripôl non-bruyant u Quadripôl bruyant Fig Quadripôl bruyant oumi à un génératur d courant d bruit. Si l ourc d bruit du quadripôl, ramné à l'ntré ont d mêm origin, ll ont corrélé. ou pouvon définir un admittanc d corrélation C tll qu : C C + j. BC (6.97) i i i u C i nc - C Quadripôl non-bruyant u Fig Décorrélation d ourc d bruit. a décorrélation d ourc d bruit (Fig. 6.0), conduit à : i i. (6.98) nc C i nc : rprént la parti non-corrélé du génératur d courant d bruit. factur d bruit t donné par : inc F + C i + +. (6.99) i Avc : nc i. 0 (6.00) i. 0 (6.0) nc Introduion : R : la réitanc équivalnt d bruit du quadripôl : irr OVI na
17 aramètr d bruit d'un quadripôl 6 R 4. KT.. f : la conductanc équivalnt d bruit du quadripôl i nc 4. KT.. f (6.0) (6.03) En rportant l rlation (6.0) t (6.03) dan la rlation (6.99), nou obtnon : R F C (6.04) n démarch idntiqu au paragraph précédnt conduit à : R F Fmin +. opt (6.05) quadripôl t défini par quatr paramètr d bruit : R (6.06) Fmin +. R. C + + R C (6.07) opt B + C (6.08) R opt B (6.09) C Rpréntation du factur d bruit factur d bruit xprimé dan l différnt formalim, dépnd d caractéritiqu du génératur ou plu généralmnt dan un ytèm, d caractéritiqu d la ourc. A titr d'xmpl, nou donnon l'allur du factur d bruit n rpréntation admittanc. orqu l'on trac n fonction d la parti réll t d la parti imaginair B d l'admittanc du génératur ou d la ourc, la courb rpréntativ du factur d bruit donné par la rlation (6.05), on obtint un urfac du cond dgré dont l'intrction avc l plan à factur d bruit contant, rprént d crcl (Fig. 6.). a quadriqu formé par l'nvlopp d c crcl, a un na irr OVI
18 6 Bruit dan l quadripôl concavité poitiv t proportionnll à R. Son xtrmum corrpond au factur d bruit minimum. F(dB) B F min opt B 0 opt Fig Evolution du factur d bruit n fonction d caractéritiqu d la ourc. factur d bruit t toujour upériur à car l quadripôl n put qu rajoutr du bruit. factur d bruit t ouvnt xprimé n décibl. Etant donné qu'il 'agit d'un rapport d puianc, l factur d bruit n db t donné par : F( db ) 0.log F (6.0) énéralmnt l factur d bruit t détrminé pour un ourc porté à 90K. factur d bruit dépnd d la fréqunc, d la tmpératur t d caractéritiqu du quadripôl, c't à dir 'il 'agit par xmpl d'un tranitor, d condition d polariation. a comparaion d dux factur d bruit n'a d n qu i il ont défini pour l mêm caractéritiqu d la ourc Tmpératur équivalnt d bruit Comm pour un dipôl, nou pouvon définir un tmpératur équivalnt d bruit d'un quadripôl. a puianc diponibl d bruit propr du quadripôl n ntré put 'xprimr n fonction d la tmpératur équivalnt d bruit du quadripôl : b K. T. f (6.) dip a puianc diponibl d bruit propr du quadripôl ramné à la orti t donné par q irr OVI na
19 Factur d bruit d quadripôl n cacad 63 b b. (6.) dip dip dip En rportant l rlation (6.) t (6.) dan la rlation (6.6), nou obtnon finalmnt : F + T T q 0 (6.3) Factur d bruit d quadripôl n cacad Conidéron dux quadripôl Q cacad (Fig. 6.). t Q, à la tmpératur T t monté n Z Q F dip Q F dip Z Fig Quadripôl n cacad. Soint : b dip : la puianc diponibl d bruit propr du quadripôl, ramné à a orti ; b dip : la puianc diponibl d bruit propr du quadripôl, ramné à a orti ; b dip : la puianc diponibl d bruit à l'ntré du quadripôl. A la orti du duxièm quadripôl, nou avon : b b.. + b. + b (6.4) dip dip dip dip dip dip dip gain diponibl d la chaîn t donné par :. (6.5) dip dip dip factur d bruit d la chaîn t donné par : oon : F b dip dip. b dip (6.6) na irr OVI
20 64 Bruit dan l quadripôl F F + + b dip. b dip dip b dip. b dip dip (6.7) (6.8) rlation (6.4), (6.5), (6.6), (6.7) t (6.8) conduint à : F F + ( F ) dip (6.9) En généraliant à n quadripôl cacadé, nou obtnon : F F + ( F ) ( F ) ( F ) n dip dip dip dip dip dip n (6.0) a rlation (6.0), t applé formul d Fri. Ell montr l'influnc du prmir étag ur l factur d bruit réultant. Dan l ca d'un chaîn d'amplification, il faudra apportr un attntion particulièr à la concption du prmir étag (préamplificatur). ou avon vu qu'il était poibl d rndr on factur d bruit minimum n xploitant l'adaptation optimal n bruit. irr OVI na
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