Mathématiques. Si A et B sont deux objets disjoints, alors mes(a B) = mes(a) + mes (B).

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1 MESURES DANS LE PLAN I. Mesurage Mesurer une grandeur a, c est tout d abord choisir une unité de grandeur u et déterminer le réel l tel que a = l x u. l est appelé la mesure de a avec l unité u. On note a = l.u (ou mes u (a) = l).. Propriétés des mesures Une mesure est toujours positive. Si A et B sont deux objets disjoints, alors mes(a B) = mes(a) + mes (B). II. Longueur et périmètre La longueur est une grandeur attribuée aux lignes. Ces lignes peuvent être composées de segments ou de courbes. La longueur d'une ligne fermée s'appelle son périmètre. Pour un cercle, on parle du périmètre d'un cercle, de la longueur d'un cercle ou de la circonférence d'un cercle.. Unités du système métrique kilomètre km m 10³ m hectomètre hm 100 m 10² m décamètre dam 10 m 10 m mètre m 1 m 1 m décimètre dm 0,1 m 1 centimètre cm 0,01 m millimètre mm 0,001 m 3 micromètre (micron) m ( ) 0, m 6 nanomètre nm 0, m 9 picomètre pm 0, m 1 Mesures dans le plan 1 / 7

2 Chaque unité, du kilomètre au millimètre, est dix fois plus petite que celle qui la précède dans le tableau. 3. Formules (mesures obtenues en utilisant le théorème de Pythagore) Si le côté d'un carré mesure a, sa diagonale mesure a avec la même unité. Si le côté d un triangle équilatéral mesure a, sa hauteur mesure la même unité. a 3 avec 4. Périmètre de surfaces Mesure du périmètre d'un polygone La mesure du périmètre d'un polygone est égale à la somme des mesures des longueurs de ses côtés. Mesures particulières Objet Caractéristiques Mesure du périmètre P Rectangle l Carré Losange Cercle L L est la mesure de la longueur. L est la mesure de la largeur. c c c est la mesure de la longueur d un côté. P = (L + l) x P = 4 x c r est la mesure du rayon. D est la mesure du diamètre. P = x x r = D x Mesures dans le plan / 7

3 III. Aires L'aire est une grandeur attribuée aux surfaces (régions) du plan. Toute surface occupe une étendue ; cette étendue est ce qu'on appelle «l'aire». Les mots «aire» et «superficie» sont synonymes en mathématiques.. Unités du système métrique kilomètre carré km² m² 6 10 m² hectomètre carré hm² m² 4 10 m² décamètre carré dm² 100 m² 10² m² mètre carré m² 1 m² 1 m² décimètre carré dm² 0,01 m² ² centimètre carré cm² 0,000 1 m² 4 ² millimètre carré mm² 0, m² 6 ² Chaque unité est cent fois plus petite que celle qui la précède dans le tableau. 3. Unités du système agraire hectare ha 100 a 1 hm² m² 4 10 m² are a 1 a 1 dam² 100 m² 10² m² centiare ca 0,01 a 1 m² 1 m² 1 m² 4. Formules d aires Rectangle Objet Caractéristiques Mesure du l aire A L est la mesure de la longueur. l est la mesure de la largeur. L x l Mesures dans le plan 3 / 7

4 Carré c² c est la mesure la longueur d un côté. Losange D est la mesure de la grande diagonale. d est la mesure de la petite diagonale. d D Parallélogramme b x h b est la mesure d un des côtés. h est la mesure de la hauteur correspondant à ce côté. Triangle b est la mesure d un des côtés. h est la mesure de la hauteur correspondant à ce côté. b h Triangle rectangle c 1 et c sont les mesures des côtés de l angle droit. c c 1 Mesures dans le plan 4 / 7

5 Trapèze B est la mesure de la grande base. b est la mesure de la petite base. h est la mesure de la hauteur. ( B + b) h Disque x r² r est la mesure du rayon. IV. Angles L'angle est une grandeur attribuée aux secteurs du plan, régions délimitées par deux demi-droites de même origine.. Unités L'unité utilisée à l école primaire est le degré. Son abréviation est. Pour les angles dont la mesure en degrés n'est pas un nombre entier, on peut utiliser deux notations : - La notation décimale, par exemple 3,6 ; 13,18. - La notation sexagésimale, par exemple 3 1' 43", ce qui se lit «3 degrés 1 minutes 43 secondes». On a les égalités suivantes : 1 = 60' = Passage de la notation décimale à la notation sexagésimale Exemple : on veut trouver l'écriture sexagésimale de 1,54. 1,54 = 1 + 0,54. On peut convertir 0,54 en minutes. Il suffit de calculer 60 x 0,54. On trouve 3,4. Donc 1,54 = 1 + 3,4' = 1 + 3' + 0,4'. Il reste donc à convertir 0,4' en secondes en calculant 60 x 0,4. On trouve 4". Donc 1,54 = 1 3' 4". Mesures dans le plan 5 / 7

6 Passage de la notation sexagésimale à la notation décimale Exemple : on veut trouver l'écriture décimale de 8 3' 7". 1 Comme 1 = 60 1 et 1 = 3600, on peut exprimer la mesure de l'angle 3 7 donné en degrés à l aide de fractions 8 3' 7" = En réduisant les deux fractions au même dénominateur : 8 3' 7" = 8 + Donc 8 3' 7" 8,53. Autres unités 197 = 8 + 0, Le grade (abréviation gr). Certains rapporteurs sont gradués en grades. Un angle droit mesure 100 gr. - Le radian (abréviation rd). Soit un cercle de centre a de rayon R, deux points A et B de ce cercle tels que la longueur de l'arc AB soit égale à R. Par définition, l angle AÔB mesure 1 rd. Un radian est égal à 360, soit environ 57,9. Π Angle nul Angle droit Angle plat Angle plein En degrés En grades En radians 0 / Mesures dans le plan 6 / 7

7 V. Mesure de la longueur d un arc de cercle Soit un cercle de centre O et de rayon r. Prenons sur ce cercle deux points A et B. Soit L la mesure de la longueur d un des arcs AB et la mesure de l angle au centre interceptant cet arc. A O B La mesure de la longueur de l arc est proportionnelle à la mesure de l angle au centre correspondant à l arc. Cette proportionnalité se traduit par une égalité de rapports : mesure de 'l arc AB mesure de 'l angle AÔB = mesure de la longueur du cercle complet 360 L donc Π r α = donc L = Π r α VI. Mesure de l aire d un secteur de disque La mesure de l aire d un secteur de disque est proportionnelle à la mesure de l angle du secteur. Cette proportionnalité se traduit par une égalité de rapports : mesure de 'l aire du secteur de disqueaob mesure de l'angle AÔB A donc Π r² α = donc ² α Π r = mesure de la longueur du cercle complet 360 Mesures dans le plan 7 / 7