Correction du concours blanc

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1 L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB - D. Bloière Mahémaiques Correcion du concours blanc Problème Probabiliés Un mobile se déplace aléaoiremen le long d un ae horional d origine O, sur des poins de coordonnées enières, posiives ou nulles. Les déplacemens son effecués selon le proocole suivan : à l insan éro, le mobile es sur l origine O d abscisse ; pour ou enier naurel n, si le mobile se rouve à l insan n sur le poin d abscisse k ( k n), alors il sera à l insan n + : soi sur le poin d abscisse k + avec la probabilié ; soi sur le poin O avec la probabilié. Pour ou enier naurel n, soi X n la variable aléaoire égale à l abscisse du mobile à l insan n. Ainsi, X =. On noe E(X n ) l espérance mahémaique de la variable aléaoire X n.. Vérifier que X sui une loi de Bernoulli de paramère. Que vau E(X )?. (a) Donner la loi de la variable aléaoire X. Indicaion : On pourra remarquer que ([X = ],[X = ]) formen un sysème comple d événemens. (b) Calculer E(X ).. Déerminer l ensemble des valeurs prises par la variable aléaoire X n. 4. Soi n N e soi k, n. On considère les événemens [X n = k] e [X n = k ]. (a) Éablir l inclusion d événemens suivane : [X n = k] [X n = k ]. (b) En déduire l égalié : [X n = k] = [X n = k] [X n = k ]. (c) Éablir l égalié : P ([X n = k]) = P ([X n = k ]). (d) Déduire du résula précéden que l on a : P ([X n = ]) =. 5. (a) En uilisan la quesion 4.(c), monrer à l aide d un raisonnemen par récurrence que pour ou enier n supérieur ou égal à on a : k, n P ([X n = k]) = ( ) k P ([X n k = ]). (b) En déduire que pour ou enier naurel n, l epression de P ([X n = n]). (c) Donner pour ou enier n N la loi de la variable aléaoire X n. 6. (a) En uilisan la définiion de E(X n ) e la quesion 4.(c), monrer que pour ou enier n N : E(X n ) = k P ([X n = k ]). k= (b) En déduire que pour ou enier n N : E(X n ) = E(X n ) +. (c) Déerminer l epression de E(X n ) en foncion de n. Correcion

2 . La variable X prend les valeurs e. Elle sui donc une loi de Bernoulli de paramère P ([X = ]) =. L espérance d une loi de Bernoulli es égale à son paramère. On a donc E(X ) =.. (a) L ensemble des valeurs prises par X es {,, }. Il rese à calculer P ([X = k]) pour ou k {,, }. Le sysème ([X = ], [X = ]) es un sysème comple d événemens. En effe, l ensemble des valeurs prises par X es {, }. La formule des probabiliés oales donne alors : P ([X = k]) = P ([X = k]/[x = ]) P ([X = ]) + P ([X = k]/[x = ]) P ([X = ]) pour ou k {,, }. On a donc : P ([X = ]) = P ([X = ]/[X = ]) P ([X = ]) = P ([X = ]/[X = ]) P ([X = ]) = P ([X = ]/[X = ]) P ([X = ]) P ([X = ]) P ([X = ]) On vérifie que : P ([X = ]) + P ([X = ]) + P ([X = ]) =. + P ([X = ]/[X = ]) + P ([X = ]/[X = ]) + P ([X = ]/[X = ]) P ([X = ]) =. P ([X = ]) = 9. P ([X = ]) = 9. Remarque : Il es préférable de jusifier les résulas précédens à l aide de la formule des probabiliés oales pluô qu avec un arbre de probabiliés. (b) D après la définiion de l espérance mahémaique d une variable aléaoire, on a : E(X ) = i P ([X = i]) = = 4 9. i=. L ensemble des valeurs prises par X n es, n. 4. Soi n N e soi k, n. (a) Si le mobile es à l abscisse k à l insan n (i.e. X n (ω) = k), alors il es à l abscisse k à l insan n (i.e. X n (ω) = k ). On a donc : [X n = k] [X n = k ]. (b) Monrons que [X n = k] [X n = k] [X n = k ]. Soi ω [X n = k]. Alors d après la quesion précédene, on a ω [X n = k ]. Par suie ω [X n = k] e ω [X n = k ], i.e. ω [X n = k] [X n = k ]. Monrons que [X n = k] [X n = k ] [X n = k]. Soi ω [X n = k] [X n = k ]. Alors ω [X n = k] e ω [X n = k ]. En pariculier : ω [X n = k]. Des deu poins précédens, on dédui : [X n = k] = [X n = k] [X n = k ]. Remarque : Plus généralemen, si A, B son des paries d un ensemble E elles que A B, alors on démonre, comme ci-dessus, que A = A B (faire un diagramme de Venn).

3 (c) On a : P ([X n = k]) = P ([X n = k] [X n = k ]) (quesion précédene) = P ([X n = k]/[x n = k ]) P ([X n = k ]) = P ([X n = k ]). (définiion d une probabilié condiionnelle) (d) On a ou d abord l idenié : L ensemble des valeurs prises par X n éan, n, on a : P ([X n = ]) = P ([X n = ]). () P ([X n = ]) = P ([X n )] = Or si k, n, on a : P ([X n = k]) = P ([X n = k ]). On en dédui : P ([X n = ]) = P ([X n = k]) = k= k= P ([X n = k]). () k= P ([X n = k ]) = De () e du changemen d indice k = k dans la dernière somme, on dédui : P ([X n = k ]) () k= P ([X n = ]) = n k = P ([X n = k ]). (4) Comme X n prend ses valeurs dans, n, on a : e donc (4) se réécri : n k = P ([X n = k ]) = P ([X n = ]) =. (5) En rassemblan les résulas () e (5), on obien : P ([X n = ]) =. 5. (a) Pour ou n N, on noe P n l asserion : On démonre P n par récurrence. k, n P ([X n = k]) = ( ) k P ([X n k = ]). Iniialisaion La proposiion P s écri : k, P ([X = k]) = ( ) k P ([X k = ]) i.e. : P ([X = ]) = ( ) P ([X = ]) = P ([X = ]) (pour k = ) ; ( ) P ([X = ]) = P ([X = ]) = (pour k = ). La première égalié es clairemen vraie e la deuième découle de la quesion. L asserion P es donc vraie.

4 Hérédié Supposons l asserion P n vraie pour un enier n N fié. On a donc : ( ) k k, n P ([X n = k]) = P ([X n k = ]). Démonrons que l asserion P n+ es vraie, i.e. que : Soi k, n +. Si k =, alors P ([X n+ = k]) = k, n + P ([X n+ = k]) = ( ) k P ([X n+ k = ]) s écri ( ) k P ([X n+ k = ]). e es donc vraie. P ([X n+ = ]) = ( ) P ([X n+ = ]) Si k, n +, alors on a : P ([X n+ = k]) = P ([X n = k ]) (cf. quesion 4.(c)) = ( ) k P ([X n (k ) = ]) P ([X n=k ]) (cf. hypohèse de récurrence e k, n ) = ( ) k P ([X n+ k = ]). On en dédui que l asserion P n+ es vraie. De l iniialisaion en n =, de l hérédié e de l aiome de récurrence, on dédui que : (b) Soi n N. n N k, n P ([X n = k]) = ( ) k P ([X n k = ]). Si n =, alors : P ([X n = n]) = P ([X = ]) =. Si n N, on sai, d après la quesion précédene, que : ( ) k k, n P ([X n = k]) = P ([X n k = ]). En pariculier, pour k = n, on a : ( ) n ( ) n P ([X n = n]) = P ([X = ]) =. Les deu résulas précédens peuven s écrire à l aide d une unique formule : ( ) n n N P ([X n = n]) =. (c) Soi n N. On a déjà vu, à la quesion, que l ensemble des valeurs de X n es, n. Il s agi ici de calculer P ([X n = k]) pour ou k, n. On sai que : ( ) k k, n P ([X n = k]) = P ([X n k = ]) (cf. quesion 5.(a)) ; n N P ([X n = ]) = 4

5 On combine ces deu résulas pour obenir : k, n P ([X n = k]) = D aure par, on a vu, à la quesion précédene que : On vérifie que P ([X n = k]) =. k= P ([X n = k]) = k= = = = =. ( n P ([X n = n]) = ( ) k P ([X n k = ]) = car n k ( ) n. ) P ([X n = k]) + P ([X n = n]) k= ( n k= ( n k= ( ) ) k + ( ) ) k + ( ( n ) ) + ( ) n ( ) n ( ) k. ( ) n (cf. cours sur les suies géomériques) 6. (a) Soi n N. Par définiion de l espérance mahémaique de X n, d ensemble de valeurs, n, on a : E(X n ) = kp ([X n = k]). (6) k= De (6) e du fai que kp ([X n = k]) = si k =, on dédui que : E(X n ) = kp ([X n = k]). (7) D après la quesion 4.(c), on a : k= k, n P ([X n = k]) = P ([X n = k ]). (8) De (7) e (8), on dédui : ( E(X n ) = k P ([X n = k ]) = n ) kp ([X n = k ]). k= (b) Soi n N. On a : ( E(X n ) = n ) kp ([X n = k ]) = = k= ( n ) (k + )P ([X n = k ]) k = ( n k = k= (cf. 6.(a)) k P ([X n = k ]) + P ([X n = k ]) = n n k P ([X n = k ]) + P ([X n = k ]) k = k = =E(X n ) = (changemen d indice k = k ) ) 5

6 Les égaliés indiquées sous les accolades du dernier membre découlen du fai que l ensemble des valeurs de X n es, n. On dédui de ce calcul que : E(X n ) = E(X n ) +. (c) D après la quesion précédene, la suie (E(X n )) n N es arihméico-géomérique. On applique alors la méhode vue en cours pour eprimer E(X n ) en foncion de n, pour ou n N. Le poin fie de la foncion affine + es l =. Soi (v n ) n N la suie définie par : n N v n = E(X n ). (9) On monre que la suie (v n ) n N es géomérique de raison. Soi n N. On a : v n = ( E(X n ) ) e v n+ = E(X n+ ) = E(X n) 6 = E(X n) + (cf. quesion 6.(b)) = E(X n) 6. On a donc v n+ = v n pour ou n N. La suie (v n ) n N es donc géomérique de raison. Du cours sur les suies géomériques, on dédui que ce qui précède que : ( ) n = ( n v n = v = E(X ) ) = ( ) n () pour ou n N. Le fai que E(X ) = vien du fai que X sui la loi ceraine sur le poin. Alors en uilisan les propriéés (9) e (), on obien : n N E(X n ) = + v n = ( ) n. Problème Analyse (d après le suje du concours A TB 6) Soi f une foncion coninue sur l inervalle I =], + [. On défini la foncion G f de I dans R par : I G f () =. (a) Monrer que la foncion G f es dérivable sur I. Indicaion : On pourra inroduire une primiive de la foncion f(). (b) Déerminer la foncion G f.. (a) On défini la foncion f de I dans R par : Déerminer la foncion G = G f. f() d. I f () =. 6

7 (b) On défini la foncion f de I dans R par : I f () = ln(). Déerminer la foncion G = G f.. Dans la suie du problème, H désignera la foncion définie sur I à valeurs dans R par : I H() = ( π ) ( π ) (a) Déerminer les signes de H e de H. 6 (b) Monrer que : I 4. Soi E la foncion définie par : H() ln(). cos() d. E : I R, sin(u)( u) du. (a) Monrer que : I E() 6. (b) Démonrer que : I cos() = + E(). (c) Déduire des deu quesions précédenes que la foncion E es coninue sur R + e prolongeable par coninuié sur R +. (d) En déduire que H() end vers ln() quand end vers par valeurs supérieures. Noaion : On noera désormais h le prolongemen par coninuié de H à [, + [ obenu en posan : h() = ln(). 5. Monrer que h es dérivable en. 6. (a) Monrer que : I h() = sin() sin() sin() (b) Monrer que : d end vers quand end vers +. (c) En déduire la limie de h() quand end vers +. sin() + d. 7. Déerminer les inervalles sur lesquels la foncion h es croissane e ceu sur lesquelles elle es décroissane. Correcion. (a) La foncion f() es coninue sur I =], + [ (un quoien de deu foncions coninues es coninu). Elle adme donc des primiives sur I. Soi Φ l une d enre elles. Soi I. On a : f() G f () = d = Φ() Φ(). La foncion es dérivable sur I e envoie I sur I. On sai de plus que la foncion Φ es dérivable sur I (puisque c es une primiive de f() sur I). Une composée de foncions dérivables éan dérivable, la foncion Φ() es dérivable sur I. La différence de deu foncions dérivables éan dérivable, on en dédui finalemen que G f dérivable sur I. es 7

8 (b) On a vu à la quesion précédene que : I Comme pour ou I, Φ () = f() G f () = Φ() Φ(). (cf. définiion d une primiive), on a : G f () = pour ou I. Φ () Φ () = f() f() = f() f() cf. dérivée d une composée. (a) Soi I. (b) Soi I. G () = Or : G () = f () d = f () d = ln() d = d = [ln()] u () ( ) = ln() ln() = ln = ln(). ln() d = u() [ ] (ln()) = ( (ln()) (ln()) ). (ln()) (ln()) = (ln() ln()) (ln() + ln()) (idenié remarquable) = ln ( ) ln( ) = ln() ln( ). On a donc : G () = ln() ln( ).. (a) On calcule : π 6 = π. D après le cours sur la foncion cosinus, la foncion cosinus es posiive ou nulle sur l inervalle [ π 6, π ] (cf. cercle rigonomérique pour rerouver ce résula). On a donc : [ π 6, π ] cos() e par suie, comme π 6 < π : ( π ) π H = 6 π 6 cos() d. On calcule : π = π. D après [ le cours sur la foncion cosinus, la foncion cosinus es négaive ou nulle sur l inervalle π, π ] (cf. cercle rigonomérique pour rerouver ce résula). On a donc : e par suie, comme π < π : [ π, π ] ( π ) π H = π cos() cos() d. 8

9 (b) Soi I =], + [. Comme >, on a <, d où : H() = cos() d cos() d. () Si [, ], alors >. On a donc : [, ] cos() = cos() = cos(). () Soi [, ]. De cos() (cf. propriéés de la foncion cosinus), on dédui : cos() On a donc : De () e (), on, dédui : (muliplicaion par De () e (4), on ire ( < ) : H() On a donc : H() ln(). 4. (a) Soi I. E() = Comme >, on a : On a de plus : d où : [, ] [, ] > de chaque membre de l inégalié précédene). cos(). () cos(). (4) cos() d d = G () = ln(). cf..(a) sin(u)( u) du = sin(u)( u) du = sin(u)( u) du. (5) u [, ] sin(u)( u) du sin(u)( u) du. (6) sin(u)( u) = sin(u) ( u) = sin(u) sin(u)( u) du = sin(u) ( u) Soi u [, ]. De sin(u) (cf. propriéés de la foncion sinus), on dédui : sin(u) On a donc : d où : ( u) ( u) sin(u) (muliplicaion par u [, ] sin(u) ( u) du ( u) ( u) ( u) du = ( u) du. (7) de chaque membre de l inégalié précédene). [ De (6), (7) e (8), on, dédui : sin(u)( u) du sin(u)( u) du = sin(u) 9 ( u). ( u) ( u) ] = 6. (8) du ( u) du = 6.

10 On a donc : sin(u)( u) du 6. (9) En muliplian chacun des membres de (9) par >, il vien : sin(u)( u) du 6. () De (5) e (), on dédui finalemen : E() 6. (b) Soi I =], + [. La foncion cosinus es de classe C sur I e on a : u I cos (u) = sin(u), cos (u) = cos(u), cos (u) = sin(u). La formule de Taylor avec rese inégral à l ordre, appliquée à la foncion cosinus, enre e, donne : cos() = cos() + cos () ( ) + cos () ( ) cos (u) + ( u) du!!! = + sin(u)( u) du E() = + E(). De cos() = + E(), on dédui alors que : (c) Soi I =], + [. De l égalié cos() cos() = + E(). = + E(), on dédui, en isolan E(), que : E() = cos() +. La foncion cosinus es coninue sur I e la foncion es coninue e ne s annule pas sur I. On en dédui que la foncion cos() es coninue sur I (un quoien de deu foncions coninues es coninu). On en dédui que la foncion E : E() = cos() + es coninue sur I (cf. coninuié des foncions usuelles, une somme de foncions coninues es coninue). Rappel : Si A R +, alors pour ou X R, on a X A ssi A X A. De la quesion 4.(a), on dédui que : I =], + [ 6 E() 6. () De () e du héorème d encadremen, on dédui lim + E() =. On peu donc prolonger la foncion E par coninuié à R + en posan : E() =. On noera, dans la suie, égalemen E le prolongemen par coninuié à R + de la foncion E.

11 (d) Soi I. À l aide de 4.(b), on peu écrire : H() = cos() d = + E() d = d G ()=ln() (cf..(a)) + + E() d. Pour démonrer que H() end vers ln() quand end vers par valeurs supérieures, il suffi donc que monrer que : ( ) lim + + E() d =. La foncion + E() es coninue sur le segmen [, ] (cf. 4.(c)) e es donc bornée sur [, ]. Il eise donc une consane réelle M (indépendane de ) elle que pour ou [, ] : + E() M. () Soi [, ]. En muliplian chacun des membres de () par, il vien : + E() M. Soi = ( +E()) = + E() [, ] [, ]. Alors pour ou [, ], on a : + E() M. () = e donc [, ]. De cee remarque e de (), on dédui alors que : [ + E() d M d = M d = M On a donc : De plus on a : ] = 4M. + E() d 4M. (4) + E() d De (4) e (5), on dédui alors : + E() d d où : i.e. : + E() d. (5) + E() d 4M + E() d 4M 4M + E() d 4M. [ Cee dernière inégalié valable pour ou, ] e le héorème d encadremen enraînen que : lim + + E() d =. L asserion ( ) es donc démonrée, ce qui achève la preuve.. On choisi ici de considérer le segmen [, ]. S il es imporan de choisir un segmen, le choi de [, ] es arbiraire ; le choi d un aure segmen du ype [, b], avec b >, aurai permis, en suivan la même méhode, de répondre à la quesion posée.

12 5. D après la quesion.(b), on a : On rappelle la limie usuelle : Soi I. On a : I =], + [ h () = h () = H () = cos(x) lim X X =. cos() cos() cos() cos(). = cos() ( cos()) = cos() cos() = cos() () cos() () = cos() D après la limie usuelle rappelée ci-dessus, on a : e cos() lim () = cos() lim = 9 cos() (). (composiion de limies). On en dédui que h () end vers (opéraions sur les limies) quand end vers par valeurs supérieures. Par suie, la foncion h es dérivable en à droie e h d () =. 6. (a) Soi I =], + [. On se propose d écrire : h() = H() = cos() d = cos() d sous la forme demandée. On va effecuer une inégraion par paries. On inrodui les foncions u e v définies sur [, ] par [, ] u () = cos() e v() =. Ces deu foncions son de classe C sur [, ] e on a : [, ] u() = sin() e v () =. En appliquan la formule d inégraion par paries, on a donc : h() = sin() u() = sin() v() sin() sin() u() sin() + d. d v (). Noons que ce résula classique découle de l éude faie à la quesion 4. En effe on sai que : cos() = E() (cf. ransformaion de la formule de la quesion 4.(b)) lim + E() = (cf. quesion 4.(c)) cos() On a donc lim + = cos() cos(). De ce résula e de la parié de la foncion, on dédui : lim =. On cos() a donc : lim =.

13 On a donc : (b) Soi I =], + [. ], + [ h() = sin() sin() sin() + d. (6) Soi [, ]. De sin(), on dédui (muliplicaion de chaque membre par > ) que : sin(). On a donc : d sin() d d e par suie : [ ] [ sin() d ]. On a donc : sin() d. De cee dernière inégalié, valable pour ou ], + [ e du héorème d encadremen, on dédui que : sin() lim + d =. (7) (c) Soi I =], + [. De sin(), on dédui (muliplicaion de chaque membre par > ) que : sin(). De cee dernière inégalié, valable pour ou ], + [ e du héorème d encadremen, on dédui que : Par composiion de limies, on obien alors : De (6), (7), (8) e (9), on dédui alors : 7. On sai que pour ou I =], + [, on a : h () = cos() cos() sin() lim =. (8) + sin() lim =. (9) + lim h() =. + (cf. quesion.(b)). () Pour éudier les variaions de h, on va éudier le signe de h sur I. Comme pour ou I, >, on es ramené à éudier le signe de l epression : cos() cos() pour ou ], + [. Pour cela on va facoriser l epression cos() cos(). Soi R. En appliquan la formule de rigonomérie : ( ) ( ) p + q p q cos(p) cos(q) = sin sin

14 avec p = e q =, on rouve : cos() cos() = sin() sin(). () De () e de la formule de rigonomérie : sin() = sin() cos() on dédui : cos() cos() = 4 sin () cos(). () De () e (), on dédui alors que : pour ou ], + [. h () = 4 sin () }{{ } On en dédui, à l aide du ableau de signes de cosinus, que : ] si, π ] alors h () ; [ π si + kπ, π ] + kπ (k N) alors h () ; [ π si + kπ, 5π ] + kπ (k N) alors h (). On remarque que : ( ], π ] k N [ π + kπ, π ] ) + kπ ( k N On a donc déerminé le signe de h () quel que soi R. On en dédui que : ( cos()) ] la foncion h es décroissane sur, π ] ; [ π la foncion h es croissane sur + kπ, π ] + kπ (k N) ; [ π la foncion h es décroissane sur + kπ, 5π ] + kπ (k N). [ π + kπ, 5π ] ) + kπ =], + [= I. Problème Algèbre linéaire Soien (u n ) n N, (v n ) n N e (w n ) n N les rois suies définies par leur premier erme : e les relaions de récurrence : u = ; v = ; w = u n+ = u n v n + w n v n+ = u n + v n w n+ = v n + w n valables pour ou n N. On noe A la marice e on pose X n = u n v n w n pour ou n N. 4

15 . (a) Reconnaîre, pour ou n N, le produi AX n. (b) En déduire une epression de X n en foncion de A, X e de l enier n, pour ou n N.. On noe f l endomorphisme de R canoniquemen associé à A, i.e. el que A soi la marice de f dans la base canonique B = (e, e, e ) de R. (a) L endomorphisme f de R es-il un isomorphisme? (b) Déerminer le veceur e de R el que f(e ) = e e don la roisième composane es. (c) Déerminer le veceur e de R el que f(e ) = e + e e don la roisième composane es. (d) Déerminer le veceur e de R el que f(e ) = e + e e don la roisième composane es. (e) Monrer que B = (e, e, e ) es une base de R. (f) Donner la marice T de l endomorphisme f dans la base B.. (a) On noe N la marice. Calculer N, N e en déduire la valeur de N k pour ou k N. (b) Écrire T comme une combinaison linéaire des marices I e N, puis appliquer la formule du binôme de Newon pour déerminer une epression de la marice T n en foncion de l enier naurel n, pour ou n N. 4. Soi P la marice de passage de la base B à la base B. (a) Eprimer A en foncion de T, P e P, puis A n en foncion des mêmes marices e de l enier naurel n. (b) Donner la marice P, puis calculer P. (c) Déerminer les epressions de u n, v n e w n en foncion de l enier naurel n, pour ou n N. Correcion. (a) Soi n N. On a : AX n = u n v n w n = u n v n + w n u n + v n v n + w n = u n+ v n+ w n+ = X n+. (b) En uilisan la relaion AX n = X n+ (n N) éablie ci-dessus, on remarque que : X = AX ; X = AX = A(AX ) = A X ; X = AX = A(A X ) = A X. On conjecure ainsi que pour ou n N, X n = A n X. Démonrons cee conjecure, par récurrence. Pour ou n N, on noe : P n : X n = A n X. Iniialisaion Si n =, alors X n = X e A n = I. La propriéé P s écri donc : Elle es donc vraie. Hérédié X = I X. Supposons la propriéé P n vraie pour un enier n fié, i.e. : Monrons que P n+ es vraie, i.e. que : X n+ = A n+ X. On a, d après la quesion.(a) : De () e (4), on dédui : X n = A n X. () X n+ = AX n. (4) X n+ = AX n = A(A n X ) = A n+ X. 5

16 Conclusion D après l iniialisaion à n =, l hérédié de P n e l aiome de récurrence, on a :. (a) D après le cours, on a : n N X n = A n X. f isomorphisme Ma(f, B) inversible de(ma(f, B)). On calcule le déerminan de la marice Ma(f, B). Par définiion même de f, on a : Ma(f, B) = On a : de(ma(f, B)) = de = de ( = de (C C C ) ) (développemen suivan la ème ligne) = 8. L endomorphisme f de R es donc un isomorphisme. (b) Par définiion de l endomorphisme f, on a pour ou f y = A On commence par déerminer l ensemble des L équaion (E ) se réécri : On a : y y y = R : y + + y y + R els que : (E ) f y = y (S ) (S ) y + = + y = y y + = y + = = y = = On en dédui que l ensemble des soluions de (S ) (i.e. de (E )) es : S = : R. y 6

17 De l éude qui précède on dédui que l unique veceur e de R qui vérifie f(e ) = e (i.e. qui es soluion de (E )) don la roisième composane es es : e = (c) On commence par déerminer l ensemble des L équaion (E ) se réécri : On a : (E ) f (S ) y (S ) y R els que : = e + y y + = + y = + y y + = + y + = = y = = On en dédui que l ensemble des soluions de (S ) (i.e. de (E )) es : S = + : R. + y + De l éude qui précède on dédui que l unique veceur e de R qui vérifie f(e ) = e + e (i.e. qui es soluion de (E )) don la roisième composane es es : e = (d) On commence par déerminer l ensemble des y R els que : (E ) f + y = e + y = y + L équaion (E ) se réécri : On a : (S ) (S ) y + = + + y = y y + = + y + = = y = On en dédui que l ensemble des soluions de (S ) (i.e. de (E )) es : S = : R. De l éude qui précède on dédui que l unique veceur e de R qui vérifie f(e ) = e + e (i.e. qui es soluion de (E )) don la roisième composane es es : e = 7

18 (e) La famille (e, e, e ) es libre car : de(ma B (e, e, e )) = de ( ) = de =. } {{ } développemen suivan la ère ligne La famille B = (e, e, e ) es une famille libre de veceurs dans R, espace vecoriel de dimension. C es donc une base de R. (f) Par définiion des veceurs e, e, e, on a : f(e ) = e = e + e + e f(e ) = e + e = e + e + e f(e ) = e + e = e + e + e. On en dédui que : T = Ma(f, B ) =. (a) On calcule : Si k N, alors : N = e N = N k = N N k = M(R) N k = M(R). = M(R). Remarque : Noons que dans la ligne précédene k e donc N k es une puissance posiive ou nulle de la marice N, qui es bien définie. Les puissances négaives de N ne son quan à elles pas définies, car la marice N n es pas inversible (de(n) = ). On a donc les résulas suivans : N k = I = N = N = M(R) = si k = si k = si k = si k (b) Soi n N. On a déerminé en.(f) les coefficiens de la marice T. On remarque que : T = I + N. Comme les marices I e N commuen (i.e. NI = I N), on peu appliquer la formule du binôme de Newon pour calculer (I + N) n. On rouve : T n = (I + N) n = Cn k (I ) n k N k. k= 8

19 On remarque que comme N k = M(R) si k, on a (cf..(a)) : T n = Cn k (I ) n k N k = k= si n. On en dédui que si n : si n. Cn k (I ) n k N k k= T n = (I ) n + C n(i ) n N + C n(i ) n N = n I + n n N + n(n ) n N = n I + n n N + n(n ) n N On a donc : i.e. I si n = T n = T si n = n I + n n N + n(n ) n N si n T n = si n = si n = n n n n(n ) n n n n n si n. 4. (a) La marice de changemen de base de B à B noée P dans l énoncé es la marice noée P B,B dans le cours. La formule de changemen de base donne : i.e. Ma(f, B) A = P Ma(f, B ) P T A = P T P. On en dédui, à l aide d un raisonnemen par récurrence que : (b) On a : On calcule P e on rouve : n N A n = P T n P. P = P B,B = Ma(id R, B, B) = P = 9

20 (c) De.(b),.(b), 4.(a), 4.(b), on dédui que pour ou n, on a : X n = A n X = P T n P X = = n (n + ) n (n + n) n (n n) n n n n(n ) n n n n n On a donc : X n = u n v n w n = si n = si n = n (n + ) n (n + n) n (n n) si n. On remarque que ces résulas peuven êre rassemblés sous la forme : u n = n (n + ) n N v n = n (n + n) w n = n (n n).

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